2022届高考数学二轮专题复习7概率

概率

1．随机事件的概率

1．2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为，，，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】试验任务成功的事件是甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件的和，

事件，，互斥，，，，

所以试验任务成功的概率，

故选D．

2．（多选）如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A3：挑出的数字里含有数字1．下列说法正确的是（）

A．事件A1，A2是互斥事件 B．事件A1，A2是独立事件

C．P(A1|A3)＝P(A2|A3) D．P(A3)＝P(A1)＋P(A2)

【答案】AC

【解析】A．挑出的是1、2、3和挑出的是1、4、7不可能同时发生，正确；

B．事件A1，A2不是独立事件，错误；

C．，正确；

D．，，错误，

故选AC．

3．（多选）一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（）

A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是

B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为

C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为

D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为

【答案】ABD

【解析】对选项A，从中任取3球，恰有一个白球的概率是，

故A正确；

对选项B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到白球的个数，

故恰好有两个白球的概率为；

对选项C，从中不放回的取球2次，每次任取1球，记A为“第一次取到红球”，

B为“第二次取到红球”，则所求概率为，故C错误；

对选项D，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则取到红球的个数，

至少有一次取到红球的概率为，故D正确，

故选ABD．

4．某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜．每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立．

（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；

（2）求甲获胜的概率．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件，

由题意，发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错，

∴，

故比赛开始，甲先得一分的概率为．

（2）由（1）知：在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为，，

设两人共抢答了道题比赛结束且甲获胜，

根据比赛规则，的可能取值为3，4，5，

∴，，，

∴甲获胜的概率．

5．如图，点是周长为圆形导轨上的三个等分点，在点处放一颗珠子，规定：珠子只能沿导轨顺时针滚动．现投掷一枚质地均匀的骰子，当掷出的点数是3的倍数时，珠子滚动，当掷出的点数不是3的倍数时，珠子滚动，反复操作．

（1）求珠子在点停留时恰好滚动一周的概率；

（2）求珠子第一次在点停留时恰好滚动两周的概率．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设掷出3的倍数为事件，掷出不是3的倍数记为事件，

则，，

珠子恰好转一周回到点包含的事件为，，且这三种情况互斥，

故所求概率为．

（2）珠子滚两周回到点，则必须经历以下三个步骤：①②③，

①A至C：此时概率为，

②C至B：掷出的必须是3的倍数，此时的概率为，

③B至：概率与①相同，

又以上三个步骤相互独立，故所求概率为．

6．甲、乙两人在一起做猜拳（剪刀、石头、布）游戏，他们规定每次猜拳赢的一方得1分，输的一方得分，平局时两个人都各得0分，出现得3分者游戏结束．

（1）若进行五次猜拳后游戏结束，求此时乙得分的概率；

（2）求甲至多在进行五次猜拳后获胜的概率．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设事件“第次划拳甲赢”为；

事件“第次划拳甲乙平局”为；事件“第次划拳甲输”为，

则．

因为游戏结束时甲得3分，乙得−3分，所以这包含两种可能的情况：

第一种：前4次猜拳甲赢2次，平局2次，第5次猜拳甲获胜，

其概率为；

第二种：前3次猜拳甲赢2次，输1次，第4，5次猜拳甲连胜，

其概率为，

所以游戏结束时乙得−3分的概率为．

（2）依题可知包含三种情况：

第一种：进行3次猜拳后游戏结束，只可能为甲连胜3次，

其概率为；

第二种：进行4次猜拳后游戏结束，只可能为甲在前3次中胜2次，平1次，第4次甲胜，

其概率为：；

第三种：进行5次猜拳后游戏结束，由（1）知，其概率为，

综上：甲至多在进行五次猜拳后获胜的概率为．

7．第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．

（1）求该局打4个球甲赢的概率；

（2）求该局打5个球结束的概率．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，

由题知，，，∴，

∴，

∴该局打4个球甲赢的概率为．

（2）设该局打5个球结束时甲贏为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，

，，，

∴

，

，

∴，

∴该局打5个球结束的概率为．

2．古典概型

1．2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙、丁四个人，进入太空空间站后他们需要走出太空站外完成某项试验任务，需派两个人出去共同完成任务，则这项试验任务甲被派出的概率为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】甲、乙、丙、丁四个人派出两个人有6种可能（甲乙）、（甲丙）、（甲丁）、（乙丙）、（乙丁）、（丙丁），

