2022届高考预测猜题卷 （一）全国卷数学（理） 试卷（全国卷）（含答案解析）

2022届高考预测猜题卷

数学（理） 全国卷

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2.已知复数z满足，则z的共轭复数对应的点位于(   )

A.第一象限  B.第二象限

C.第三象限  D.第四象限

3.2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，得到如下的频率分布直方图.则该100名考生的成绩的平均数和中位数（保留一位小数）分别是(   )

A.15.2  15.3 B.15.1  15.4 C.15.1  15.3 D.15.2  15.3

4.已知，且，则的值为(   )

A. B. C. D.

5.为庆祝中国共产党成立100周年，某中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有(   )

A.6种 B.8种 C.20种 D.24种

6.已知实数，，，则这三个数的大小关系正确的是(   )

A. B. C. D.

7.若函数在点处的切线为直线，若直线l与圆相切，则r的值为(   )

A. B. C. D.

8.如图，已知直四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，且，，P，O，E分别为，AD，PC的中点，为正三角形，则三棱锥的体积为(   )

A.4 B.3 C.2 D.1

9.已知函数，对任意实数x都有

，且函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值等于(   )

A. B. C.1 D.-1

10.已知函数的图象上一点P，，，则的最小值为(   )

A.2 B. C.3 D.

11.已知数列的首项，，前n项和满足，则数列的前n项和为(   )

A. B. C. D.

12.已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为(   )

A.  B.

C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量，，且，则___________.

14.已知为R上的奇函数，且其图象关于点对称，则_____________.

15.如图，三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，

，，，则球O的表面积为_______________.

16. 已知F为双曲线的右焦点，过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若，则双曲线E的离心率是___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

 17.（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求的值；

（2）若，的面积为，求b的值.

18.（12分）在三棱柱中，，.

（1）求证：平面平面ABC；

（2）若，求锐二面角的余弦值.

19.（12分）致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动.并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表.规定：成绩在内，为成绩优秀.

（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；

（2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为p(每次抽奖互不影响，且p的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率)，中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分.若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数X的分布列并求其数学期望.

参考公式：，.

附表：

20.（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，以坐标原点为圆心，以为半径的圆与椭圆C在第一、二象限分别交于点M，N，，且的面积为.

（1）求C的方程；

（2）设经过点的直线PA，PB，分别与C交于，两点，其中，，，试判断直线EF是否过x轴上一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

21.（12分）已知函数，.

（1）比较与的大小；

（2）设方程有两个实根，，求证：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且与的交线为l.

（1）求与的公共弦长；

（2）设，且l与交于A，B两点，求.

23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]

已知函数.

（1）解关于x的不等式；

（2）求满足的实数x的取值范围.

全国卷（理） 参考答案

一、选择题

1.答案：B

解析：，，

.故选B.

2.答案：D

解析：，，，故在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.

3.答案：C

解析：100名考生成绩的平均数

.因为前三组频率直方图面积和为，前四组频率直方图面积和为，所以中位数位于第四组内，设中位数为a，则，解得，故选C.

4.答案：D

解析：，且，.又，，即，故选D.

5.答案：B

解析：当甲第一个出场时，不同的出场方法有(种)；当甲第二个出场时，不同的出场方法有(种)，所以所求的不同出场方法共有(种)，故选B.

6.答案：A

解析：由题意知，，，，，故，故选A.

7.答案：A

解析：由题可知，则，解得，，

，切点在直线l上，，解得，直线与圆相切，圆心到直线l的距离为，故选A.

8.答案：C

解析：因为P，O分别为，AD的中点，所以由直棱柱的性质知平面ABCD，

又为正三角形，，所以，连接CO，在直角梯形ABCD中，易知，因为E为PC的中点，

所以，故选C.

9.答案：D

解析：，

因为，所以，即的周期为π，则，，

将的图象向左平移个单位后得到，

因为所得图象关于原点对称，所以，，

因为，所以，，则，

所以，故选D.

10.答案：C

解析：如图，函数的图象即曲线的图象在x轴上和x轴上方的部分，点A为抛物线的焦点，抛物线的准线为.过点P作准线的垂线，垂足为点Q，过点B作准线的垂线，垂足为点C，则，，即的最小值为3，故选C.

