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2020年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷 及答案
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这是一份2020年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷 及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷
一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1．（4分）的值等于（ ）
A． B．﹣ C．± D．
2．（4分）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列结论正确的是（ ）
A．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d
B．如果a＞b，那么
C．如果a＞b，那么
D．如果，那么a＜b
4．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．25°
5．（4分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：
甲
乙
丙
丁
23
23
24
24
s2
2.1
1.9
2
1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）使用科学计算器进行计算，其按键顺序如图所示，输出结果应为（ ）
A．﹣14 B．﹣3.94 C．﹣1.06 D．﹣3.7
8．（4分）已知α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，则（1+2022α+α2）（αβ+β2）的值为（ ）
A．﹣4040 B．4044 C．﹣2022 D．2020
9．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．（4分）某数学小组在研究了函数y1＝x与性质的基础上，进一步探究函数y＝y1+y2的性质，经过讨论得到以下几个结论：
①函数y＝y1+y2的图象与直线y＝3没有交点；
②函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，则a＝±4；
③点（a，b）在函数y＝y1+y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上．
以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①③
11．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是AD边上一动点（不含端点A，D），连接PC，E是AB边上一点，设BE＝a，若存在唯一点P，使∠EPC＝90°，则a的值是（ ）
A． B． C．3 D．6
12．（4分）对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②其图象与直线y＝x﹣1有且只有一个公共点；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．（4分）若am＝8，an＝2，则am﹣2n的值是 ．
14．（4分）如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为 ．
15．（4分）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为 ．
16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为 时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
17．（4分）如图，二次函数y＝﹣x﹣4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PC+PD的最小值为 ．
三、解答题（共7小题，满分52分）
18．（5分）计算：．
19．（5分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，与BA的延长线交于点F，连接AC，DF．请判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查．问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如下表：
社团名称
A酵素制作社团
B回收材料小制作社团
C垃圾分类社团
D环保义工社团
E绿植养护社团
人数
10
15
5
10
5
（1）根据以上信息填空：这5个数的中位数是 ；扇形图中没选择的百分比为 ；
（2）①补全条形统计图；②若该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（3）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
21．（8分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．
（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
22．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）求△OBD的面积；
（3）根据图象直接写出k1x+b＞的解集．
23．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：GD为⊙O切线；
（2）求证：DE2＝EF•AC；
（3）若tan∠C＝2，AB＝5，求AE的长．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y＝ax2+2x+c的解析式；
（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；
（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点的三角形，是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．
2020年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1．（4分）的值等于（ ）
A． B．﹣ C．± D．
【分析】根据算术平方根解答即可．
【解答】解：，
故选：A．
2．（4分）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．
【解答】解：能折叠成正方体的是
故选：C．
3．（4分）下列结论正确的是（ ）
A．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d
B．如果a＞b，那么
C．如果a＞b，那么
D．如果，那么a＜b
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵c＞d，
∴﹣c＜﹣d，
∴如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d不一定成立，
∴选项A不符合题意；
∵b＝0时，无意义，
∴选项B不符合题意；
∵a＞0＞b时，＞，
∴选项C不符合题意；
∵如果，那么a＜b，
∴选项D符合题意．
故选：D．
4．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．25°