甲被派出的有3种可能（甲乙）、（甲丙）、（甲丁），

所以，故选A．

2．2021年10月16日0时23分许，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，托举载有翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员的神舟十三号载人飞船进入太空．载人火箭从在发射台等待发射到飞行过程中，故检（故障检测）逃逸系统会一直配合工作，故障检测处理系统一旦检测到火箭出现危及航天员安全的情况，将给逃逸系统发出逃逸指令，逃逸系统就会迅速将航天员带离危险，使之安全返回地面．逃逸系统共配备了5种类型共12台发动机，其中逃逸主发动机1台，分离发动机1台，控制发动机4台，高空逃逸发动机4台，高空分离发动机2台．现从这12台发动机中随机抽取2台发动机进行电路测试，则抽取的2台发动机都是控制发动机的概率为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，从这12台发动机中随机抽取2台发动机，共有种情况；

若抽取的2台发动机都是控制发动机，共有种情况，

故所求概率为，故选A．

3．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的､重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上､下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位､十位､百位､……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位､十位､百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被5整除的概率是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】从个位､十位､百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，得到的整数共有32个，分别为：11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，2，20，200，2000，6，60，600，6000，

其中算盘表示的整数能够被5整除的整数有24个，分别为：15，55，105，505，110，150，510，550，1005，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，20，200，2000，60，600，6000，

则算盘表示的整数能够被5整除的概率为，故选A．

4．为落实“双减”政策，增强学生体质，某校在初一年级随机抽取了20名学生进行50米往返跑和跳绳测试，测试结果如下表：

由于部分数据丢失，仅知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一位，抽到跳绳优秀的学生的概率为．

（1）求a，b的值；

（2）从50米往返跑为优秀的学生中任意抽取2人，求其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意，．

（2）根据表格，50米往返跑为优秀的学生有6人，记这6人为1，2，3，4，5，6，其中5，6表示这6人中跳绳为优秀的学生，于是从这6人中抽取2人的所有情况为：{12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56}，总共15种情况，

其中至少有一位跳绳优秀的情况有：{15，16，25，26，35，36，45，46，56}，共9种情况，

所以所求概率．

5．袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．

（1）若从袋中一次摸出2个小球，求这两个小球恰为异色球的概率；

（2）若从袋中一次摸出3个小球，求黑球与白球的个数都没有超过红球个数的概率；

（3）若从袋中不放回的取3次球，每次取1球，取到黑球记0分，取到白球记4分，取到红球记2分，求最后得分为8分的概率．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）摸出的2个小球为异色球的种数为，

从8个球中摸出2个小球的种数为，

故所求概率．

（2）从袋中一次摸出3个小球，黑球与白球的个数都没有超过红球个数有三种情况：

①摸出1个红球，1个黑球，1个白球，共有种；

②摸出2个红球，1个其他颜色球，共有种；

③摸出3个球均为红球，共有种；

因为从8个球中摸出3个小球的种数为，

所以所求概率．

（3）由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个黑球或1个白球2个红球，

所以所求概率．

3．几何概型

1．在区域内任取一点，则满足的概率为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出区域（图中及内部），

区域内满足的区域为图中四边形的内部及边界（不包括），

且，，，

所以，所以，

故所求概率，故选B．

2．已知圆，在圆内随机取一点P，以点P为中点作弦AB，则弦长的概率为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当时，此时，若，则点P必须位于以点C为圆心，

半径为1和半径为的圆环内，

所以弦长的概率为，故选B．

3．某企业的商标图案是曲线所围成的图形，设，则在曲线内任取一点，则该点取自曲线内的概率为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知曲线和都关于坐标轴对称，也都关于坐标原点对称，

当时，与的方程分别可化为，

故在第一象限内分别为半圆（圆心为，半圆的半径为）和线段，

再利用对称性，易画出曲线与，其中为四个半圆组成的封闭曲线，为正方形如图所示），

所以所求概率，故选B．

4．如图，三棱锥的四个面都为直角三角形，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥内的概率为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】三棱锥中，平面，则，，

直角三角形中，，则，

又，，则平面，则，

则线段中点为三棱锥的外接球的球心，

又由，，可得，则三棱锥的外接球的半径为1，

故在球O内任取一点，该点取自三棱锥内的概率为

，故选D．