11.答案：A

解析：由，得，

即，所以，所以，两式作差，得，即，所以，所以或，又，故，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以数列的前n项和，故选A.

12.答案：D

解析：由已知得当时，.令，则当时，，所以在上为单调递减函数，由是定义在的奇函数，得，故是定义在的偶函数，且的图象关于y轴对称，令，函数在上为减函数，且函数图象关于直线对称，当时，，则，即，即，得，，即，得，依据函数的图象关于直线对称，得当时，不等式的解集为，故原不等式的解集为，故选D.

二、填空题

13.答案：

解析：，，.

，，，解得.

14.答案：0

解析：因为函数的图象关于点对称，所以.

又因为是奇函数，所以，所以是周期为6的函数，

所以.

15.答案：

解析：如图，取AB中点O，连接OC，OD，在中，由，，

，得，则，又平面平面BCD，且平面平面，平面BCD，则，在中，，，，则，，平面ACD，得，则O为三棱锥的外接球的球心，则外接球的半径，球O的表面积为.

16.答案：

解析：如图，过F向另一条渐近线作垂线，垂足为D，由题意得，双曲线的渐近线方程为，则到渐近线的距离，即，则，，为等腰三角形，D为OB的中点，，，，即，整理得，，则，.

三、解答题

17.解析：（1）在中，由正弦定理及，

得，

.……………………………………………………………………3分

又，.

，，.………………………………………………………6分

（2）角B是的内角，

，.

又，

，解得.…………………………………………………………9分

在中，由余弦定理得，

，解得.……………………………………………………12分

18.解析：（1）取AC中点为O，连接，BO.

由已知条件知，，

，，……………………………………………………2分

又，.

又，，平面ABC，

平面ABC.

又平面，

平面平面ABC. ……………………………………………………………………5分

（2）由（1）知OB，OC，两两垂直，故以O为坐标原点，OB，OC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

，，

，.………………………………………………7分

令平面NAB的法向量，

则，即，

令，则，……………………………………………………………………9分

易知平面ABC的一个法向量，

，……………………………………………………11分

锐二面角的余弦值为.…………………………………………………12分

19. 解析：（1）补全2×2列联表如表所示.

…………………………………………………………………………………………………2分

因为，

因此没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关.………………………………………5分

（2）由题可知，X的所有可能取值为0，5，10，

且，……………………………………………………………………………6分

，

，

，……………………………………………………………9分

所以X的分布列为：

则.………………………………………………………12分

20.解析：（1）由题意知，，，，

，，……………………………………………………………2分

M，N两点的坐标分别为，，

代入椭圆C的方程得.

，，，

椭圆C的方程为.………………………………………………………………5分

（2）设直线.

由题意知，P，E，A三点共线，P，B，F三点共线，且，，

由P，E，A三点共线可得，

，

即，消去得，

把代入化简得，

同理由P，B，F三点共线可以得到.……………………………………8分

联立直线EF和椭圆C的方程，

整理得，

，.……………………………………………………………9分

又，，

，化简得，

解得，……………………………………………………………………………………11分

直线EF经过x轴上的定点.…………………………………………………………12分

21.解析：（1）设，

，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，………………………………………………3分

故的最大值为，

故.…………………………………………………………………………………4分

（2）令，

则，

令.

又由，

得在上单调递增.…………………………………………………………5分

又，，

存在，使，

即，

在上单调递减，在上单调递增，

.……………8分

由在上单调递减，得.

又，，

，…………………………………………………………………………………10分

，

.

综上所述，.………………………………………………………………12分

22.解析：（1）由题易得曲线的普通方程为，①

曲线的直角坐标方程为，②…………………………………………………2分

①-②可得直线l的方程为.

到直线l的距离，

曲线与曲线的公共弦长为.……………………………………………5分

（2）由条件可得l的参数方程为（t为参数），

代入，

并整理可得.…………………………………………………………………7分

设A，B对应的参数分别为，，

则，，

.………………………………………………………10分

23.解析：（1）由得.

①当时，不等式为，

解得，故；

②当时，不等式为，

解得，故；

③当时，不等式为，

解得，故.

综上可知，不等式的解集为.…………………………………………5分

（2）由可得.…………………………………………7分

又，

当且仅当，即时，等号成立，

满足的实数x的取值范围为.…………………………………10分