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，
∴∠BCA＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
∴EO是△DBC的中位线，
∴EO∥BC，
∴∠1＝∠ACB＝50°．
故选：B．
5．（4分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：
甲
乙
丙
丁
23
23
24
24
s2
2.1
1.9
2
1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数得到丙组和丁组产量较好，然后比较方差得到丁组的状态稳定．
【解答】解：因为甲组、乙组的平均数比丙组、丁组小，
而丁组的方差比丙组的小，
所以丁组的产量比较稳定，
所以产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是丁；
故选：D．
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象大致位置．
【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＞0，
由对称轴x＝﹣＞0，可知b＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过一、三、四象限，
反比例函数y＝的图象在一、三象限．
故选：B．
7．（4分）使用科学计算器进行计算，其按键顺序如图所示，输出结果应为（ ）
A．﹣14 B．﹣3.94 C．﹣1.06 D．﹣3.7
【分析】根据如图所示的按键顺序，列出算式3×（﹣）﹣1.22，再计算可得．
【解答】解：根据如图所示的按键顺序，输出结果应为3×（﹣）﹣1.22＝﹣2.5﹣1.44＝﹣3.94，
故选：B．
8．（4分）已知α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，则（1+2022α+α2）（αβ+β2）的值为（ ）
A．﹣4040 B．4044 C．﹣2022 D．2020
【分析】由α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，根据根与系数的关系，可得αβ＝1，由一元二次方程的根的定义，可得α2+2020α+1＝0，β2+2020β+1＝0，继而求得答案．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，
∴α2+2020α+1＝0，β2+2020β+1＝0，αβ＝1，
∴（1+2022α+α2）（αβ+β2）＝2α（1+β2）＝2α（﹣2020β）＝﹣4040αβ＝﹣4040．
故选：A．
9．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明△ABG≌△AFG，进而得到BG＝GF，由G是BC的中点，AB＝6，得到GF＝CG＝3，在Rt△ECG中有勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：连接AG，由已知AD＝AF＝AB，且∠AFG＝∠ABG＝∠D＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AFG （HL），
∴BG＝BF
∵AB＝BC＝CD＝DA＝6，G是BC的中点，
∴BG＝BF＝3，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝6﹣x，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：
（x+3）2＝32+（6﹣x）2，
解得x＝2，即DE＝2．
故选：C．
10．（4分）某数学小组在研究了函数y1＝x与性质的基础上，进一步探究函数y＝y1+y2的性质，经过讨论得到以下几个结论：
①函数y＝y1+y2的图象与直线y＝3没有交点；
②函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，则a＝±4；
③点（a，b）在函数y＝y1+y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上．
以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①③
【分析】①根据题意得出y与x的函数关系式，当y＝3时，解得x，若方程无解，说明两个函数图象无交点，
②当y＝a时，得出一个一元二次方程，两个函数的图象只有一个交点，说明方程有一个解，或由两个相同的实数根，让根的判别式为0即可，
③将点（a，b）代入函数关系式中，得出b＝a+，再将x＝﹣a代入函数关系式中，得出结论，和﹣b判断，即可得出结论．
【解答】解：①由 题意得，y＝x+，
当y＝3时，即：3＝x+，
也就是x2﹣3x+4＝0，
∵△＝9﹣16＜0，
∴此方程无实数根，
故，y＝x+与y＝3无交点，因此①正确，
②由①得，
当y＝a时，即：a＝x+，
也就是x2﹣ax+4＝0，
当△＝a2﹣16＝0时，函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，
此时，a＝±4，因此②正确，
③将点（a，b）代入函数关系式中，得出b＝a+，将x＝﹣a代入函数关系式中，得出﹣a﹣＝﹣（a+）＝﹣b，
则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上．
因此③正确，
故选：B．
11．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是AD边上一动点（不含端点A，D），连接PC，E是AB边上一点，设BE＝a，若存在唯一点P，使∠EPC＝90°，则a的值是（ ）
A． B． C．3 D．6
【分析】设AP＝x，AE＝y，证明△APE∽△DCP，根据相似三角形的性质得到比例式，转化为一元二次方程，利用判别式△＝0，构建方程解决问题．
【解答】解：∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠DCP+∠DPC＝90°，
∴∠APE＝∠DCP，又∠A＝∠D＝90°，
∴△APE∽△DCP，
∴＝，
设AP＝x，AE＝y，
可得x（10﹣x）＝6y，
∴x2﹣10x+6y＝0，
由题意△＝0，
∴100﹣24y＝0，
∴y＝，
∵BE＝AB﹣AE＝6﹣＝，
故选：B．
12．（4分）对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②其图象与直线y＝x﹣1有且只有一个公共点；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用函数的图象和性质逐一求解即可．
【解答】解：①当y＝0，ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝，
则二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），
故①正确，符合题意；
②由题意得：ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1＝x﹣1，化简得：x2﹣2x+1＝0，
△＝22﹣4＝0，故抛物线图象与直线y＝x﹣1有且只有一个公共点，
故②正确，符合题意；
③该抛物线对称轴为x＝1﹣，顶点的纵坐标为y＝﹣，
则y＝（1﹣）﹣，即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣上，
所以③正确，符合题意；
④由①知，二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），
