2020-2021学年上海市青浦区一模数学试卷及答案

青浦区2020学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试

数 学 试 卷

              （时间 120 分钟，满分 150 分）        Q2020.12

学生注意：

1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．

2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．

3． 可使用符合规定的计算器答题．

一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.

1．已知集合，，则           ．

2．函数的反函数是           ．

3．行列式中，元素的代数余子式的值为           ．

4．已知复数满足，则             .

5．圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角           ．

6．已知等差数列的首项，公差，其前项和为，则           ．

7．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是的更为精确的近似值．己知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为____________．

8．在二项式的展开式中的系数与常数项相等，则的值是__      __．

9．点是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两个焦点，则的值为           ．

10．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从中随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是         ．（结果用最简分数表示）

11．记为数列在区间中的项的个数，则数列的前项的和

_________．

12．已知向量的模长为1，平面向量满足：，则的取值范围是_________．

二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13．已知，则“”是“”的………………………………（     ）．

（A）充分不必要条件               （B）必要不充分条件

（C）充要条件                     （D）既不充分也不必要条件

14．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：

①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．

其中正确的是……………………………………………………………………………（     ）．

（A）①② （B）①④ （C）②③ （D）③④

15．已知顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，则的值为………………………………………………………………………………………（     ）．

（A） （B） （C） （D）

16．设函数，其中是实数集的两个非空子集，又规定，，则下列说法：

（1）一定有；（2）若，则；

（3）一定有；（4）若，则．

其中正确的个数是………………………………………………………………………（     ）．

（A） 1    （B） 2    （C） 3    （D） 4

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

如图，长方体中，，，点P为的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求异面直线与所成角的大小．

18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

设函数，为常数．

（1）若为偶函数，求的值；

（2）设，，为减函数，求实数的取值范围．

19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

如图，矩形是某个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在△区域内参观．在上点处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中、在线段（含端点）上，且点在点的右下方．经测量得知：米，米，米，．记（弧度），监控摄像头的可视区域△的面积为平方米．

（1）分别求线段、关于的函数关系式，并写出的取值范围；

（2）求的最小值．

20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.

已知动点到直线的距离比到点的距离大．

（1）求动点所在的曲线的方程；

（2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；

（3）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点．

21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.

若无穷数列和无穷数列满足：存在正常数A，使得对任意的，均有，则称数列与具有关系．

（1）设无穷数列和均是等差数列，且，，问：数列与是否具有关系？说明理由；

（2）设无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，，，证明：数列与具有关系，并求A的最小值；

（3）设无穷数列是首项为1，公差为的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件．