专题1.2 实数--2021--2022学年七年级数学下学期期中考试高分直通车（人教版）

专题1.2实数（精讲精练）

【知识梳理】

1. 平方根：

（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为，负的平方根表示为

（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2.算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．

（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．

3.非负数的性质：

（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．

4.立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．

5．无理数

（1）定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．

6.实数大小比较

（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．

7.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【典例剖析】

【考点1】平方根的定义

【例1】9的平方根等于（　　）

A．3 B．﹣9 C．±9 D．±3

【变式1-1】（﹣8）2的平方根是（　　）

A．﹣8 B．8 C．±8 D．±64

【变式1-2】若x没有平方根，则x的取值范围为（　　）

A．x为负数 B．x为0 C．x为正数 D．不能确定

【变式1-3】下列各数：49，，0，﹣4，﹣（﹣3），﹣|﹣3|，﹣（﹣5）4，其中有平方根的有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【考点2】利用平方根解方程

【例2】求下列各式中x的值：

（1）4x2﹣12＝0

（2）48﹣3（x﹣2）2＝0

【变式2-1】已知4x2＝81，求x的值．

【变式2-2】求下列各式中x的值．

（1）（x+1）2﹣4＝0．

（2）3x2+4＝﹣20．

【变式2-3】求x的值：49x2﹣16＝0

【考点3】平方根的性质

【例3】已知a﹣1和5﹣2a都是非负数m的平方根，求m的值．

【变式3-1】已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．

（1）求a的值及这个正数；

（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．

【变式3-2】已知一个正数a的两个平方根是4x﹣1和x+5，求x和a的值．

【变式3-3】已知一个正数的两个不同的平方根是3x﹣2和4﹣x，求这个正数．

【考点4】算术平方根

【例4】已知正方形的面积为7，则与这个正方形边长最接近的整数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．9

【变式4-1】化简：（　　）

A． B． C． D．

【变式4-2】的算术平方根是（　　）

A．± B． C．± D．5

【考点5】非负数的性质

【例5】已知0，则x+y的值为（　　）

A．10 B．﹣10 C．﹣6 D．不能确定

【变式5-1】若0，则x2006+y2005的值为（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．2

【变式5-2】当式子的值取最小值时，a的取值为（　　）

A．0 B． C．﹣1 D．1

【变式5-3】已知0，则x﹣y的值为（　　）

A．2 B．6 C．2或﹣2 D．6或﹣6

【考点6】立方根

【例6】若a，则a的值不可能是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．3

【变式6-1】正方体的体积为7，则正方体的棱长为（　　）

A． B． C． D．73

【变式6-2】﹣8的立方根是（　　）

A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣0.5

【变式6-3】若a满足，则a的值为（　　）

A．1 B．0 C．0或1 D．0或1或﹣1

【考点7】无理数

【变式7-1】下列各数中，不是无理数的是（　　）

A． 

B． 

C．0.25 

D．0.101001 0001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）

【变式7-2】数4，，2020，π，0.1010010001……中，无理数的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【变式7-3】下列各数中，3.14159，，，﹣π，，，无理数的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点8】实数的性质

【例8】下列说法中，不正确的是（　　）

A．的绝对值是 B．的相反数是 

C．的立方根是2 D．﹣3的倒数是

【变式8-1】下列各组数中互为相反数的是（　　）

A．﹣2与 B．﹣2与 C．﹣2与 D．2与|﹣2|

【变式8-2】计算的倒数是（　　）

A．3 B．﹣2 C． D．﹣3

【变式8-3】代数式（　　）

A．2 B．4 C． D．

【考点9】实数的大小比较

【例9】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）

A．a＜0＜b B．0＜a＜b C．b＜0＜a D．0＜b＜a

【变式9-1】5，2，2的大小关系是（　　）

A．225 B．522 

C．252 D．522

【变式9-2】在实数|﹣5|，﹣3，，π中，最小的数是（　　）

A．|﹣5| B．﹣3 C． D．π

【考点10】实数的估算

【例10】下列对于的大小估算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【变式10-1】估算的值（　　）

A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间

【变式10-2】实数a满足，则a的值不可能是（　　）

A．3 B． C．2.8 D．2

【考点11】实数的运算

【例11】计算：

【变式11-1】计算：

（1）

（2）

【考点12】实数的应用问题

【例12】天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离S（单位：km）可用公式S2＝1.7h米估计，其中h（单位：m）是眼睛离海平面的高度．

（1）如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.7m时，能看到多远？

（2）若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的3倍，已知眼睛到脚底的高度为1.7m，求观望台离海平面的高度？

【变式12-1】为庆祝祖国70华诞，某小区计划在一块面积为196m2的正方形空地上建一个面积为100m2的长方形花坛（长方形的边与正方形空地的边平行），要求长方形的长是宽的2倍．请你通过计算说明该小区能否实现这个愿望？

【变式12-2】某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间t（h）可以用下面的公式来估计：t2，其中d（km）是雷雨区域的直径．

（1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果如有根号，请保留根号）

（2）如果一场雷雨持续了0.9h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？