故无论a取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），故④正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．（4分）若am＝8，an＝2，则am﹣2n的值是 2 ．
【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．逆用同底数幂的除法法则以及积的乘方法则，即可得到结果．
【解答】解：∵am＝8，an＝2，
∴am﹣2n＝am÷a2n＝am÷（an）2＝8÷22＝2，
故答案为：2．
14．（4分）如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为 ﹣2 ．
【分析】把（x﹣2）（x﹣n）展开得到x2﹣（2+n）x+2n，利用恒等变形得到m＝2+n，2n＝6，然后求出m、n后计算m+n的值．
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，
∴m＝﹣（2+n），2n＝6，
∴n＝3，m＝﹣5，
∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．
故答案为﹣2．
15．（4分）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为 ．
【分析】作辅助线，构建直角△AOB，分别计算OA、OB的长，根据面积法可得OE的长．
【解答】解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则OE⊥AB，OF⊥BC，
∵⊙O内切于菱形ABCD，
∴OE＝OF，
∴OB平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
同理得∠BAO＝60°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO＝AB＝2，OB＝2，
∴S△AOB＝AB•OE＝AO•OB，
4OE＝2×，
OE＝，
故答案为：．
16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为 2或 时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
【分析】根据矩形的性质得出CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，求出AP＝8﹣t，DE＝3，由勾股定理求出AE＝5，PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，分为两种情况：①当AE＝PE时，②当AP＝PE时，求出即可．
【解答】解：根据题意得：BP＝t，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，
∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，
∴AP＝8﹣t，DE＝DC﹣CE＝8﹣5＝3，
由勾股定理得：AE＝＝5，
过E作EF⊥AB于F，
则∠EFA＝∠EFB＝90°，
∵∠C＝∠B＝90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BF＝CE＝5，BC＝EF＝4，
∴PF＝5﹣t，
由勾股定理得：PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，
①当AE＝PE时，52＝42+（5﹣t）2，
解得：t＝2，t＝8，
∵t＝8不符合题意，舍去；
②当AP＝PE时，（8﹣t）2＝42+（5﹣t）2，
解得：t＝，
即当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，
故答案为：2或．
17．（4分）如图，二次函数y＝﹣x﹣4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PC+PD的最小值为 ．
【分析】连接AC，作点D关于y轴的对称点D'，作点A关于y轴的对称点A'，过点D'作D'E⊥CA'交于点E，则D'E为所求；由对称性可知A'（3，0），D'（﹣1，0），CO＝4，A'O＝3，CA'＝5，由∠A'A'C的正弦值可得，即可求出D'E＝；
【解答】解：连接AC
y＝﹣x﹣4与x轴交点A（﹣3，0）、B（5，0），点C（0，﹣4），
∴sin∠ACO＝，
作点D关于y轴的对称点D'，作点A关于y轴的对称点A'，过点D'作D'E⊥CA'交于点E，则D'E为所求；
由对称性可知，∠ACO＝∠OCA'，
∴sin∠OCA'＝，
∴PC＝PE，
再由D'P＝DP，
∴PC+PD的最小值为D'E，
∵A'（3，0），D'（﹣1，0），
∴A'D'＝4，CO＝4，A'O＝3，
∴CA'＝5，
∴
∴D'E＝；
故答案为；
三、解答题（共7小题，满分52分）
18．（5分）计算：．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+2﹣+＝0．
19．（5分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，与BA的延长线交于点F，连接AC，DF．请判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
【分析】证明△FAE≌△CDE（ASA），得出CD＝FA，由CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形．
【解答】解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△FAE和△CDE中，，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查．问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如下表：
社团名称
A酵素制作社团
B回收材料小制作社团
C垃圾分类社团
D环保义工社团
E绿植养护社团
人数
10
15
5
10
5
（1）根据以上信息填空：这5个数的中位数是 10 ；扇形图中没选择的百分比为 10% ；
（2）①补全条形统计图；②若该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（3）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
【分析】（1）根据中位数的意义，排序、找出第3个数即可，求出没选择的人数，进而求出百分比，
（2）各组人数都求出，补全条形统计图，参加义工社团的占20%，求出1400人的20%即可，
（3）用树状图表示所有可能出现的结果数，根据概率的意义求解．
【解答】解：（1）将这五个数从小到大排列，处在第3位的数是10，因此中位数是10，
（5﹣﹣10﹣15﹣5﹣10﹣5）÷50＝10%，
故答案为：10，10%．
（2）①补全条形图如图所示：
②1400×20%＝280名，
答：全校约有280名学生愿意参加环保义工社团．
（3）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示，画树状图如下：
由树状图知共有4种等可能结果，其中两人同时选择绿植养护社团只有一种情况，
∴两人同时选择绿植养护社团的概率为．
21．（8分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．
（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
