2022届高考数学二轮专题复习15椭圆双曲线抛物线

椭圆、双曲线、抛物线

1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程

1．已知，为椭圆（）的两个焦点，过作椭圆的弦AB，若的周长为8，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由椭圆的定义知，所以，

又因为，所以，，

所以椭圆的方程为，故选D．

2．已知椭圆，点与C的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则．

【答案】12

【解析】如图，，，．

3．已知点，，若曲线上存在点P满足，则下列正确的是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】点，，且，故点P在双曲线的下支上．

设双曲线，其中，即，，

则，

所以双曲线的方程为，其渐近线方程为，

又点P在曲线上，即点P在曲线上，

即曲线与双曲线相交，，即，

故选D．

4．已知椭圆的左､右焦点分别为，，M为C上一点，且的内心为，若的面积为4b，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得，的内心到轴的距离就是内切圆的半径．

又点在椭圆上，由椭圆的定义，得，，即．

又，所以，

因为，所以，即，

所以，解得或（舍去），

所以，故选B．

5．已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则点F到直线PO的距离为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，

，解得，代入抛物线方程得，

则，直线的方程式，即，

点到直线的距离，故选D．

6．已知抛物线，过焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，则弦的中点到准线的距离为__________．

【答案】

【解析】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，

设，，直线的方程为，

联立方程组，整理得，则，

所以弦的中点的横坐标为，

则弦的中点到准线的距离为，故答案为．

7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在双曲线上且，若的内切圆的半径为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由点A在双曲线上，由双曲线定义知，

又，，，

，即，

，，

设的内切圆的半径为，

由的等面积法知，

，

即的内切圆的半径为，故选A．

8．点在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由抛物线定义到直线的距离等于到抛物线焦点距离，

所以到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，

即焦点到直线的距离，故选B．

9．已知双曲线的左焦点为，M为C右支上任意一点，D的坐标为，则的最大值为（）

A．3 B．1 C． D．

【答案】D

【解析】双曲线的实半轴长为，右焦点为，

所以，

当且仅当M，，D三点共线时取等号，故选D．

10．已知点是椭圆的一个焦点，点为椭圆上任意一点，点，则取最大值时，直线的斜率为_______．

【答案】1

【解析】如图所示，设椭圆的右焦点为，

由题意可得，，．

由椭圆的定义可得，连接并延长交椭圆于点，

则，

（当且仅当三点，，共线时，即运动到图中点取等号）

，

故答案为1．

11．已知动点到定点与定直线的距离的差为1，则动点的轨迹方程为________．

【答案】，（注：也算对）

【解析】由题意，若时，问题等价于，

则，化简得，

若，也满足题意．

所以动点的轨迹方程为，．

或者根据题意有，则，化简整理得，

所以动点的轨迹方程为．

故答案为，（注：也算对）．

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B是椭圆C上关于x轴对称的两点．若的周长的最大值为8，且的周长最大时，，则椭圆C的标准方程为______________．

【答案】或

【解析】设，，如图，

∵的周长为，

当且仅当AB过时，取等号，

∴，即，

此时，所以，故，

又，，∴，，，

又，∴，

∴椭圆C的标准方程为．

故答案为．

13．已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，且，则双曲线的方程为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，点在一条渐近线上，如图所示：

所以，则，且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，

则，

又，（为坐标原点），所以为等边三角形，从而，

由，，解得，，

所以双曲线的方程为，故选A．

14．（多选）下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E，则（）

A．双曲线C的方程为

B．双曲线与双曲线C共渐近线

C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点

D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3

【答案】ABD

【解析】依题意可知，，

将、的坐标分别代入，得，解得，，

所以双曲线C的方程为，其渐近线为，故A正确；

对于B，由，可知其渐近线为，故B正确；

对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；

对于D，设双曲线上一点，则，即，

由题可知，，

则，，，

即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，故D正确，

故选ABD．

2．圆锥曲线的几何性质

1．已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．

【答案】

【解析】由题意，，设，则，

所以，

因为，所以的范围是．

故答案为．

2．已知双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，的内切圆的圆心为，则（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，

所以，，，

因为，所以，

设的内切圆的半径为，

则，即，解得，

如图，设的内切圆与边相切于点，则，，

所以，

所以，故选A．

3．已知椭圆的焦点为，，第一象限点在C上，且，则的内切圆半径为（）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】由已知条件得，，，则，，

