2022届高考预测猜题卷 （一）全国卷数学（文） 试卷（全国卷）（含答案解析）

2022届高考预测猜题卷

数学（文）全国卷

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合，，则(   )

A. B. C. D.

2.己知i是虚数单位，则(   )

A. B. C. D.

3.2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，得到如下的频率分布直方图.则该100名考生的成绩的平均数和中位数（保留一位小数）分别是(   )

A.15.2  15.3 B.15.1  15.4 C.15.1  15.3 D.15.2  15.3

4.双曲线E与椭圆焦点相同且离心率是椭圆C离心率的倍，则双曲线E的标准方程为(   )

A.  B.

C.  D.

5.已知非零向量a，b满足，且，则与的夹角大小为(   )

A.30° B.45° C.60° D.90°

6.已知实数，，，则这三个数的大小关系正确的是(   )

A. B. C. D.

7.若函数，且满足对任意的实数，，都有成立，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

8.已知动直线恒过定点A，B为圆上一点，若为坐标原点)，则的面积为(   )

A. B.3 C. D.

9.已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于y轴对称，则的最小值为(   )

A.1 B.2 C. D.5

10.已知函数在上为减函数，则a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

11.已知抛物线，直线交E于A，B两点，取AB的中点M，垂直E的准线于，则的外接圆的直径长度是(   )

A.4 B.6 C.8 D.12

12.已知三棱锥的外接球O的半径为R，且外接圆的面积为，若三棱锥体积的最大值为，则该球的体积为(   )

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数在点处的切线方程为__________.

14.已知等比数列的前n项和，则________.

15.已知点是在圆内部及圆上的整数点（横、纵坐标皆为整数），则点P的坐标满足的概率是________.

16.已知函数有2个不同零点（其中e是自然对数的底数），则m的取值范围是___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求的值；

（2）若，的面积为，求b的值.

18.（12分）已知高三某学生为了迎接高考，参加了学校的5次模拟考试，其中5次模拟考试的成绩如表所示，

设变量x，y满足回归直线方程.

（1）假如高考也符合上述的模拟考试的回归直线方程，高考看作第10次模拟考试，预测2022年的高考成绩；

（2）从上面的5次考试成绩中随机抽取3次，求其中2次成绩都大于500分的概率.

参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

19.（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PD的中点，，，，，.

（1）证明：平面ABCD；

（2）求点A到平面MCD的距离.

20.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为M，直线与E的另一个交点为P，连接，若的周长为，且的面积为.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线与椭圆E交于A，B两点，当m为何值时，恒成立？

21.（12分）已知函数，.

（1）若，判断函数的单调性；

（2）证明：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且与的交线为l.

（1）求与的公共弦长；

（2）设，且l与交于A，B两点，求.

23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]

已知函数.

（1）解关于x的不等式；

（2）求满足的实数x的取值范围.

参考答案

一、选择题

1.答案：B

解析：因为集合，集合，

则，故选B.

2.答案：A

解析：，故选A.

3.答案：C

解析：100名考生成绩的平均数

.因为前三组频率直方图面积和为，前四组频率直方图面积和为，所以中位数位于第四组内，设中位数为a，则，解得，故选C.

4.答案：C

解析：由题可知，椭圆的焦点坐标为和，离心率为.设双曲线E的标准方程为，则且，解得，所以双曲线E的标准方程为，故选C.

5.答案：C

解析：由得.

又，，，

与的夹角为60°，故选C.

6.答案：A

解析：由题可知，，，，，故，故选A.

7.答案：D

解析：对任意的实数，，都有成立，

函数在R上单调递增，，解得，故选D.

8.答案：C

解析：将直线l的方程变形得，所以直线l过定点，易知点在圆C上，连接OC，因为，所以由圆的性质可知，又，

所以，则直线AB的方程为，即，所以点C到直线AB的距离，点O到直线AB的距离，

又，所以，故选C.

9.答案：D

解析：，

，又函数的图象关于y轴对称，则，，，，，当时，有最小值5，故选D.

10.答案：B

解析：，.因为函数在上为减函数，所以在上恒成立，即，所以.设，，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，所以，故选B.

