2022届高考数学二轮专题复习22导数的简单应用

导数的简单应用

1．导数与函数的单调性

1．已知函数，若函数f(x)在[1，2]上为单调函数，

则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】，若函数f(x)在[1，2]上为单调函数，

即或在[1，2]上恒成立，

即或在[1，2]上恒成立．

令，则h(x)在[1，2]上单调递增，所以或，

即或，

又a>0，所以或a≥1，

故答案为．

2．若函数在[1，4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【解析】函数，则，

因为h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，所以在[1，4]上有解，

所以当x∈[1，4]时，有解，

令，而当x∈[1，4]时，令，，即为，

此时(此时x＝1)，所以，

又因为a≠0，所以a的取值范围是，

故答案为．

3．已知函数，则f(x)的极值点为x＝________；若f(x)在区间[t，t＋1]上不单调，则实数t的取值范围是________．

【答案】1，3，

【解析】由题意知，

由，得或，

时，；时，或，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

所以函数f(x)的极值点为x＝1，3．

因为函数f(x)在区间[t，t＋1]上不单调，所以或，

解得或，

故答案为1，3；．

4．（多选）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（）（注…为自然对数的底数）

A． B． C． D．1

【答案】BCD

【解析】由题意，，得，则等价于，即，

所以，则，

令，可得，

又，所以在上是减函数，

所以，解得，则．

故m可能值B、C、D符合要求，故选BCD．

5．已知函数，求函数f(x)的单调区间．

【答案】答案见解析．

【解析】因为，

所以，

当a≤0时，，

所以函数f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)．

当a＞0时，由，得；

由，得．

所以函数f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是．

综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)；

当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是．

6．已知函数，其中k∈R．当时，求函数的单调区间．

【答案】答案见解析．

【解析】由题设，，

当时，，

令，得；令，得，

故的单调递增区间为，单调递减区间为．

当时，令，得或，

当，即时，

当时，或；当时，，

故的单调递增区间为、，减区间为．

当，即时，在R上恒成立，

故的单调递增区间为．

7．已知函数（且）．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调区间．

【答案】（1）；（2）答案见解析．

【解析】（1）∵，

∴，

∴，

又，∴，

∴所求切线方程为．

（2）由题意知，函数的定义域为，

由（1）知，

∴，易知，

①当时，令，得或；令，得．

②当时，，令，得；令，得或．

③当时，．

④当时，，令，得；令，得或．

综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；

当时，函数在上单调递减；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；

当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．

8．已知函数，，讨论的单调性．

【答案】答案见解析．

【解析】由的定义域为，且．

令，则．

①当，即时，对任意的有，则，

此时，函数在上单调递增；

②当，即时，有两个不等的实根，设为、，且，

令，解得，．

解不等式，可得；

解不等式，可得或．

此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为．

综上，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；

当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为．

9．已知函数．

（1）若是的极大值点，求a的值；

（2）讨论的单调性．

【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】（1）因为，定义域为，

则，由是的极大值点，

故，解得，此时，

令，则或（舍），

故当时，，单调递增；

当，，单调递减，

故是的极大值点，满足题意．

故．

（2）因为，定义域为，则，

对，其，

当时，即时，，在单调递减；

当时，即时，令，则，，且，

当时，，故当，，单调递增，

当，，单调递减；

当，，故当，，单调递减，

当，，单调递增；当，，单调递减．

综上所述：当时，在单调递增，在单调递减；

当时，在和单调递减，在单调递增；

当时，在单调递减．

2．导数与函数的极值

1．已知函数在区间上的图象如图所示，则（）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】法一：当时，，

设，其中，则，另外，所以，故，解得，

又因为，所以，故选B．

法二：由，，

从而，

由于，所以，解得，

又从图象可以看出，即，从而，解得，由于，故，故选B．

2．已知函数在处取得极值，若的单调递减区间为，（）

A．5 B．4 C． D．

【答案】B

【解析】∵，∴，

由题设可得，解得，

即，

令，解得，

则函数的单减区间就是，则，故选B．

3．已知函数的一个极值点为1，则的最大值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对求导得，

因为函数的一个极值点为1，所以，所以，

又，于是得，当且仅当时等号成立，

所以的最大值为，故的最大值为，故选D．

4．若函数在上无极值，则实数的取值范围（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由可得

，

恒成立，为开口向上的抛物线，

若函数在上无极值，

则恒成立，所以，

解得，

所以实数的取值范围为，故选D．

5．若函数(为常数)在区间上有两个极值点，则实数取值范围是_________．

【答案】

【解析】由题意得．

∵函数在内有两个极值点，

∴在内与轴有两个不同的交点，如图所示：

∴，解得，

故答案为．

6．（多选）已知函数（，）存在极大值和极小值，且极大值与极小值互为相反数，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

