2022届高考数学二轮专题复习21导数与切线方程

导数与切线方程

1．切线方程的求解

1．已知，则曲线在点处的切线方程为_________．

【答案】

【解析】∵点在上，

又，，

∴曲线在处的切线方程为，即．

故答案为．

2．曲线过点的切线方程是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得点不在曲线上，

设切点为，

因为，所以所求切线的斜率，

所以．

因为点是切点，所以，

所以，即．

设，明显在上单调递增，且，

所以有唯一解，则所求切线的斜率，

故所求切线方程为，故选B．

3．已知函数（且）．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调区间．

【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】（1）∵，

∴，

∴，

又，∴，

∴所求切线方程为．

（2）由题意知，函数的定义域为，

由（1）知，

∴，易知，

①当时，令，得或；令，得．

②当时，，令，得；令，得或．

③当时，．

④当时，，令，得；令，得或．

综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；

当时，函数在上单调递减；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；

当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．

2．已知切线方程求参数的取值范围

1．已知，直线与曲线相切，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为直线与曲线相切，

所以设切点为，则，

因为，所以，

则切线方程为，

因为过点，代入可得．

令，则在上恒成立，

所以在上单调递增，且，所以切点为，

则，故选B．

2．已知，直线与曲线相切，则的最小值是________．

【答案】

【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为，

因为，直线的斜率为，

所以，，，

所以，

因为，

所以，

当且仅当时等号成立．

所以的最小值是，故答案为．

3．公切线问题

1．若曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则________．

【答案】或

【解析】因为，所以，则，

所以曲线在点处的切线方程为，

设与相切于点，

因为，所以，

则，，可得，从而，

故答案为．

2．已知（e为自然对数的底数），，则与的公切线条数为_______．

【答案】2

【解析】根据题意，设直线与相切于点，与相切于点，

对于，其导数为，

则有，

则直线的方程为，即，

对于，其导数为，

则有，

则直线的方程为，即，

直线是与的公切线，则，可得，

则或，

故直线的方程为或，

则与的公切线条数是2条，故答案为2．

3．若函数与存在两条公切线，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设切线与曲线相切于点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，

即，

联立可得，

由题意可得且，可得，

令，其中，则．

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，所以，．

且当时，，当时，，如下图所示：

由题意可知，直线与曲线有两个交点，则，解得，

故选D．

4．若函数与函数的图象存在公切线，

则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，设切点为，则，

则公切线方程为，即，

联立，可得，

所以，，整理可得，

由可得，解得，

令，其中，则，

令，则，函数在上单调递增，

当时，，即，此时函数单调递减，

当时，，即，此时函数单调递增，

所以，，且当时，，

所以，函数的值域为，故，故选A．

5．若存在斜率为的直线与曲线与都相切，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设直线与、的切点分别为、，

因为，，

所以，，

因为直线与、都相切，所以，解得，

则两切点重合，即，，，

设，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

则，

因为时，，

所以，，

实数的取值范围为，故选A．

6．已知函数，．

（1）求函数的极值；

（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切．

【答案】（1）极大值为，没有极小值；（2）证明见解析．

【解析】（1）的定义域为，

且，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以是的极大值点，

故的极大值为，没有极小值．

（2）设直线分别切，的图象于点，，

由可得，得的方程为，

即；

由可得，

得的方程，即．

比较的方程，得，

消去，得．

令（），则．

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以．

因为，所以在上有一个零点；

由，得，

所以在上有一个零点，所以在上有两个零点，

故有且只有两条直线与函数，的图象都相切．

4．其他

1．若过点可以作曲线且的两条切线，则（）

A．  B．

C．  D．与的大小关系与有关

【答案】D

【解析】设切点为，则，

所以切线方程为，

因为点在切线上，所以，

即，

令，则，

令，得，

当时，；当时，，

所以当时，取得极小值，

因为过点可以作曲线且的两条切线，

所以，即，

所以与的大小关系与有关，故选D．

2．已知函数，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围是________．

【答案】或

【解析】由题得，设切点坐标为，

则切线方程为，

又切线过点，可得，

整理得，

因为曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根且，

若，则，为两个重根，不成立，

即满足，解得或，

故的取值范围是或，

故答案为或．

3．在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（）

A．9 B． C． D．

【答案】B

【解析】由，则，

又，

的最小值转化为上的点与上的点的距离的平方的最小值，

由，得，与平行的直线的斜率为1，

∴，解得或（舍），可得切点为，

切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，

的最小值为，故选B．

4．如图所示，动点P，Q分别在函数，上运动，则的最小值为________．

【答案】

【解析】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数，

又，在定义域上分别单调递增、单调递减，

所以函数递增的速度由慢到快，递增的速度由快到慢，

设动点，，当且仅当满足时，

取得最小值，

由图象的示意图不难发现，该方程组有唯一一组解：，，

所以，，所以的最小值为，

故答案为．

5．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为_______．

【答案】

【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，

∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小值，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，

∴令，则，

∴有，则，即，

∴到的距离，

∴．

故答案为．

6．（多选）若函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）

A．  B．

C．， D．

【答案】ACD

【解析】当时，，当时，满足条件；

当时，恒成立，不满足条件；

当，时，，当，满足条件；

当时，，函数单调递增，且，，所以存在，，满足条件，

故选ACD．

7．（多选）已知函数，若的图象存在两条相互垂直的切线，则的值可以是（）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】∵函数，定义域为，

∴，

∴，当且仅当时，取等号，

要使的图象存在两条相互垂直的切线，则，，

所以的值必有一正一负，

当时，，不合题意，

当时，，不合题意，

当时，，则，，

例如，，

故的值可以是，

当时，，则，，

例如，，

故的值可以是，

所以的值可以是或，故选AB．