设点的坐标为，则，，

，即①，

∵第一象限点在C上，∴则，即②，

联立解得，

由椭圆的定义得，

设的内切圆半径为，则，

又∵，∴，即，

故选A．

4．（多选）已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（）

A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率

C．的周长为 D．的取值范围为

【答案】ACD

【解析】椭圆，，

椭圆的长轴长为，故A正确；

椭圆的离心率，故B错误；

的周长为，故C正确；

设，则，且，

故，，

又，则，故，

，，，

故的取值范围是，故D正确，

故选ACD．

5．（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（）

A．椭圆的短轴长为 B．当最大时，

C．椭圆离心率为  D．面积最大值为

【答案】BC

【解析】由题意：，根据椭圆的定义可知，，则的最大值为5，

根据椭圆的性质可知：当轴时，最小，此时最大，如图：

将代入椭圆方程得，

则，所以短轴长为，A错误；

此时，B正确；

，C正确；

对D，设，，

代入椭圆方程得，

则，

所以，

记，

于是，

由对勾函数的图象和性质可知：函数在上是增函数，

则函数在上是减函数，

于是，当u=1，即t=0时，面积最大值为，故D错误，

故选BC．

6．（多选）已知椭圆的焦点为、，点在椭圆的内部，点在椭圆上，则（）

A．

B．椭圆的离心率的取值范围为

C．存在点使得

D．

【答案】ACD

【解析】对于A选项，由已知可得，可得，则，A对；

对于B选项，椭圆的离心率为，B错；

对于C选项，设、分别为椭圆的左、右焦点，则、，

记，设点，，，

因为，则，

所以，点在圆上，联立可得，

即圆与椭圆有公共点，C对；

对于D选项，

，D对，

故选ACD．

7．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若为锐角三角形，则

D．若的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为

【答案】ACD

【解析】由，得，则，

焦点三角形的面积公式，将代入可知，故A正确；

当S＝4时，，由，可得，故B错误；

当时，S＝4，当时，，

因为为锐角三角形，所以，故C正确；

设，则，

由题设知，则，所以，故D正确，

故选ACD．

8．椭圆的左、右顶点分别为，，左焦点为，为坐标原点，若，，成等比数列，则的离心率为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，则，，，

根据题意，可得，整理得且，解得，

故选D．

9．已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】设在渐近线上，直线的方程为，

由，得，即，

由，得，

因为在双曲线上，所以，化简得，

，故选B．

10．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，轴，(为原点，为右顶点，为上顶点)，则该椭圆的离心率为__________．

【答案】

【解析】令椭圆半焦距为c，

因轴，则由，得，即，

因(为原点，为右顶点，为上顶点)，

则，即有，

因此，，整理得，则，

所以椭圆的离心率为．

故答案为．

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，曲线上存在一点使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由双曲线的对称性不妨令点P在第一象限，其半焦距为c，

因为等腰直角三角形，

则，，，

由双曲线定义得，

即，于是得，

所以双曲线的离心率为，故选D．

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与在轴上方的交点为．若，则的离心率是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，则，，

又，

在中，由余弦定理可得，

∴，

∴，∴，故选A．

13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若，为坐标原点，则双曲线的离心率为______．

【答案】2

【解析】因为，一条渐近线方程为，

则，，

在中，，

又因为，

在中，，

所以，即，因此，

即，所以，

故答案为2．

14．已知双曲线的右焦点为，坐标原点为，左､右顶点分别为，双曲线上一点且轴．连接交轴于，连接交直线于，，则双曲线的离心率为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】由，与相似，与相似，

，，即，．

当时，，解得，

设点在轴上方，如图则，

设，则，，，

由，可得，即，

所以，即，，所以，

故选B．

15．如图，已知椭圆，双曲线，若以椭圆的长轴为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，且椭圆与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则双曲线的离心率为（）

A．9 B．5 C． D．3

【答案】D

【解析】如图，渐近线与椭圆交点为C，则由题意得，即，联立与，解得，

联立与圆，解得，

从而，解得，

故双曲线离心率为，故选D．

16．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线与的右支交于两点．若，，则双曲线的离心率（）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【解析】由，得，

由，得，所以，，

，，

由题，

在中，，

在中，，

由，得，

化简得，即，故选C．

17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若，（表示的面积），则双曲线C的离心率的值为（）

A． B． C． D．或

【答案】D

【解析】若直线斜率不存在，不妨设点，

则，

所以，则离心率；

若直线斜率存在，设，

中点，不妨设M在x轴上方，

由，得，故点M在圆上，

由，得，

则，所以．

由，得，即．

当时，，得；

当时，，矛盾，舍去，

综上所述，或，故选D．

18．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】联立方程组，整理得，

设方程的两根为，

因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，

则满足，解得，

又由，解得，

所以的取值范围是，故选D．

19．双曲线C过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的方程为_________．

【答案】

【解析】因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线，

所以设双曲线C的方程为，

又因为双曲线C过点，所以，解得，

所以，

所以双曲线C的方程为．

故答案为．

20．已知双曲线的离心率，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交另一条渐近线于，则等于（）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】由双曲线的离心率，得，即，所以，渐近线方程为，如图，，，

则，，所以，

所以，

所以，故选B．

21．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，作于点，于点B，

因为与圆相切，

所以，

在中，，所以，．

又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：

所以，

整理得，所以，

所以双曲线的渐近线方程为，故选C．

22．设点分别为双曲线的左右焦点，点A，B分别在双曲线C的左、右支上，若，，且，则双曲线C渐近线的斜率为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，故，即，由勾股定理得，

设，则，，

由双曲线定义及勾股定理得，

即，整理得，解得或，

因为，即，解得，

从而（舍去），

当时，，，所以，

在三角形中，，

解得，即，

双曲线渐近线方程为，故选A．