2020-2021学年第9章 从面积到乘法公式综合与测试练习题

这是一份2020-2021学年第9章 从面积到乘法公式综合与测试练习题，共7页。试卷主要包含了因式分解定义，因式分解具体几种方法如下等内容，欢迎下载使用。
初一数学《因式分解》专题拓展训练20220319一、因式分解定义：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式．【知识点一：公因式】多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式．特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式．（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式．（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数．②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的．二、因式分解具体几种方法如下：【知识点二：提公因式法】把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即．（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式．（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号．（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误．【知识点三：公式法——完全平方公式】两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，．形如，的式子叫做完全平方式．特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍．右边是两数的和（或差）的平方．（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件．（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式．【知识点四：公式法——平方差公式】两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式．（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积．（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式．【知识点五：十字相乘法】利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．对于二次三项式，若存在，则．特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号．（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止．【知识点六：首项系数不为1的十字相乘法】在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如右图，按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即．特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．【知识点七：分组分解法】对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法．即先对题目进行分组，然后再分解因式．特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项
二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式 例如：①分组可以提取公因式： ma+na+mb+nb=(m+n)a+(m+n)b=(m+n)(a+b)．②分组可以用公式：a2-b2+2bc-c2=a2-(b2-2bc+c2)=a2-(b-c)2=(a+b-c)(a-b+c)．【知识点八：添、拆项法】把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解．要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形．添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法．【知识点九：因式分解的解题步骤】因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等．首先提取公因式     ma +mb+mc=m(a+b+c)然后考虑用公式二项考虑平方差     a2-b2=（a+b）(a-b)三项考虑完全平方   a2±2ab+b2=（a+b）2十字相乘试一试    x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)四项分解用分组分组提取公因式    ma+na+mb+nb=(m+n)a+(m+n)b=(m+n)(a+b)分组或者用公式    a2-b2+2bc-c2=a2-(b2-2bc+c2)以上方法反复用    =a2-(b-c)2=(a+b-c)(a-b+c)最终必能连乘式因式分解要彻底一次一次又一次考点一：判断是否为因式分解1．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的为（       ）A． B．C． D．2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（       ）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x2﹣1）3．下列各式从左至右是因式分解的是（       ）A． B．C． D．4．(x＋3)(2x－1)是多项式__________因式分解的结果．5．在公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中，从左到右是_________，从右到左的变形中_________．6．下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________．①(x＋5)(x－5)＝x2－25　②x2－9＝(x＋3)(x－3)　③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　⑤x＋1＝x(1＋)　⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)7．判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．（1）a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)；              （2）3y(x＋2y)＝3xy＋6y2；（3）(3a－1)2＝9a2－6a＋1；                （4）4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2；（5）x2＋x＝x2(1+)；                    （6）x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)． 考点二：提公因式法因式分解1．已知a2－2a－1＝0，则a4－2a3－2a＋1等于（     ）A．0 B．1 C．2 D．32．n为正整数，若2an﹣1﹣4an+1的公因式是M，则M等于（　　）A．an﹣1 B．2an C．2an﹣1 D．2an+13．已知，，那么的值为（       ）A．3 B．6 C． D．4．中，为（       ）A． B． C． D．5．若xy=-3，x+y=5，则2x2y+2xy2=______________．6．已知ab＝7，a+b＝2，则多项式a2b+ab2﹣20的值为___________．7．若实数x满足，则____________．8．下列多项式：①；②；③；④，它们的公因式是______．9．因式分解：(1)(2) 10．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是．考点三：综合运用公式法因式分解1．下列多项式能因式分解的是（       ）A．x2﹣y B．x2+1 C．x2+y+y2 D．x2﹣2xy+y22．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（       ）A．B．C． D．3．多项式与的公因式是（   ）A． B． C． D．4．无论、取何值，多项式的值总是（     ）A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定5．分解因式：______________．6．在实数范围内分解因式：x2﹣3xy﹣y2＝_______________．7．分解因式：＝______________________．8．若a+b=2，ab=3，则代数式a3b+2a²b²+ab3的值为______________．9．计算与分解因式①计算：（1）（2x2y）2•（﹣5xy2）÷（14x4y3）（2）（x+y﹣m+n）（x﹣y﹣m﹣n）．   ②分解因式：（1）16x4﹣1；（2）（a﹣b）（5a+2b）+（a+6b）（b﹣a）．   10．阅读材料：选取二次三项式（）中两项，配成完全平方式的过程叫配方，配方的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式配成完全平方式；（2）将分解因式；（3）已知a、b、c是的三边长，且满足，试判断此三角形的形状．    11． 阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，但对于二次三项式就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：；  （2）若，，求：①；②的值；  （3）已知x是实数，试比较与的大小，说明理由．   考点四：十字相乘法1．若，则p，q的值分别为（       ）A．p＝3，q＝4 B．p＝－3，q＝4 C．p＝3，q＝－4 D．p＝－3，q＝－42．已知x2＋x﹣6＝（x＋a）（x＋b），则（       ）A．ab＝6 B．ab＝﹣6 C．a＋b＝6 D．a＋b＝﹣63．若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（       ）A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个4．若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（       ）A．1 B．7 C．11 D．135．分解因式＝______________．6．已知多项式可以分解成两个一次多项式，则整数m的值是____________．7．把多项式x2﹣6x＋m分解因式得（x＋3）（x﹣n），则m＋n的值是____________．8．阅读下列解答过程：若二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．解：设另一个因式为，则，∴，∴；∴另一个因式为，m的值为-21．请依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．   9．【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：．【方法探究】对于多项式我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数．所以．例如，分解因式：，它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即． 我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．      【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)  考点五：分组分解法1．已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则三角形ABC的形状是(　　)A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形2．已知，，则代数式的值为（       ）A．4 B． C． D．3．若a、b为有理数，且a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0，则a＋3b＝（       ）A．8 B．4 C．－4－ D．－84．已知实数m，n，p，q满足，，则（）A．48 B．36 C．96 D．无法计算5．若，则_________．6．把分解因式正确的结果是_____________．7．分解因式_______________．8．阅读下面材料：分解因式：．因为，设．比较系数得，．解得．所以．解答下面问题：在有理数范围内，分解因式__________________．   9．因式分解：（1）a2﹣b2＋2a＋2b；（2）3m（2x﹣y）2﹣3mn2；（3）16﹣8（x﹣y）＋（x﹣y）2．     10．阅读下列材料：一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：因式分解：＝＝＝（1）利用分组分解法分解因式：   ①；②      （2）因式分解：=_______（直接写出结果）．