【分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价＝单价×购进数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据总价＝单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克．
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，
根据题意得：w＝10a+20（120﹣a）＝﹣10a+2400．
∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，
∴a≤3（120﹣a），
解得：a≤90．
∵k＝﹣10＜0，
∴w随a值的增大而减小，
∴当a＝90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400＝1500．
∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．
22．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）求△OBD的面积；
（3）根据图象直接写出k1x+b＞的解集．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，将A、B的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的解析式；
（2）求出点D的坐标，然后根据B、D的坐标结合三角形的面积公式即可求出△OBD的面积；
（3）根据图象找出一次函数在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为；
把B（﹣1，n）代入反比例函数解析式，可得n＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
把A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y1＝k1x+b，
可得，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x﹣2；
（2）令y1＝0，有0＝x﹣2，即x＝2，
∴D（2，0），OD＝2，
如图，过B作BE⊥x轴于点E，
∵B（﹣1，﹣3），
∴BE＝3，
∴S△BOD＝×OD×BE＝×2×3＝3；
（3）由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时，一次函数图象落在反比例函数图象的上方，
所以k1x+b＞的解集是﹣1＜x＜0或x＞3．
23．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：GD为⊙O切线；
（2）求证：DE2＝EF•AC；
（3）若tan∠C＝2，AB＝5，求AE的长．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，由DG⊥AC，可得OD⊥DF，则结论得证；
（2）连接AD，先证明DE＝CD，证明Rt△CDF∽Rt△CAD，则结论得证；
（3）求出BD＝DC＝，求出EF，CE长，则AE长可求．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴GD为⊙O切线；
（2）证明：如图2，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，∠EAD＝∠BAD，
∴BD＝DE＝CD，
∵DF⊥AC，
∴CF＝EF，
∵∠CFD＝∠CDA＝90°，∠FCD＝∠ACD，
∴Rt△CDF∽Rt△CAD，
∴，
即CD2＝CF•AC，
∴DE2＝EF•AC；
（3）解：如图2，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，tan∠ABC＝tan∠C＝，AB＝5，
∴BD＝DC＝，
∵在Rt△CDF中，tan∠C＝2，
∴CF＝1，由（2）知，EF＝CF，
∴EF＝CF＝1，CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝5﹣2＝3．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y＝ax2+2x+c的解析式；
（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；
（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点的三角形，是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），则DG＝x﹣1，DF＝（x﹣1），故DE+DF＝﹣x2+2x+3+（x﹣1），即可求解；
（3）①存在；如图2，过点C作AC的垂线交抛物线于点P1，可得到直线AC的解析式为y＝3x+3，即直线AC倾斜角的正切值为3，则直线P1C倾斜角的正切值为，进而求出直线P1C的解析式为y＝﹣x+3，即可求解；同理可得点P2的坐标；
②∠AQC＝90°时，AQ2+CQ2＝AC2，则（﹣1﹣1）2+t2+（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（）2，解得：t1＝1，t2＝2，当1≤t≤2时，∠AQC≥90°，因为△ACQ为锐角三角形，点Q（1，t）必须在线段Q1Q2上（不含端点Q1、Q2），即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝px+q，把A（﹣1，0），
C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
如图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），
∵DF∥AC，
∴∠DFG＝∠ACO，
而抛物线对称轴为x＝1，
∴DG＝x﹣1，DF＝（x﹣1），
∴DE+DF＝﹣x2+2x+3+（x﹣1）＝﹣x2+（2+）x+3﹣＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当x＝，DE+DF有最大值为；
（3）①存在；
如图2，过点C作AC的垂线交抛物线于点P1，
∵直线AC的解析式为y＝3x+3，
则直线AC倾斜角的正切值为3，则直线P1C倾斜角的正切值为，
∴直线P1C的解析式可设为y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，
∴直线P1C的解析式为y＝﹣x+3，解方程组，
解得，
则此时P1点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于P2，
同理可设直线AP2的解析式可设为y＝﹣x+n，
把A（﹣1，0）代入上式并解得n＝﹣，
∴直线PC的解析式为y＝﹣x﹣，
解方程组，解得，
则此时P2点坐标为（，﹣），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）；
②答：﹣＜t＜1或2＜t＜．
如图3，抛物线y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1，过点C作CQ1⊥AC交对称轴于Q1，过点A作AQ2⊥AC交对称轴于Q2，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y＝3x+3，
∵CQ1⊥AC，
∴直线CQ1解析式为y＝﹣x+3，
令x＝1，得y＝﹣×1+3＝，
∴Q1（1，）；
∵AQ2⊥AC，
∴直线AQ2解析式为y═﹣x﹣，令x＝1，得y＝﹣×1﹣＝﹣，
∵∠AQC＝90°时，AQ2+CQ2＝AC2，
∴（﹣1﹣1）2+t2+（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（）2，解得：t1＝1，t2＝2，
