2022宁波九校高二上学期期末联考数学试题含答案

宁波市2021学年第一学期期末九校联考高二数学试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知向量，．若，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

2. 已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

3. 若函数的图象如图所示，则函数的导函数的图象可能是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

4. 已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

5. 若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

6. 已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

7. 若将双曲线绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数图象，且该函数在区间上存在最小值，则双曲线C的离心率为（）

A B.  C. 2 D.

【答案】C

8. 如图，在直三棱柱中，且，点E为中点．若平面过点E，且平面与直线AB所成角和平面与平面所成锐二面角大小均为30°，则这样的平面有（）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（）

A. 的取值范围是

B. 能构成空间的一个基底

C. “”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件

D.

【答案】BD

10. 在平面直角坐标系xOy中，点，动点M到点F的距离与到直线的距离相等，记M的轨迹为曲线C．若过点F的直线与曲线C交于，两点，则（）

A.

B. 的面积的最小值是2

C. 当时，

D. 以线段OF为直径的圆与圆相离

【答案】BCD

11. 若函数，则（）

A. 函数的值域为R B. 函数有三个单调区间

C. 方程有且仅有一个根 D. 函数有且仅有一个零点

【答案】BC

12. 若数列满足，则（）

A. 当，时，

B. 当，时，

C. 当，时，

D. 当，时，

【答案】AD

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……．设各层球数构成一个数列，其中，，，则______．

【答案】15

14. 已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若，则______．

【答案】7

15. 如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．

【答案】

16. 若函数恰有两个极值点，则k的取值范围是______．

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4．

（1）求圆M的标准方程；

（2）设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．

【答案】（1）

（2），

18. 已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）

（2）

19. 已知正项等差数列满足：，且，，成等比数列．

（1）求的通项公式；

（2）设前n项和为，且，求的前n项和．

【答案】（1）；

（2）.

20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，．

（1）证明：；

（2）当PB的长为何值时，直线AB与平面PCD所成角的正弦值为？

【答案】（1）证明见解析

（2）

21. 已知椭圆的离心率为，以椭圆两个焦点与短轴的一个端点为顶点构成的三角形的面积为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点作直线l与椭圆C相切于点Q，且直线l斜率大于0，过线段PQ的中点R作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在y轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，试判断直线MN的斜率是否为定值；若是，请求出该定值．

【答案】（1）

（2）是，

22. 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，，证明：．

【答案】（1）函数的单调性见解析；

（2）证明见解析.