2.5.1-2.5.2直线与圆、圆与圆的位置关系-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

直线、圆的位置关系1.直线与圆的位置关系： 1. 直线与圆，圆心到直线的距离（1）；（2）；（3）；弦长|AB|=2   2.还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 2. 两圆的位置关系1.设两圆与圆，圆心距①　；②　；③　；④　；⑤　；         外离             外切               相交             内切         内含       3.切线问题1. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即：例1. 经过点P(1，-2)点作圆(x+1)2+(y-2)2=4的切线，则切线方程为   或   (2) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，设切线方程上某点坐标为，则过此点的切线方程为：， 则过此点的切线方程也可为：特别地，过圆上一点的切线方程为. 例2.经过点P(-4，-8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为                2.切点弦  过⊙C：外一点作⊙C的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为： 3.切线长：若圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长为 d= 4.圆心的三个重要几何性质：①　圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②　圆心在某一条弦的中垂线上；③　两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。3.两圆公共弦所在直线方程圆：，   圆：，则为两相交圆公共弦方程.补充说明：①若与相切，则表示其中一条公切线方程；②若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 4.圆系问题1．过直线与圆的交点的圆系方程是：（）2．以为圆心的同心圆系方程是：；3．与圆同心的圆系方程是；4．过同一定点的圆系方程是． 补充：①上述圆系不包括；②当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③过直线与圆交点的圆系方程为      类型一：直线与圆的位置关系例1．已知P（x0，y0）在圆x2+y2=R2的内部，试判断直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系．【解析】 ∵点P（x0，y0）在圆x2+y2=R2的内部，∴．又圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离为：，且，∴，∴，即d＞R．∴直线x0x+y0y=R2与圆x2+y2=R2相离． 例2．已知直线与曲线.（1）求证：不论为何值，直线和曲线恒有两个交点；（2）求当直线被曲线所截的线段最短时此线段所在的直线的方程. 【证明】（1）证法一：将直线与曲线C的方程联立得：，消去y得(1+k2)x2―2(4k2+k+3)x+2(8k2+4k+3)=0．  ③∵Δ=4(4k2+k+3)2―8(1―k2)(8k+4k+3)=12k2―8k+12=，∴方程③有两相异实根，从而，由①②组成的方程组有两组解，即直线与曲线C恒有两个交点．证法二：将曲线C的方程配方得(x―3)2+(y―4)2=4，它表示以C（3，4）为圆心，2为半径的圆．设圆心C到直线的距离为d，则：，即，∴直线与曲线C恒有两个交点．证法三：注意到直线：kx―y―4k+3=0可化为y―3=k(x―4)，可知直线恒过定点A（4，3）．∵曲线C是以C（3，4）为圆心，2为半径的圆，（见“证法二”）又42+32－6×4－8×3+21＜0，即点A在圆C内，∴直线与曲线C恒有两个交点．（2）设直线被曲线C所截的线段为AB，当PQAB时，最小，直线PQ的斜率，所以直线AB的斜率，其方程为： 举一反三：【变式1】若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的值范围是（    ）A．      B．C．        D．【答案】C【解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为（2,3），半径为2的半圆，依据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心（2,3）到直线距离等于2，解得或，因为是下半圆，故可得（舍），当直线过（0,3）时，解得，故 【变式2】已知直线：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4，圆C：(x―1)2+(y―2)2=25，则m为任意实数时，与C是否必相交？【答案】相交   类型二：切线问题例3．过点A（4，―3）作圆C：(x―3)2+(y―1)2=1的切线，求此切线方程． 【解析】∵(4―3)2+(―3―1)2=17＞1，∴点A在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y+3=k(x―4)．因为圆心C（3，1）到切线的距离等于半径1，所以，解得．所以切线方程为，即15x+8y―36=0．②若切线斜率不存在，圆心C（3，1）到直线x=4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x=4，综上，所求切线方程为15x+8y―36=0或x=4． 举一反三：【变式1】已知圆C：(x―3)2+(y―4)2=4，直线l1过定点A（1，0）．（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；（2）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程． 【解析】（1）①若直线l1的斜率不存，则直线l1：x=1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k(x―1)，即kx―y―k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得．所求直线l1的方程是x=1或3x―4y―3=0．（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx―y―k=0，则圆心到直线l1的距离又∵三角形CPQ面积∴当时，S取得最大值2．∴，k=1或k=7．∴直线方程为y=x―1，或y=7x―7． 类型三：弦长问题例4．直线经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为，求的方程． 【解析】根据题意知直线的斜率存在，设直线的方程为y―5=k(x―5)圆心（0，0）到直线的距离，在由弦长的一半、半径和距离构成的直角三角形中，，解得或k=2故直线的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0． 