∴当1≤t≤2时，∠AQC≥90°，
∵△ACQ为锐角三角形，点Q（1，t）必须在线段Q1Q2上（不含端点Q1、Q2），
∴﹣＜t＜1或2＜t＜．
2020年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷
一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1．（4分）的值等于（ ）
A． B．﹣ C．± D．
2．（4分）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列结论正确的是（ ）
A．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d
B．如果a＞b，那么
C．如果a＞b，那么
D．如果，那么a＜b
4．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．25°
5．（4分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：
甲
乙
丙
丁
23
23
24
24
s2
2.1
1.9
2
1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）使用科学计算器进行计算，其按键顺序如图所示，输出结果应为（ ）
A．﹣14 B．﹣3.94 C．﹣1.06 D．﹣3.7
8．（4分）已知α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，则（1+2022α+α2）（αβ+β2）的值为（ ）
A．﹣4040 B．4044 C．﹣2022 D．2020
9．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．（4分）某数学小组在研究了函数y1＝x与性质的基础上，进一步探究函数y＝y1+y2的性质，经过讨论得到以下几个结论：
①函数y＝y1+y2的图象与直线y＝3没有交点；
②函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，则a＝±4；
③点（a，b）在函数y＝y1+y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上．
以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①③
11．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是AD边上一动点（不含端点A，D），连接PC，E是AB边上一点，设BE＝a，若存在唯一点P，使∠EPC＝90°，则a的值是（ ）
A． B． C．3 D．6
12．（4分）对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②其图象与直线y＝x﹣1有且只有一个公共点；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．（4分）若am＝8，an＝2，则am﹣2n的值是 ．
14．（4分）如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为 ．
15．（4分）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为 ．
16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为 时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
17．（4分）如图，二次函数y＝﹣x﹣4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PC+PD的最小值为 ．
三、解答题（共7小题，满分52分）
18．（5分）计算：．
19．（5分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，与BA的延长线交于点F，连接AC，DF．请判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查．问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如下表：
社团名称
A酵素制作社团
B回收材料小制作社团
C垃圾分类社团
D环保义工社团
E绿植养护社团
人数
10
15
5
10
5
（1）根据以上信息填空：这5个数的中位数是 ；扇形图中没选择的百分比为 ；
（2）①补全条形统计图；②若该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（3）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
21．（8分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．
（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
22．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）求△OBD的面积；
（3）根据图象直接写出k1x+b＞的解集．
23．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：GD为⊙O切线；
（2）求证：DE2＝EF•AC；
（3）若tan∠C＝2，AB＝5，求AE的长．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y＝ax2+2x+c的解析式；
（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；
（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点的三角形，是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．
2020年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1．（4分）的值等于（ ）
A． B．﹣ C．± D．
【分析】根据算术平方根解答即可．
【解答】解：，
故选：A．
2．（4分）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．
【解答】解：能折叠成正方体的是
故选：C．
3．（4分）下列结论正确的是（ ）
A．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d
B．如果a＞b，那么
C．如果a＞b，那么
D．如果，那么a＜b
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵c＞d，
∴﹣c＜﹣d，
∴如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d不一定成立，
∴选项A不符合题意；
∵b＝0时，无意义，
∴选项B不符合题意；
∵a＞0＞b时，＞，
∴选项C不符合题意；
∵如果，那么a＜b，
∴选项D符合题意．
故选：D．
4．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．25°
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，
∴∠BCA＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
∴EO是△DBC的中位线，
∴EO∥BC，
