2022届高考数学二轮专题复习4数列

数列

1．与数列有关的基本量的计算

1．等差数列的公差为d，前n项和为，若，，

则（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】由，得，

又，即，解得，

故选A．

2．已知等差数列，公差为，且、、成等比数列，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为、、成等比数列，则，即，解得，

所以，，故选D．

3．已知数列的各项均为正数，记为数列的前n项和，，，则（）

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】C

【解析】，，

整理得，

∵数列的各项均为正数，∴，

∴数列为等比数列，公比为2，首项为1，

则，故选C．

4．某文具店开业期间，用100根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品，其中最下面一层铅笔数为16根，从最下面一层开始，每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多1根，则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为（）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【解析】记最下面一层铅笔数为，一共放层，从下到上各层的铅笔数构成公差为的等差数列，

则，整理得，解得或．

当时，；

当时，，不合题意，舍去，

故最上面一层堆放的铅笔数为9，故选B．

5．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（）

A．35 B．42 C．49 D．56

【答案】B

【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染，

则每轮新增感染人数为，

经过n轮传染，总共感染人数为，

∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，

由，故得，

又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，

故选B．

2．与数列有关性质的应用

1．已知数列为等差数列，为其前n项和，若，，

则等于（）

A．27 B．25 C．20 D．10

【答案】A

【解析】设等差数列的公差为d，因为，

所以，解得，

则，故选A．

2．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（）

A． B．3 C． D．

【答案】B

【解析】因为､是方程的两根，所以，，

所以，，

又为等比数列，则，

所以，所以或（舍去），

所以，故选B．

3．设等差数列的前项和为，若，，则等于（）

A．30 B．25 C．45 D．35

【答案】C

【解析】等差数列的前项和为，，，

则有，解得，

，故选C．

4．记为等比数列的前n项和，若，则___________．

【答案】

【解析】由等比数列的前n项和性质可知，构成等比数列，

即或（舍），

故答案为．

5．若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【解析】∵数列的前项积，

当时，，

当时，，，

时也适合上式，

∴，

∴当时，数列单调递减，且，当时，数列单调递减，且，

故的最大值为，最小值为，

∴的最大值与最小值之和为2，故选C．

6．设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，

则使得的正整数n的最小值为（）

A．16 B．17 C．18 D．19

【答案】D

【解析】由，得，

因为是等差数列，所以，，，

，，，

所以，，，

使得的正整数n的最小值为，故选D．

7．设等比数列满足，，则使最大值的为（）

A．4 B．5 C．4或5 D．6

【答案】C

【解析】因为为等比数列，，，

所以，

，

所以，，

当n= 4或5时，取得最大值10，

故的最大值为，故选C．

8．已知等差数列满足，数列满足，记数列的前n项和为，则使达到最大值的n值为（）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【解析】等差数列满足，

即，解得，故，

则等差数列是递减数列，且，

故，

所以，，

，

而，故，

故使达到最大值的n值为7，故选C．

3．数列综合

1．若数列满足：，则数列的前99项和为______．

【答案】3

【解析】因为，

所以，

故答案为3．

2．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足，

则an＝________．

【答案】n

【解析】，①，当n≥2时，，②

①－②，整理得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0．

由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，

又由①知a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n，

故答案为．

3．已知数列，满足，则等于（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，①

所以，②

①－②得，，所以，

而，适合上式，所以，，

，

∴

，

故选D．

4．函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：，．已知函数，则（）

A．4097 B．4107 C．5119 D．5129

【答案】B

【解析】由题意时，，，在上奇数共有个，

，，

，

设，则，

相减得，

所以，

所以，故选B．

5．已知数列，为的前项和，其中，，则（）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

【答案】B

【解析】由题意，

设为奇数，则是偶数，是奇数，

则，①

，②

①+②得，

所以的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，

同理的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，

所以

，

故选B．

6．“斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现的，该数列满足：，，（，），若，则其前2022项和为（）

A．G B． C． D．

【答案】D

【解析】由，可得

…①

…②

①+②得，

化简得，故选D．

7．（多选）已知数列满足：，则下列说法中正确的是（）

A．  B．

C．数列的前10项和为定值 D．数列的前20项和为定值

【答案】AD

【解析】取，得，故，选项A正确；

取，得，

又，两式相减得，选项B不正确；

由题知①，②，③，

②-①得，②+③得，

∴为定值，题中条件只限制，

所以的值不确定，故前10项和无法确定；所以选项C不正确；

前20项中奇数项有10项，相邻两项的和确定，故这10项的和确定，

同理10个偶数项的和确定，故前20项和为定值．所以选项D正确，

故选AD．

8．定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”．已知数列是首项和公差均为1的等差数列．设m为正整数，若存在“数列”，对任意的正整数k，当时，都有成立，则m的最大值为________．

【答案】5

【解析】由题意知，，，，

恒成立，

当时，，

当时，，，

当时，两边取对数可得对有解，

即，

令，则，

当时，，此时，单调递减，

所以，当时，，

令，则，

令，则，

当时，，即，

所以，在上单调递减，

即当时，，则，

化简，得，

令，则，

由，得，则，

所以，在上单调递减，

又因为，

，

所以，存在，使得，

所以整数m的最大值为5，此时，，

故答案为5．

9．已知数列满足，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前n项和．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：由，得，

又，所以，故，

故是以为首项，以为公比的等比数列．

（2）由（1）得，得，

所以，设的前n项和为，

则，①

，②

由①-②，得

，

则，

故．

10．已知数列{an}满足，且．

（1）请你在①，②中选择一个证明：

①若，则{bn}是等比数列；

②若，则{bn}是等差数列．

注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．

（2）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．

【答案】（1）见解析；（2），．

【解析】（1）选择①，由，可得，

∴，

又，

∴数列{bn}是以2为首项，以为公比的等比数列．

选择②，∵，，

∴，

又，∴数列{bn}是等差数列．

（2）由上可知，即，

∴

，

∴

．

11．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设等差数列公差为，

由题意，，解得，

所以．

（2）由（1），

所以，

易知是递增的且，

不等式对任意的都成立，则，所以．

12．记数列的前n项和为，满足，且．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设数列满足，求的前n项和．

【答案】（1）证明见解析；（2）前n项和为．

【解析】（1）证明：因为，①

所以当时，，得或7，

又，则．

当时，，②

①-②得，，

，

由，得，

故，即为等差数列．

（2）由（1）知，为等差数列且公差为4，所以，

所以数列的前n项和

，

故的前n项和为．

13．已知数列满足．

（1）设，求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前20项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，可知，即，

由可知，，

所以是以12为首项，4为公比的等比数列，

所以的通项公式为．

（2）由（1）知，，

所以

，

又符合上式，所以，

所以，

所以的前20项和．

14．已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设等差数列的公差为d，d≠0，

由条件得，解之得，

所以数列的通项公式为．

（2）设，

则，

当，时，，所以，

当，时，，所以，

所以，

所以．