山东省潍坊市2022届高三下学期高中学科核心素养测评数学试题及答案

试卷类型：A

2022年潍坊市高中学科核心素养测评

高三数学

2022．3

本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．

 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如图，已知全集U=R，集合A=｛1，2，3，4，5｝，，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

             第1题图                                       第4题图

2．“，”是“”的（       ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．设函数，则（       ）

A．10 B．9 C．7 D．6

4．某品牌暖水瓶的内胆规格如图所示，分为①②③④四个部分（水瓶内胆壁厚不计），它们分别为一个半球，一个大圆柱，一个圆台和一个小圆柱．若其中圆台部分的体积为cm3，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出cm3，则盖上瓶塞后水瓶的最大盛水量为（       ）

A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3

5．关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（       ）

A． B．

C．  D．

6．除以7的余数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．已知椭圆E：（）的右顶点为A，直线交E于第一象限内的点B．点C在E上，若四边形OABC为平行四边形，则（       ）

A．若k越大，则E的长轴越长 B．若k越大，则E越扁

C．若，则E的离心率为 D．若，则E的离心率最大

8．如图，在边长为a的等边三角形ABC中，圆D1与△ABC相切，圆D2与圆D1相切且与AB，AC相切，…，圆Dn+1与圆Dn相切且与AB，AC相切，依次得到圆D3，D4，…，Dn．设圆D1，D2，…，Dn的面积之和为，（），则（       ）

A．  B．

C．  D．

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．已知复数z满足，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（       ）

A．复数z的虚部为 B．

C．  D．复数z的共轭复数为

10．已知事件A，B满足，且P（B）=0.5，则一定有（       ）

A． B． C． D．

11．如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一个动点，且满

足PD+PB1=，则下列结论正确的是（       ）

A．B1D⊥PB  B．点P的轨迹是一个半径为的圆

C．直线B1P与平面A1BC1所成角为 D．三棱锥P−BB1C1体积的最大值为

12．我们约定双曲线E1：（，）与双曲线E2：（） 为相似双曲线，其中相似比为．则下列说法正确的是（       ）

A．E1，E2的离心率相同，渐近线也相同

B．以E1，E2的实轴为直径的圆的面积分别记为S1，S2，则

C．过E1上的任一点P引E1的切线交E2于点A，B，则点P为线段AB的中点

D．斜率为k（）的直线与E1，E2的右支由上到下依次交于点A，B，C，D，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点P为CD的中点，则________．

14．已知函数（）在上单调递增，则的一个取值为________．

15．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，sin∠CBD：sin∠BDC：sin∠BAD=1：1：，AC=4，则△ABD面积的最大值为________．

16．设函数（a，）在区间上总存在零点，则的最小值为________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为．

（1）求∠C；

（2）若∠A=，∠C的角平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE=DE，求cos∠ADB．

18．（12分）

 如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，将梯形AA1C1C绕AA1旋转至AA1D1D位置，二面角D1−AA1−C1的大小为30°．

（1）证明：A1，B1，C1，D1四点共面，且A1D1⊥平面ABB1A1；

（2）若AA1=A1C1=2AB=4，设G为DD1的中点，求直线BB1与平面AB1G所成角的正弦值．

19．（12分）

 在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，），点P到点M的距离比点P到x轴的距离大，记P的轨迹为C．

（1）求C的方程；

（2）过点P（，）（其中）的两条直线分别交C于E，F两点，直线PE，PF分别交y轴于A，B两点，且满足．记为直线EF的斜率，为C在点P处的切线斜率，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

20．（12分）

 已知和均为等差数列，，，，记，，…，（n=1，2，3，…），其中，，…，表示，，…，这s个数中最大的数．

（1）计算，，，猜想数列的通项公式并证明；

（2）设数列的前n项和为，若对任意恒成立，求偶数m的值．

21．（12分）

 已知函数（）．

（1）当时，恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当a=1时，，方程的根为，，且，求证：．

22．（12分）

 某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第k（k=1，2，…，100）个箱子中有k个数学题，100−k个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品．

（1）已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p，答对每一个物理题的概率为q．

 ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；

 ②已知p+q=1，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p，q的值．

（2）若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率．