∴∠1＝∠ACB＝50°．
故选：B．
5．（4分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：
甲
乙
丙
丁
23
23
24
24
s2
2.1
1.9
2
1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数得到丙组和丁组产量较好，然后比较方差得到丁组的状态稳定．
【解答】解：因为甲组、乙组的平均数比丙组、丁组小，
而丁组的方差比丙组的小，
所以丁组的产量比较稳定，
所以产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是丁；
故选：D．
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象大致位置．
【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＞0，
由对称轴x＝﹣＞0，可知b＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过一、三、四象限，
反比例函数y＝的图象在一、三象限．
故选：B．
7．（4分）使用科学计算器进行计算，其按键顺序如图所示，输出结果应为（ ）
A．﹣14 B．﹣3.94 C．﹣1.06 D．﹣3.7
【分析】根据如图所示的按键顺序，列出算式3×（﹣）﹣1.22，再计算可得．
【解答】解：根据如图所示的按键顺序，输出结果应为3×（﹣）﹣1.22＝﹣2.5﹣1.44＝﹣3.94，
故选：B．
8．（4分）已知α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，则（1+2022α+α2）（αβ+β2）的值为（ ）
A．﹣4040 B．4044 C．﹣2022 D．2020
【分析】由α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，根据根与系数的关系，可得αβ＝1，由一元二次方程的根的定义，可得α2+2020α+1＝0，β2+2020β+1＝0，继而求得答案．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，
∴α2+2020α+1＝0，β2+2020β+1＝0，αβ＝1，
∴（1+2022α+α2）（αβ+β2）＝2α（1+β2）＝2α（﹣2020β）＝﹣4040αβ＝﹣4040．
故选：A．
9．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明△ABG≌△AFG，进而得到BG＝GF，由G是BC的中点，AB＝6，得到GF＝CG＝3，在Rt△ECG中有勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：连接AG，由已知AD＝AF＝AB，且∠AFG＝∠ABG＝∠D＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AFG （HL），
∴BG＝BF
∵AB＝BC＝CD＝DA＝6，G是BC的中点，
∴BG＝BF＝3，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝6﹣x，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：
（x+3）2＝32+（6﹣x）2，
解得x＝2，即DE＝2．
故选：C．
10．（4分）某数学小组在研究了函数y1＝x与性质的基础上，进一步探究函数y＝y1+y2的性质，经过讨论得到以下几个结论：
①函数y＝y1+y2的图象与直线y＝3没有交点；
②函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，则a＝±4；
③点（a，b）在函数y＝y1+y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上．
以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①③
【分析】①根据题意得出y与x的函数关系式，当y＝3时，解得x，若方程无解，说明两个函数图象无交点，
②当y＝a时，得出一个一元二次方程，两个函数的图象只有一个交点，说明方程有一个解，或由两个相同的实数根，让根的判别式为0即可，
③将点（a，b）代入函数关系式中，得出b＝a+，再将x＝﹣a代入函数关系式中，得出结论，和﹣b判断，即可得出结论．
【解答】解：①由 题意得，y＝x+，
当y＝3时，即：3＝x+，
也就是x2﹣3x+4＝0，
∵△＝9﹣16＜0，
∴此方程无实数根，
故，y＝x+与y＝3无交点，因此①正确，
②由①得，
当y＝a时，即：a＝x+，
也就是x2﹣ax+4＝0，
当△＝a2﹣16＝0时，函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，
此时，a＝±4，因此②正确，
③将点（a，b）代入函数关系式中，得出b＝a+，将x＝﹣a代入函数关系式中，得出﹣a﹣＝﹣（a+）＝﹣b，
则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上．
因此③正确，
故选：B．
11．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是AD边上一动点（不含端点A，D），连接PC，E是AB边上一点，设BE＝a，若存在唯一点P，使∠EPC＝90°，则a的值是（ ）
A． B． C．3 D．6
【分析】设AP＝x，AE＝y，证明△APE∽△DCP，根据相似三角形的性质得到比例式，转化为一元二次方程，利用判别式△＝0，构建方程解决问题．
【解答】解：∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠DCP+∠DPC＝90°，
∴∠APE＝∠DCP，又∠A＝∠D＝90°，
∴△APE∽△DCP，
∴＝，
设AP＝x，AE＝y，
可得x（10﹣x）＝6y，
∴x2﹣10x+6y＝0，
由题意△＝0，
∴100﹣24y＝0，
∴y＝，
∵BE＝AB﹣AE＝6﹣＝，
故选：B．
12．（4分）对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②其图象与直线y＝x﹣1有且只有一个公共点；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用函数的图象和性质逐一求解即可．
【解答】解：①当y＝0，ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝，
则二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），
故①正确，符合题意；
②由题意得：ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1＝x﹣1，化简得：x2﹣2x+1＝0，
△＝22﹣4＝0，故抛物线图象与直线y＝x﹣1有且只有一个公共点，
故②正确，符合题意；
③该抛物线对称轴为x＝1﹣，顶点的纵坐标为y＝﹣，
则y＝（1﹣）﹣，即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣上，
所以③正确，符合题意；
④由①知，二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），
故无论a取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），故④正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．（4分）若am＝8，an＝2，则am﹣2n的值是 2 ．