11.答案：C

解析：如图，过点A作垂直准线于点，过点B作垂直准线于点，设抛物线焦点为F，则，直线过点F.由抛物线定义得，，

所以，所以是直角三角形，

且，所以的外接圆的直径是，设点，，

联立，得，，则，故选C.

12.答案：D

解析：如图，设外接圆的半径为r，圆心为，连接，，已知外接圆的面积为，故，所以，当为正三角形（的面积最大），且P，O，三点共线时，三棱锥的体积最大，在中，由正弦定理知，所以，所以.

因为，所以，连接，在中，由，得，，所以球O的体积为，故选D.

二、填空题

13.答案：

解析：因为，所以，故，，所以函数在点处的切线方程为.

14.答案：98

解析：由题意知，当时，，，当时，，，，，，.

15.答案：

解析：圆内部及圆上的整数点有，，，，，，，，，，，，，共13个，满足的点有，，，，，，，共7个，则点P的坐标满足的概率为.

16.答案：

解析：设，则函数有2个不同零点，即函数与有2个不同交点，当时，，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，作出函数的大致图象如图所示，根据图象可知，实数m的取值范围是.

三、解答题

17.解析：（1）在中，由正弦定理及，

得，

.……………………………………………………………………3分

又，.

，，.………………………………………………………6分

（2）角B是的内角，

，.

又，

，解得.…………………………………………………………9分

在中，由余弦定理得，

，解得.……………………………………………………12分

18.解析：（1）由表得，

，…………………………………………………… 2分

.

………………………………………………………………………………………………… 4分

将点代入回归直线方程可得，

解得，

回归直线方程为.

当时，，

预测2022年的高考成绩为511.2分. …………………………………………………… 6分

（2）记“从5次考试成绩中选出3次成绩”为事件A，

则事件A的情况有，，，，，，，，，，共10种情况，………………………………………………………………8分

其中2次成绩都大于500分情况有，，，共3种情况，…………………………………………………………………………………………10分

所求的概率.…………………………………………………………………………12分

19.解析：（1）在矩形ABCD中，，，可得，

所以，即.………………………………………………………2分

连接BD.

又点M是PD的中点，，可得，

所以，

即.

又，所以平面ABCD.…………………………………………………5分

（2）因为，，，所以平面PAD.

又，所以平面PAD.

因为平面PAD，所以.……………………………………………………8分

设点A到平面MCD的距离为h，

因为，

所以，

解得，………………………………………………………………………………11分

即点A到平面MCD的距离为.………………………………………………………12分

20.解析：（1）设.

由椭圆的定义可知，的周长为，故.

直线的方程为，

与联立可得点，……………………………………………2分

的面积为，

即，

解得或(舍)，则，

椭圆E的标准方程为.…………………………………………………………5分

（2）联立，

消去y得，.

由（1）可知，

设，，

则，，

，………………………………………7分

，

…………………………………………………………………………………………………9分

.

由得，故，

解得或(舍)，

当时，恒成立.…………………………………………………………12分

21.解析：（1）因为，

所以.……………………3分

因为，所以在上，

由，解得.

当时，，为增函数；

当时，，为减函数.………………………………………………5分

（2）由（1）知，当时，

在上为增函数，在上为减函数.

因为，，

所以，

故，……………………………………………………………7分

所以，

所以.…………………………………………………………………9分

设，，

所以在上为减函数.

又，所以，

所以.………………………………………………12分

22.解析：（1）由题易得曲线的普通方程为，①

曲线的直角坐标方程为，②…………………………………………………2分

①-②可得直线l的方程为.

到直线l的距离，

曲线与曲线的公共弦长为.……………………………………………5分

（2）由条件可得l的参数方程为（t为参数），

代入，

并整理可得.…………………………………………………………………7分

设A，B对应的参数分别为，，

则，，

.………………………………………………………10分

23.解析：（1）由得.

①当时，不等式为，

解得，故；

②当时，不等式为，

解得，故；

③当时，不等式为，

解得，故.

综上可知，不等式的解集为.…………………………………………5分

（2）由可得.…………………………………………7分

又，

当且仅当，即时，等号成立，

满足的实数x的取值范围为.…………………………………10分