专题1.3 平面直角坐标系--2021--2022学年七年级数学下学期期中考试高分直通车（人教版）

专题1.3平面直角坐标系

【知识梳理】

1. 点的坐标：

（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．

2.平面内特殊位置的点的坐标特征

（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：

①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．

（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：

①x轴上：a为任意实数，b=0；②y轴上：b为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0．

（①）        两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：

①       一、三象限：a=b；②二、四象限：a=-b．

3.坐标与图形性质

（1）、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
（2）、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
（3）、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．

4. 平移变换与坐标变化
    ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
    ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）
    ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
    ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）

【典例剖析】

【考点1】各象限内点的坐标特征

【例1】如果a﹣b＜0，且ab＜0，那么点（a，b）在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式1-1】下列各点中，在第三象限的点是（　　）

A．（﹣1，﹣4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（1，4）

【变式1-2】在平面直角坐标系中，点（，﹣2﹣a2）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式1-3】已知点P（x，y），若x+y＜﹣2，xy＞1，则点P所在的象限为（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点2】坐标轴上的点

【例2】若点M（a+3，2a﹣4）在x轴上，则点M的坐标为（　　）

A．（0，﹣10） B．（5，0） C．（10，0） D．（0，5）

【变式2-1】若点P在y轴负半轴上，则点P的坐标有可能是（　　）

A．（﹣1，0） B．（0，﹣2） C．（3，0） D．（0，4）

【变式2-2】已知点P（3a，a+2）在x轴上，则P点的坐标是（　　）

A．（3，2） B．（6，0） C．（﹣6，0） D．（6，2）

【变式2-3】在平面直角坐标系中，点P的坐标是（2，3），则点P到y轴的距离是（　　）

A．2 B．3 C． D．4

【考点3】点到坐标轴的距离

【例3】若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（　　）

A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）

【变式3-1】下列各点中，在第四象限且到x轴的距离为3个单位的点是（　　）

A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4）

【变式3-2】点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　）

A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5）

【考点4】坐标的平移

【例4】△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（4，3），C（0，2），将△ABC平移到了△A'B'C'，其中A'（﹣1，3），则C'点的坐标为（　　）

A．（﹣3，6） B．（2，﹣1） C．（﹣3，4） D．（2，5）

【变式4-1】在平面直角坐标系中，将点（﹣2，﹣3）向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　）

A．（﹣2，﹣5） B．（﹣4，﹣3） C．（0，﹣3） D．（﹣2，1）

【变式4-2】在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（1，2）．平移线段AB，得到线段A′B′．已知点A′的坐标为（3，1），则点B′的坐标为（　　）

A．（4，4） B．（5，4） C．（6，4） D．（5，3）

【变式4-3】在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（1，0），（3，2），连接AB，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A的对应点A'坐标为（2，1），则点B'坐标为（　　）

A．（4，2） B．（4，3） C．（6，2） D．（ 6，3）

【考点5】坐标确定位置

【例5】如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋了“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（　　）

A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）

【变式5-1】根据下列表述，不能确定具体位置的是（　　）

A．教室内的3排4列 B．渠江镇胜利街道15号 

C．南偏西30° D．东经108°，北纬53°

【变式5-2】如图，若“马”所在的位置的坐标为（﹣2，﹣1），“象”所在位置的坐标为（﹣1，1），则“兵”所在位置的坐标为（　　）

A．（﹣2，1） B．（﹣2，2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣2）

【变式5-3】在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所示标志点A（3，3），B（5，1），则“宝藏”所在地点C的坐标为（　　）

A．（6，4） B．（3，3） C．（6，5） D．（3，4）

【考点6】坐标与图形性质

【例6】若点P（1﹣3m，2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式6-1】已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴，则m的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣4 C．2 D．3

【变式6-2】如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是（1，0），则点B的坐标为（　　）

A． B． C． D．

【变式6-3】已知坐标平面内，线段AB∥x轴，点A（﹣2，4），AB＝1，则B点坐标为（　　）

A．（﹣1，4） B．（﹣3，4） 

C．（﹣1，4）或（﹣3，4） D．（﹣2，3）或（﹣2，5）

【考点7】点的坐标规律型问题

【例7】在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2020的坐标是　　．

【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2002秒时点P的坐标为　　．

【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，2），若把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是　　．

【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第110个点的坐标为　　．

【考点8】有关点的坐标性质解答题

【例8】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P（1，4）的“3级美联点”为Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．

（1）已知点A（﹣2，6）的“级关联点”是点A1，求点A1的坐标．

（2）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”M′位于y轴上．求点M′的坐标．

【变式8-1】在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m+3）．

（1）若点M在x轴上，求m的值；

（2）若点M在第二象限内，求m的取值范围；

（3）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值．

【变式8-2】已知点P（8﹣2m，m﹣1）．

（1）若点P在x轴上，求m的值．

（2）若点P到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标．

【变式8-3】已知平面直角坐标系中有一点P（2m+1，m﹣3）．

（1）若点P在第四象限，求m的取值范围；

（2）若点P到y轴的距离为3，求点P的坐标．

【考点9】有关平面直角必须的综合问题

【例9】已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．

（1）写出A′、B′、C′的坐标；

（2）求出△ABC的面积；

（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．

【变式9-1】中国棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图所示是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形对角线走．例如：图中“马”所在位置可以直接走到点A、B处．

（1）如果“相”位于点（4，2），“帅”位于点（0，0），则“马”所在点的坐标为　　，点D的坐标为　　．

（2）若“马”的位置在C点，为了到达“D”点，请按“马”走的规则，写出一种你认为合理的行走路线，（在答题纸图中标出行走路线即可）．

【变式9-2】已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1）、B（3，1）、C（2，3），请回答如下问题：

（1）在平面直角坐标系内描出点A、B、C；

（2）在坐标系内存在点P，使以A、B、C、P四个点组成的四边形中，相对的两边互相平行且相等，则点P的坐标为　　．（直接写出答案）

（3）平移线段BC，使得C点的对应点刚好与坐标原点重合，求出线段BC在平移的过程中扫过的面积．