【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．逆用同底数幂的除法法则以及积的乘方法则，即可得到结果．
【解答】解：∵am＝8，an＝2，
∴am﹣2n＝am÷a2n＝am÷（an）2＝8÷22＝2，
故答案为：2．
14．（4分）如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为 ﹣2 ．
【分析】把（x﹣2）（x﹣n）展开得到x2﹣（2+n）x+2n，利用恒等变形得到m＝2+n，2n＝6，然后求出m、n后计算m+n的值．
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，
∴m＝﹣（2+n），2n＝6，
∴n＝3，m＝﹣5，
∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．
故答案为﹣2．
15．（4分）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为 ．
【分析】作辅助线，构建直角△AOB，分别计算OA、OB的长，根据面积法可得OE的长．
【解答】解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则OE⊥AB，OF⊥BC，
∵⊙O内切于菱形ABCD，
∴OE＝OF，
∴OB平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
同理得∠BAO＝60°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO＝AB＝2，OB＝2，
∴S△AOB＝AB•OE＝AO•OB，
4OE＝2×，
OE＝，
故答案为：．
16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为 2或 时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
【分析】根据矩形的性质得出CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，求出AP＝8﹣t，DE＝3，由勾股定理求出AE＝5，PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，分为两种情况：①当AE＝PE时，②当AP＝PE时，求出即可．
【解答】解：根据题意得：BP＝t，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，
∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，
∴AP＝8﹣t，DE＝DC﹣CE＝8﹣5＝3，
由勾股定理得：AE＝＝5，
过E作EF⊥AB于F，
则∠EFA＝∠EFB＝90°，
∵∠C＝∠B＝90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BF＝CE＝5，BC＝EF＝4，
∴PF＝5﹣t，
由勾股定理得：PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，
①当AE＝PE时，52＝42+（5﹣t）2，
解得：t＝2，t＝8，
∵t＝8不符合题意，舍去；
②当AP＝PE时，（8﹣t）2＝42+（5﹣t）2，
解得：t＝，
即当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，
故答案为：2或．
17．（4分）如图，二次函数y＝﹣x﹣4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PC+PD的最小值为 ．
【分析】连接AC，作点D关于y轴的对称点D'，作点A关于y轴的对称点A'，过点D'作D'E⊥CA'交于点E，则D'E为所求；由对称性可知A'（3，0），D'（﹣1，0），CO＝4，A'O＝3，CA'＝5，由∠A'A'C的正弦值可得，即可求出D'E＝；
【解答】解：连接AC
y＝﹣x﹣4与x轴交点A（﹣3，0）、B（5，0），点C（0，﹣4），
∴sin∠ACO＝，
作点D关于y轴的对称点D'，作点A关于y轴的对称点A'，过点D'作D'E⊥CA'交于点E，则D'E为所求；
由对称性可知，∠ACO＝∠OCA'，
∴sin∠OCA'＝，
∴PC＝PE，
再由D'P＝DP，
∴PC+PD的最小值为D'E，
∵A'（3，0），D'（﹣1，0），
∴A'D'＝4，CO＝4，A'O＝3，
∴CA'＝5，
∴
∴D'E＝；
故答案为；
三、解答题（共7小题，满分52分）
18．（5分）计算：．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+2﹣+＝0．
19．（5分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，与BA的延长线交于点F，连接AC，DF．请判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
【分析】证明△FAE≌△CDE（ASA），得出CD＝FA，由CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形．
【解答】解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△FAE和△CDE中，，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查．问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如下表：
社团名称
A酵素制作社团
B回收材料小制作社团
C垃圾分类社团
D环保义工社团
E绿植养护社团
人数
10
15
5
10
5
（1）根据以上信息填空：这5个数的中位数是 10 ；扇形图中没选择的百分比为 10% ；
（2）①补全条形统计图；②若该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（3）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
【分析】（1）根据中位数的意义，排序、找出第3个数即可，求出没选择的人数，进而求出百分比，
（2）各组人数都求出，补全条形统计图，参加义工社团的占20%，求出1400人的20%即可，
（3）用树状图表示所有可能出现的结果数，根据概率的意义求解．
【解答】解：（1）将这五个数从小到大排列，处在第3位的数是10，因此中位数是10，
（5﹣﹣10﹣15﹣5﹣10﹣5）÷50＝10%，
故答案为：10，10%．
（2）①补全条形图如图所示：
②1400×20%＝280名，
答：全校约有280名学生愿意参加环保义工社团．
（3）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示，画树状图如下：
由树状图知共有4种等可能结果，其中两人同时选择绿植养护社团只有一种情况，
∴两人同时选择绿植养护社团的概率为．
21．（8分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．
（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
【分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价＝单价×购进数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据总价＝单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克．
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，