设是方程的两个实数根，根据题意可知，不妨设，

则，且，

即，

化简得，

将代入化简计算得，，选项B正确，选项ACD错误，

故选B．

7．若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

若时，当时，；当时，，

则在上单调递减；在上单调递增．

所以当时，取得极小值，与条件不符合，故不满足题意．

当时，由可得或；由可得，

所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增．

所以当时，取得极大值，满足条件．

当时，由可得或；由可得，

所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增．

所以当时，取得极小值，不满足条件．

当时，在上恒成立，即在上单调递增．

此时无极值．

综上所述：满足条件，故选A．

8．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，，，

记，则，

则时，，单调递减；时，，单调递增，

所以．

若，则时，，单调递减；

时，，单调递增，

于是是函数的唯一极值点．

若，则，易知，于是时，；

设，，即在上单调递增，所以，则时，，此时，于是且时，．

再结合函数的单调性可知，函数在两个区间内分别存在唯一一个零点，且当时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，

于是函数存在3个极值点，

综上所述，故选D．

9．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在区间（2，3）中至少有一个极值点，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）解：因为函数，所以，

则，，

所以曲线在点处的切线方程为，

即．

（2）解：因为，

所以，

函数在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于在区间（2，3）中至少有一个变号零点，

因为函数的对称轴为，

当或时，函数在区间（2，3）上单调，

所以，即，解得，满足题意；

当时，函数在区间是单调递减，在区间是单调递增，

则需或，

即或，解得或，与相矛盾，

所以实数a的取值范围．

10．已知函数，其中．

（1）求函数的极值；

（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【解析】（1）∵，函数的定义域是，

∴，

当时，，函数单调递增，此时无极值；

当时，，，函数单调递减；，，函数单调递增，

故是极小值，无极大值；

综上：当时无极值；

当时，是极小值，无极大值．

（2）当时，单调递增，最多有一零点，不满足条件；

当时，的极小值是，

设，，在单调递增，

∵，，

∴，则的极小值大于等于零，最多有一零点，不满足条件；

当时，的极小值，

∵，，，

所以在必有一零点；

，

在也有一零点，满足条件，

故的取值范围是．

3．导数与函数的最值

1．已知函数，，，则的最小值是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由函数，，，得，

则，

令，

当时，；当时，，

所以函数在上递减，在递增，

所以，即的最小值是，故选A．

2．已知函数，若，且，则的最小值等于（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由解析式知：在各区间上均为增函数且连续，故在上单调递增，且，

所以时，

可设，则，得，

于是，

令，则，

所以在上，；在上，，

故在上递减，在上递增，

所以的极小值也是最小值，且为，故的最小值是．

故选D．

3．函数，若存在，对任意，，

则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可知，函数在上存在最大值，

令，其中，则．

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，所以，．

①若，当时，，此时存在最大值；

②若，则当时，存在使得，此时函数无最大值．

综上所述，，故选A．

4．（多选）若函数在上有最大值，则a的取值可能为（）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】，则，

当和时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减．

在处取极大值为．

函数在上有最大值，

故，且，即，

解得．

故选AB．

5．若函数存在最小值，则实数a的取值范围是_________．

【答案】

【解析】因为函数，

所以，

当时，，，

又，所以，所以函数在上单调递增，此时无最小值；

当时，，则有两个不等实根，

设两个不等实根，

则，

所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，

所以是函数的极小值点，

又时，，所以，

所以要使得函数存在最小值，则函数的最小值只能为，且，

即，所以，

即，解得，

所以，故答案为．

6．已知，函数，若函数与有相同的最大值，则m的取值范围为__________．

【答案】

【解析】因为，所以，

因为，

所以当时，；当时，，

所以当时，取得最大值，

因为与有相同的最大值，

所以，解得，

所以m的取值范围为，故答案为．

7．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若，求函数的最值．

【答案】（1）；（2）函数的最小值为，最大值为．

【解析】（1）函数，求导得，则，

而，所以曲线在点处的切线方程为．

（2）由（1）知，由，解得，而，

当时，；当时，，

因此，在上单调递减，在上单调递增，

则当时，，

而，，显然，即有，

所以函数的最小值为，最大值为．

8．已知函数，．

（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；

（2）当时，求函数在区间上的最小值．

【答案】（1）；（2）当时，最小值为；当时，最小值为．

【解析】（1）解：因为，所以，

∵曲线在点处的切线垂直于直线，

又直线的斜率为1，∴，

∴．

（2）解：∵，，

①当时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，

则函数在区间上的最小值为．

②当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，在区间上，此时函数在区间上单调递增，则函数在区间上的最小值为．

③当，即时，在区间上，，此时函数在区间上单调递减，则函数在区间上的最小值．

综上所述，当时，函数在区间上的最小值为；

当时，函数在区间上的最小值为．

9．设函数，．关于的函数表示在的最小值．

（1）求的值；

（2）求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，．

所以在单调递增，，所以．

（2）注意到无论取何值，，从而．

下面验证，当时，上述不等式的等号能成立．

当时，，．

设，则．

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

故在区间单调递减，在区间单调递增．

而，，，

故有两个零点，分别为和．

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

因此在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

所以．

而，所以．

综上所述，当时，取得最大值．