2022届高考数学二轮专题复习20函数与方程

这是一份2022届高考数学二轮专题复习20函数与方程，共17页。试卷主要包含了函数零点存在性判断，5，1，2，3，3等内容，欢迎下载使用。

1．函数的零点所在的区间为（）（，，）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，由对数函数和幂函数的性质可知，
函数在时为单调增函数，
，，
，，
因为在内是递增，故，
函数是连续函数，由零点判断定理知，的零点在区间内，故选B．
2．心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词．则记忆率所在区间为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将代入，解得，
其中单调递减，而，，
而在上单调递减，所以，
结合单调性可知，即，
而，其中为连续函数，故记忆率所在区间为，
故选A．
2．方程的根与函数零点的个数
1．已知函数，则函数的零点个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由可得．
当时，或（舍去），
当时，或．
故是的零点，
是的零点，
是的零点．
综上所述，共有个零点，故选C．
2．已知定义域为R的奇函数满足，当时，，则函数在上零点的个数为（）
A．10B．11C．12D．13
【答案】D
【解析】因为是定义域为R的奇函数，所以．
因为，令，得，
即，所以．
又因为为奇函数，所以，所以，
所以是以4为周期的周期函数．
根据周期性及奇函数的性质画出函数在上的图象，如图．
由图可知，函数在上有零点，，，，，，0，0．5，1，2，3，3．5，4，共13个零点，
故选D．
3．已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，则函数的零点个数是（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】因为，所以是周期函数，周期为2，且是定义在上的偶函数，根据时的解析式，结合函数性质，可以画出如下图所示的图象，
的零点个数，等价于的零点个数，即的图象与两个图象的交点个数，
所以观察图象可得零点个数为7，故选C．
4．若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【解析】由为R上的奇函数，
①，
又②，
由②－①为周期为2的周期函数，
而又，
当时，当时，．
又当时，单调递增，且．
故可作出函数的大致图象如图：
而集合A中的元素个数为函数与图象交点的个数，
由以上分析结合函数性质可知，3为集合A中的一个元素，
且与在（1，3），（3，5），．．．，（23，25）中各有一个交点，
∴集合中的元素个数为13，故选C．
3．利用函数零点求参数的范围
1．已知函数，若方程恰好有四个实根，则实数k的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，的图象向右平移2个单位，
再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，也即在区间上的图象．
以此类推，则在区间上的图象如图所示．
记，若方程恰好有四个实根，
则函数与的图象有且只有四个公共点，
由图得，点，，，，
则，，，，则，
所以与的图象有且只有四个公共点时，，故选D．
2．已知函数，若函数有三个零点，
则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数有三个零点转化为与有三个交点，
，当，
在单调递增，单调递减，时取到最大值1．
作出图象如下图，由图象可知，故选B．
3．已知函数有两个零点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得到；
令，由题意可以看作是与有两个交点，
则，其中，，
是单调递减的，并且时，，
因此函数存在唯一零点，；
当时，；时，；，
得如下函数图象：
显然当时，与有两个交点，故答案为B．
4．已知函数，若函数有9个零点，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为时，，所以在上是周期函数，
又当时，，所以，
所以在上的图象如图所示，
若函数有9个零点，则函数与的图象有9个不同的交点，
当时，易得函数与的图象有且只有2个不同的交点，不符合题意；
当时，要使函数与的图象有9个不同的交点，
由图可知，解得，
综上，实数的取值范围为，故选A．
5．已知函数，若关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：函数的定义域为，
对函数求导：，
令，可知，
令，可知或，
所以在和上单调递减，在上单调递增．
故在时，有极小值为，
令，则方程化成，
令，则，或（舍去），根据图象可知此时只有一个解，排除A；
令，则，或（舍去），根据图象可知此时只有一个解，排除C；
令，则，或，根据图象可知此时有两个解，故排除D，
故选B．
6．已知函数，若函数有6个零点，则m的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，作出函数的大致图象，
如图所示，
则函数有6个零点等价于在上有两个不同的实数根，
则，解得，
故选D．
7．已知函数，若函数与的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，，
当时，；当时，，
故时，；
当时，，，
当时，有极大值，当时，，
作出的大致图象如图：
函数与的图象恰有5个不同公共点，
即方程有5个不同的根，
令，根据其图象，讨论有解情况如下：
令，
（1）当在和上各有一个解时，
即，解得；
（2）当在和上各有一个解时，
，解得；
（3）当有一个根为6时，解得，此时另一个根为，不合题意；
（4）当有一个根为1时，解得，此时另一个根也为1，不合题意，
综上可知：，故选A．
8．已知函数，，则当方程有6个解时的取值范围是（）
A．B．或
C．D．
【答案】A
【解析】函数，，
，
令，得或，
故当时，函数取极大值1，时，函数取极小值；
则与的交点情况为：
当，或时，有一个交点；
当，或时，有两个交点；
当时，有三个交点；
与的交点情况为：
当时有两个交点，交点横坐标一个在区间上，一个在区间上；
当时有两个交点，交点横坐标一个为，一个为；
当时有两个交点，交点横坐标一个在区间上，一个在区间上，
且当时，交点横坐标分别为，；
若方程有6个解，有两个根，均在上，
故，故选A．
4．与函数零点有关的求值问题
1．定义在R上的偶函数满足，当时，，则函数在区间上的所有零点的和是（）
A．10B．8C．6D．4
【答案】A
【解析】如图所示，与在区间上一共有10个交点，
且这10个交点的横坐标关于直线对称，
所以在区间上的所有零点的和是10，故选A．
2．已知函数，若均不相等，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】不妨设，由图可得，
所以，即，
由，得，所以的取值范围是，
故答案为．
3．已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（）
A．0B．2C．D．
【答案】D
【解析】函数有四个不同的零点，即方程有四个不同的解，
令，，即函数的图象与有四个不同的交点，
两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示：
所以，
不妨设，
则，
所以，故选D．
4．已知函数，若，且，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，设为曲线上一点，当该点处切线与平行时，满足题意．
令，得满足题意，即，
把代入，得，
把代入，得，即，
∴，即为所求，
故选A．
5．已知函数恰有三个不同的零点，则这三个零点之和为_________．
【答案】5
【解析】令，由对勾函数可知或，
所以有三个零点等价于关于的方程有两解，且其中一解为或，另一解大于或小于．
当不合题意，所以，则得．
若，则该方程无解，不合题意．所以，
所以，，
当，此时不符合题意；
当，此时，解得，
由，
当，解得，
当，整理，
所以，所以，
故答案为．
6．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（）
A．2020B．1010C．1012D．2022
【答案】A
【解析】因为是定义在上的奇函数，
所以，即当时，，
由已知，
，
，故是周期函数，且对称轴为，
又，即，
所以函数关于对称，
如图函数和函数在上的图象，
在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，
在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，
所以函数和函数在和上都有个交点，
根据对称性可得所有交点的横坐标之和为，故选A．
7．已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（）
A．3B．6C．9D．36
【答案】D
【解析】因为，
所以，
因为，所以有三个不同的零点，
令，则，
所以当时，；当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，，令，则必有两个根、，不妨令、，且，，
即必有一解，有两解、，且，
故
，
故选D．