2020-2021学年上海市虹口区一模数学试卷及答案

虹口区2020学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试

高三数学　试卷　　 　 

（时间120分钟，满分150分）                   2020.12

一．填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，本大题满分54分）

1．已知集合，，则           ．

2．方程的根是_____________.

3．行列式的值等于        ．

4．函数的反函数为，则     ．

5．从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为                 （用数字作答）．

6．在的二项式展开式中，项的系数是           ．

7．计算：　      　．

8．过抛物线的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于、两点，且，则       ．

9．已知，且有，则__________．

10．设分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则       ．

11．若分别是正数，的算术平均数和几何平均数，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值形成的集合是         ．

12．已知数列满足，且（其中为数列前项和），是定义在上的奇函数，且满足，则     .

二．选择题（每小题5分，满分20分）

13．若，则下列各式中恒正的是（    ）

14．在中，若，则的形状一定是（    ）

等边三角形   直角三角形      等腰三角形，   等腰直角三角形

15．已知函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标依次是1，2，4，下列区间是函数单调递增区间的是（     ）．

16．在空间，已知直线及不在上两个不重合的点、，过直线做平面，使得点、到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是（     ）．

1个            2个           3个             无数个

三．解答题（本大题满分76分）

17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）

如图在三棱锥中，棱、、两两垂直，，点在上，且．

（1）求异面直线和所成的角的大小；

（2）求三棱锥的体积．

18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）

已知函数，其中．

（1）当是奇函数时，求实数的值；

（2）当函数在上单调递增时，求实数的取值范围．

19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）

如图所示，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向处，的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电．要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨．

（1）当时，求的值；

（2）发电厂尽量远离居民区,要求的面积最大．问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？

20．（本题满分16分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题6分.）

已知点、,直线(其中），点在直线上.

（1）若， ，是常数列，求的最小值；

（2）若， ，成等差数列，且，求的最大值；

（3）若， ，成等比数列，且，求的取值范围．

21．（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）.

设是实数，是整数，若，则称是数轴上与最接近的整数．

（1）数列的通项为，且对任意的正整数，是数轴上与最接近的整数,写出一个满足条件的数列的前三项；

（2）数列的通项公式为,其前项和为，求证：整数是数轴上与实数最接近的整数；

（3）是首项为2，公比为的等比数列的前项和，是数轴上与最接近的正整数，求.