举一反三：【变式1】已知圆C经过坐标原点O和点（2，2），且圆心在x轴上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（1，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程． 【解析】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，0），依题意，有，即，解得a=2，所以圆C的方程为．（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=1符合题意．设直线l方程为y―2=k(x―1)，即kx―y―k+2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即3x+4y―11=0．综上，直线l的方程为x―1=0或3x+4y－11=0． 类型四：圆与圆的位置关系例5．已知圆C1：x2+y2―2mx+4y+m2―5=0，圆C2：x2+y2+2x―2my+m2―3=0，问：m为何值时，（1）圆C1和圆C2相外切？（2）圆C1与圆C2内含？ 【解析】  对于圆C1，圆C2的方程，配方得C1：(x―m)2+(y+2)2=9，C2：(x+1)2+(y―m)2=4．（1）如果圆C1与圆C2相外切，则有，即(m+1)2+(m+2)2=25，m2+3m―10=0，解得m=―5或m=2．（2）如果圆C1与圆C2内含，则有，即(m+1)2+(m+2)2＜1，m2+3m+2＜0，解得―2＜m＜―1．故（1）当m=―5或m=2时，圆C1与圆C2相外切；（2）当―2＜m＜―1时，圆C1与圆C2内含． 举一反三：【变式1】当a为何值时，圆C1：x2+y2―2ax+4y+(a2―5)=0和圆C2：x2+y2+2x―2ay+(a2―3)=0相交． 【答案】当―5＜a＜―2或―1＜a＜2时，圆C1与圆C2相交  【变式2】已知圆C1：x2+y2+2x―6y+1=0，圆C2：x2+y2―4x+2y―11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．【解析】设两圆交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B两点坐标是方程组的解，①―②得3x―4y+6=0．∵A、B两点坐标都满足此方程，∴3x―4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心为（―1，3），半径r=3．又C1到直线AB的距离为．∴，即两圆的公共弦长为． 类型五：最值问题例6．已知实数x、y满足方程x2+y2―4x+1=0，求：（1）的最大值；（2）y―x的最小值． 【解析】（1）设，即是圆上的点P与原点O连线的斜率．由图知，直线y=kx和圆M在第一象限相切时，k取最大值．此时有OP⊥PM，，|OM|=2，∴∠POM=60°此时，∴的最大值为．（2）设y―x=b，则y=x+b，b是直线y=x+b在y轴上截距．由图知，当直线y=x+b和圆M在第四象限相切时，b（b＜0）取最小值，此时有，解得，∴y―x的最小值是．举一反三：【变式1】已知实数x，y满足，求(1)x2+y2的最大值；(2)x+y的最小值．【答案】（1）16 （2）【解析】于是(x，y)可以看作是以为圆心，2为半径的圆上的点．如图 （1）x2+y2可看作是圆上的点到原点的距离的平方，由图显然最大为2r=4，所以x2+y2的最大值为16．  （2）解法同例6（2）． 【变式2】直线与圆相交于A、B两点（其中a、b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值为（   ）A．    B．2    C．    D．【答案】A 【解析】由题得，点O到直线的距离是，即，∴，① 设点P(a，b)与点（0，1）的距离为d，则  由①知．所以． 类型六：圆系问题例7．求过两圆x2+y2+6x―4=0和x2+y2+6y―28=0的交点，且圆心在直线x―y―4=0上的圆的方程．【解析】设所求的圆的方程为：x2+y2+6x―4+(x2+y2+6y―28)=0，即．∵圆心为，且在直线x―y―4=0上，∴．故所求的圆的方程为x2+y2―x+7y―32=0．举一反三：【变式1】已知圆M经过圆与圆的交点，（Ⅰ）若圆心在直线x―2y―3=0上，求圆M的方程（Ⅱ）若圆的面积最小，求圆M的方程． 【解析】（Ⅰ）设所求圆即，其圆心为代入直线x―2y―3=0得λ=2，所以所求为即为所求．（2）∵圆的面积最小，∴圆M以已知两相交圆的公共弦为直径相交弦的方程为x―y+4=0，将圆心为代入x―y+4=0得，所以所求圆即为． 【巩固练习】1．已知圆C：x2+(y―2)2=5，直线l：mx―y+1=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（2）若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．1.【解析】（1）证明：∵直线l：mx―y+1=0经过定点D（0，1），点D到圆心（0，2）的距离等于1小于圆的半径，故定点（0，1）在圆的内部，故直线l与圆C总有两个不同交点．（2）设中点M的坐标为（x，y），则由直线和圆相交的性质可得AB⊥CM．由于定点D（0，1）、圆心C、点M构成直角三角形，由勾股定理得CM2+DM2=CD2，∴x2+(y―2)2+x2+(y―1)2=(2―1)2，2x2+2y2―6y+4=0，即．此圆在圆C：x2+(y―2)2=5的内部，故点M的轨迹方程为：． 2．已知两圆，．（1）m取何值时两圆外切？（2）m取何值时两圆内切？（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 2．【解析】（1）由已知可得两个圆的方程分别为，，两圆的圆心距，两圆的半径之和为，由两圆的半径之和为，可得．（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，即，可得（舍去），或，解得．（3）当m=45时，两圆的方程分别为，，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x+3y―23=0．第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为，可得弦长为．             3．已知圆C：x2+(y―1)2=5，直线：mx―y+1―m=0，（1）求证：对任意m∈R，直线与圆C总有两个不同的交点．（2）设与圆C交于A、B两点，若，求的倾斜角；（3）求弦AB的中点M的轨迹方程； 3.【解析】（1）由已知直线：y―1=m(x－1 )，知直线恒过定点P（1，1）．∵12=1＜5，∴P点在圆C内．则直线与圆C总有两个不同的交点．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1、x2为方程组的两个实根，∵，∴，∴m2=3，．∴的倾斜角或．（3）∵C（0，1）、P（1，1），|CM|2+|PM|2=|CP|2，设M（x，y），∴x2+(y―1)2+(x―1)2+(y―1)2=1．整理得轨迹方程为：x2+y2―x―2y+1=0（x≠1）．