根据题意得：w＝10a+20（120﹣a）＝﹣10a+2400．
∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，
∴a≤3（120﹣a），
解得：a≤90．
∵k＝﹣10＜0，
∴w随a值的增大而减小，
∴当a＝90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400＝1500．
∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．
22．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）求△OBD的面积；
（3）根据图象直接写出k1x+b＞的解集．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，将A、B的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的解析式；
（2）求出点D的坐标，然后根据B、D的坐标结合三角形的面积公式即可求出△OBD的面积；
（3）根据图象找出一次函数在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为；
把B（﹣1，n）代入反比例函数解析式，可得n＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
把A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y1＝k1x+b，
可得，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x﹣2；
（2）令y1＝0，有0＝x﹣2，即x＝2，
∴D（2，0），OD＝2，
如图，过B作BE⊥x轴于点E，
∵B（﹣1，﹣3），
∴BE＝3，
∴S△BOD＝×OD×BE＝×2×3＝3；
（3）由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时，一次函数图象落在反比例函数图象的上方，
所以k1x+b＞的解集是﹣1＜x＜0或x＞3．
23．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：GD为⊙O切线；
（2）求证：DE2＝EF•AC；
（3）若tan∠C＝2，AB＝5，求AE的长．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，由DG⊥AC，可得OD⊥DF，则结论得证；
（2）连接AD，先证明DE＝CD，证明Rt△CDF∽Rt△CAD，则结论得证；
（3）求出BD＝DC＝，求出EF，CE长，则AE长可求．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴GD为⊙O切线；
（2）证明：如图2，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，∠EAD＝∠BAD，
∴BD＝DE＝CD，
∵DF⊥AC，
∴CF＝EF，
∵∠CFD＝∠CDA＝90°，∠FCD＝∠ACD，
∴Rt△CDF∽Rt△CAD，
∴，
即CD2＝CF•AC，
∴DE2＝EF•AC；
（3）解：如图2，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，tan∠ABC＝tan∠C＝，AB＝5，
∴BD＝DC＝，
∵在Rt△CDF中，tan∠C＝2，
∴CF＝1，由（2）知，EF＝CF，
∴EF＝CF＝1，CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝5﹣2＝3．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y＝ax2+2x+c的解析式；
（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；
（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点的三角形，是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），则DG＝x﹣1，DF＝（x﹣1），故DE+DF＝﹣x2+2x+3+（x﹣1），即可求解；
（3）①存在；如图2，过点C作AC的垂线交抛物线于点P1，可得到直线AC的解析式为y＝3x+3，即直线AC倾斜角的正切值为3，则直线P1C倾斜角的正切值为，进而求出直线P1C的解析式为y＝﹣x+3，即可求解；同理可得点P2的坐标；
②∠AQC＝90°时，AQ2+CQ2＝AC2，则（﹣1﹣1）2+t2+（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（）2，解得：t1＝1，t2＝2，当1≤t≤2时，∠AQC≥90°，因为△ACQ为锐角三角形，点Q（1，t）必须在线段Q1Q2上（不含端点Q1、Q2），即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝px+q，把A（﹣1，0），
C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
如图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），
∵DF∥AC，
∴∠DFG＝∠ACO，
而抛物线对称轴为x＝1，
∴DG＝x﹣1，DF＝（x﹣1），
∴DE+DF＝﹣x2+2x+3+（x﹣1）＝﹣x2+（2+）x+3﹣＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当x＝，DE+DF有最大值为；
（3）①存在；
如图2，过点C作AC的垂线交抛物线于点P1，
∵直线AC的解析式为y＝3x+3，
则直线AC倾斜角的正切值为3，则直线P1C倾斜角的正切值为，
∴直线P1C的解析式可设为y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，
∴直线P1C的解析式为y＝﹣x+3，解方程组，
解得，
则此时P1点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于P2，
同理可设直线AP2的解析式可设为y＝﹣x+n，
把A（﹣1，0）代入上式并解得n＝﹣，
∴直线PC的解析式为y＝﹣x﹣，
解方程组，解得，
则此时P2点坐标为（，﹣），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）；
②答：﹣＜t＜1或2＜t＜．
如图3，抛物线y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1，过点C作CQ1⊥AC交对称轴于Q1，过点A作AQ2⊥AC交对称轴于Q2，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y＝3x+3，
∵CQ1⊥AC，
∴直线CQ1解析式为y＝﹣x+3，
令x＝1，得y＝﹣×1+3＝，
∴Q1（1，）；
∵AQ2⊥AC，
∴直线AQ2解析式为y═﹣x﹣，令x＝1，得y＝﹣×1﹣＝﹣，
∵∠AQC＝90°时，AQ2+CQ2＝AC2，
∴（﹣1﹣1）2+t2+（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（）2，解得：t1＝1，t2＝2，
∴当1≤t≤2时，∠AQC≥90°，
∵△ACQ为锐角三角形，点Q（1，t）必须在线段Q1Q2上（不含端点Q1、Q2），
∴﹣＜t＜1或2＜t＜．
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