专题14 圆锥曲线中的定值、定点、探索性问题（重难点突破）-【教育机构专用】2022年秋季高二上精品讲义（新教材人教A版）

专题14 圆锥曲线中的定值、定点与探索性问题

一、考情分析

1.点问题在2019全国III理21中出现，虽然以往全国卷高考题中出现较少，是圆锥曲线部分的小概率考点．但是在2019年出现，所以在2020年备考一定引起重视。定点问题是比较常见出题形式，题目属于中等偏简单题目。采取常规平民化解法，计算是暴力美学范畴。化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

2.在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引玉的作用．

探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：

① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；

② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值

二、学法指导与考点梳理

【直线过定点的解题策略】

（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.

（2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.

（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

【重要结论】

1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．

2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．

3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点．

4.只要任意一个限定AP与BP条件（如定值，定值），直线AB依然会过定点

【定值问题的常见类型及解题策略】

(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；

(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；

(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．

【知识拓展】

1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；

2. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；

3. 设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；

三、重难点题型突破

重难点题型突破1 定点问题

例1.在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且不过原

点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于

．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若∙，

（i）求证：直线过定点；

（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由．

【解析】（Ⅰ）设直线，由题意，由方程组得

，由题意，所以

设，由韦达定理得

所以由于E为线段AB的中点，因此

此时所以OE所在直线方程为又由题设知D（－3，m），

令=－3，得，即=1，所以

当且仅当==1时上式等号成立，此时  由得

因此  当时，取最小值2．

（Ⅱ）（i）由（I）知OD所在直线的方程为将其代入椭圆C的方程，并由

解得，又，

由距离公式及得

由因此，直线的方程为所以，直线

（ii）由（i）得，若B，G关于x轴对称，则

代入即，解得（舍去）或

所以k=1，此时关于x轴对称。又由（I）得所以A（0，1）．

由于的外接圆的圆心在x轴上，可设的外接圆的圆心为（d，0），

因此故的外接圆的半径为，

所以的外接圆方程为

【变式训练1-1】(2017年新课标全国卷I20)已知椭圆：（），四点中恰有三点在椭圆上。

（1）求的方程；

（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为–1，证明：过

定点。

【解析】：（1）在椭圆上，则不在椭圆上，在椭圆上，，代入得，椭圆的方程为。

（2）step1：设直线方程：i.当斜率存在时，设直线：，

Step2：直线与曲线联立：与椭圆联立得：，

Step3：利用根与系数的关系代入：设，，则，，整理得：，代入得，的方程为，过定点；

ii.当直线的斜率不存在时，设，，由斜率之和为-1，得，得，此时的方程为，也过定点。

【变式训练1-2】.(2017年新课标全国卷II20)设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且。证明：过点且垂直于的直线过的左焦点。

【解析】：（1）（相关点法）设，知，，又，∴，又在椭圆上，∴，即。

（2）设点，，，由已知：，

，∴，∴．

设直线：，因为直线与垂直．∴，故直线方程为，

令，得，，∴，∵，

∴，若,则，，，直线方程为，直线方程为，直线过点，为椭圆的左焦点．

重难点题型突破2 定值问题

例2.已知椭圆系方程： (， )， 是椭圆的焦点， 是椭圆上一点，且.

（1）求的方程；[来源:学科网]

（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于， 两点，点关于原点的对称点为，求证： 的面积为定值，并求出这个定值．

【解析】（1）由题意得椭圆的方程为： ，即 ．

∵  ．∴，又为椭圆上一点，∴．

，即，又，,

∴椭圆的方程为 ．  

（2）解：①当直线斜率存在时，设方程为,

由消去y整理得，

∵直线与椭圆相切，∴，整理得． 

设，则，且，∴点到直线的距离，

同理由消去y整理得，

设，则，

，

．

②当直线斜率不存在时，易知

综上可得的面积为定值．

【考点点睛】：①直线与抛物线交于，在轴上存在定点，使的斜率互为相反数(倾斜角互补或与斜率和为0.)。逆过来亦成立。即恒过定点。

②过椭圆焦点的直线与椭圆交于，存在定点(对应准线与焦点所在轴的交点)，使的斜率互为相反数(倾斜角互补或与斜率和为0.)。逆过来亦成立。即恒过定点焦点。

【变式训练2-1】.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点

的坐标为。

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：。

【解析】：（1）将代入椭圆方程得，得，∴，∴，∴直线的方程为：。

（2）证明：step1：设直线方程：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，，

Step2：直线与曲线联立：联立椭圆方程有即，

∴，，

Step3：利用根与系数的关系代入：

，∴，∴。

【变式训练2-2】.已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求的方程；

（2）是否存在直线与相交于，两点，且满足：①与（为坐标原点）的斜率之和为2；②直线与圆相切，若存在，求的方程；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）由已知得，，解得，，∴椭圆的方程为．

（2）把代入的方程得，

设，，则，①，

由已知得，

∴②，

把①代入②得，即③，

又，由，得或，

由直线与圆相切，则④，

③④联立得（舍去）或，∴，

∴直线的方程为．

重难点题型突破3 探索性问题

例3．（2020届陕西省汉中市高三质检）如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值.

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）利用题中条件先得出的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件

得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线的方程为，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.

（1），，

又是等腰三角形，所以，

把点代入椭圆方程，求得，

所以椭圆方程为；

（2）由题易得直线、斜率均存在，

又，所以，

设直线代入椭圆方程，

化简得，

其一解为，另一解为，

可求，

用代入得，，

为定值.

【变式训练3-1】．（2020届陕西省咸阳市高三第二次模拟）已知椭圆过点，且其离心率为，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在；定圆

【解析】

（1）椭圆经过点，∴，又∵，解之得，.

所以椭圆的方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.

∵，在椭圆上，∴，∴.

∴到直线的距离为，所以.

当直线的斜率存在时，设的方程为，

由得.

设，，则，.

∵，∴，

∴.

∴，即.

∴到直线的距离为，

故存在定圆与直线总相切.

四、课堂定时训练（45分钟）

1．已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，

且.

（1）求的值；

（2）已知点为上一点，，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．

【答案】（1）4；（2）证明过程见解析，直线恒过定点.

【解析】（1）设，由抛物线定义知，又，，

所以，解得，将点代入抛物线方程，解得.

（2）由（1）知，的方程为，所以点坐标为，

设直线的方程为，点，，

由 得，.所以，，

所以

，解得，

所以直线的方程为，恒过定点．

【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题.

（1）设点坐标，根据抛物线的定义得到点横坐标，然后代入抛物线方程，得到的值；

（2），，直线和曲线联立，得到，然后表示出，化简整理，得到和的关系，从而得到直线恒过的定点.

2.已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，

且.

（1）求的值；

（2）已知点为上一点，，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．

【答案】（1）4；（2）证明过程见解析，直线恒过定点.

【解析】（1）设，由抛物线定义知，

又，，所以，解得，

将点代入抛物线方程，解得.

（2）由（1）知，的方程为，所以点坐标为，

设直线的方程为，点，，

由 得，.所以，，

所以

，解得，

所以直线的方程为，恒过定点．

【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题.

（1）设点坐标，根据抛物线的定义得到点横坐标，然后代入抛物线方程，得到的值；

（2），，直线和曲线联立，得到，然后表示出，化简整理，得到和的关系，从而得到直线恒过的定点.

3．已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的

直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正

三角形。

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，

   （ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；

   （ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

【解析】（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为

因为，由抛物线的定义可知，解得或（舍去）

由，解得．所以抛物线的方程为．

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，设．

因为，则，

由得，故，故直线的斜率

因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线的方程得，

由题意，得

设，则，当时，，

可得直线的方程为，由，

整理得，直线恒过点

当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点．

（ⅱ）由（ⅰ）知直线过定点，

所以。

设直线的方程为，因为点在直线上

故．设，直线的方程为

由于，可得，代入抛物线的方程得

所以，可求得，

所以点到直线的距离为

==

则的面积，

当且仅当即时等号成立，

所以的面积的最小值为．

4.如图,点,分别为椭圆的左右顶点,为椭圆上非顶点的三点,直线的斜率分别为,且,,.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）判断的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由.

【分析】（Ⅰ）设,则,而,所以 （Ⅱ）根据弦长公式求底边的长,根据点到直线距离公式求底边上的高,因此设直线的方程为,由直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得,根据斜率条件及韦达定理得

,高为 ,代入面积公式化简得

【解析】（Ⅰ）椭圆.

（Ⅱ）设直线的方程为,,,

,,,

,

,,

,

,.

的面积为定值1.

【点评】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；

(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；

(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．