2022年+苏科版九年级数学中考复习+三角形的边角性质常考热点+专题训练+

这是一份2022年+苏科版九年级数学中考复习+三角形的边角性质常考热点+专题训练+，共17页。试卷主要包含了如图，△ABC的面积为3，BD等内容，欢迎下载使用。

2022年春苏科版九年级数学中考复习《三角形的边角性质常考热点》专题训练（附答案）
一．选择题
1．如图，点P是直线a外一点，过点P作PA⊥a于点A，在直线a上取一点B，连接PB，使PB＝PA，C在线段AB上，连接PC．若PA＝4，则线段PC的长不可能是（　　）

A．3.8 B．4.9 C．5.6 D．5.9
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．2cm，2cm，5cm B．3cm，4cm，7cm
C．4cm，6cm，8cm D．5cm，6cm，12cm
3．若钝角三角形ABC中，∠A＝27°，则下列何者不可能是∠B的度数（　　）
A．37° B．57° C．77° D．97°
4．若有四根木棒，长度分别为4，5，6，9（单位：cm），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列不能围成三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．4，6，9 C．5，6，9 D．4，5，9
5．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（　　）

A．120° B．60° C．140° D．无法确定
7．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是（　　）

A．△ABE的面积＝△BCE的面积
B．∠AFG＝∠AGF
C．BH＝CH
D．∠FAG＝2∠ACF
9．已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC及中线AD的取值范围分别是（　　）
A．4＜BC＜20，2＜AD＜10 B．4＜BC＜20，4＜AD＜20
C．2＜BC＜10，2＜AD＜10 D．2＜BC＜10，4＜AD＜20
10．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．三角形三条高所在直线的交点一定在（　　）
A．三角形的内部
B．三角形的外部
C．三角形的内部或外部
D．三角形的内部、外部或顶点
12．如果等腰三角形的一个内角为50°，那么其它两个内角为（　　）
A．50°，80° B．65°，65°
C．50°，65° D．50°，80°或65°，65°
13．如图，为估计罗湖公园小池塘岸边A、B两点之间的距离，思雅学校小组在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝28m，OB＝20m，则A，B间的距离可能是（　　）

A．8m B．25m C．50m D．60m
14．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，垂足为F，且AB＝6，BC＝5，AC＝3，OF＝2，则四边形ADOE的面积是（　　）

A．9 B．6 C．5 D．3
15．已知三角形三边长分别为5、a、9，则数a可能是（　　）
A．4 B．15 C．14 D．6
16．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（　　）

A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
17．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（　　）
A．9° B．18° C．27° D．36°
18．如图，为估计湖岸边A、B两点之间的距离，小华在湖的一侧选取一点O，测得OA＝150米，OB＝100米，则A、B间的距离可能是（　　）

A．50米 B．150米 C．250米 D．300米
19．如图，∠A＝50°，∠ACD＝38°，∠ABE＝32°，则∠BFC的度数是（　　）

A．115° B．120° C．135° D．150°
20．如图，工人师傅为了固定长方形的木架，通常加两根木条，使其不变形，这种做法的根据是（　　）

A．三角形的内角和为180° B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．直角三角形两锐角互余
21．a，b，c为三角形的三边长，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（　　）
A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c
二．填空题
22．一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是　 　三角形．
23．已知整数a，b，c是△ABC的三条边长，若a＝1，b＝5，则奇数c＝　 　．
24．如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝　 　．

25．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　 　cm．

26．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　．

27．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是3，那么△A1B1C1的面积是　 　．

28．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有　 　对．

29．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为　 　．

30．周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形共有　 　个．
三．解答题
31．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝72°，∠C＝30°，
求①∠BAE的度数；
②∠DAE的度数；
（2）探究：如果只知道∠B＝∠C+42°，也能求出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

32．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，求∠CHD的度数．

33．（1）用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1cm的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．
34．将长度为25厘米的细铁折成边长都是质数（单位：厘米）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a，b，c，且满足a≤b≤c，则（a，b，c）有　 　组解，所构成的三角形都是　 　三角形．
35．如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．求证：
（1）AB+CD＜AC+BD；
（2）AC+BD＞（AB+BC+CD+AD）．

36．已知，O为△ABC内的任一点，求证：（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．

37．已知a、b、c为三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a﹣c+b|．

参考答案
一．选择题
1．解：∵过点P作PA⊥a于点A，在直线a上取一点B，连接PB，使PB＝PA，C在线段AB上，连接PC．若PA＝4，
∴PB＝6，
∴4≤PC≤6，
故PC不可能是3.8，
故选：A．
2．解：根据三角形的三边关系，知
A、2+2＜5，不能组成三角形；
B、3+4＝7，不能够组成三角形；
C、2＜8＜10，能组成三角形；
D、5+6＜12，不能组成三角形．
故选：C．
3．解：∵钝角三角形△ABC中，∠A＝27°，
∴∠B+∠C＝180°﹣27°＝153°，
又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：
①∠C＞90°，
∴∠B＜153°﹣90°＝63°，
∴选项A、B合理；
②∠B＞90°，
∴选项D合理，
∴∠B不可能为77°．
故选：C．
4．解：三角形三边可以为：①4、5、6；②4、6、9；③5、6、9．
所以，可以围成的三角形共有3个．
故选：D．
5．解：连接CP，
设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．
∵BD：DC＝2：1，E为AC的中点，
∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，
∵BD：DC＝2：1，CE：AC＝1：2，
∴△ABP的面积是4x．
∴4x+x＝2y+x+y，
解得y＝x．
又∵4x+x＝，
x＝．
则四边形PDCE的面积为x+y＝．
故选：B．

6．解：在△ABC中，∵∠A＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，
又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，
∴∠DBC+∠DCB＝×60°＝40°，
∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
7．解：满足条件的C点有5个，如图平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．
故选：A．

8．解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故A正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故B正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故D正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故C错误；
故选：C．
9．解：如图所示，
在△ABC中，则AB﹣AC＜BC＜AB+AC，
即12﹣8＜BC＜12+8，4＜BC＜20，
延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD＝CD，
又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，
12﹣8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，
∴2＜AD＜10．
故选：A．

10．解：∵∠α和∠β互补，
∴∠α+∠β＝180°．因为90°﹣∠β+∠β＝90°，所以①正确；
又∠α﹣90°+∠β＝∠α+∠β﹣90°＝180°﹣90°＝90°，②也正确；
（∠α+∠β）+∠β＝×180°+∠β＝90°+∠β≠90°，所以③错误；
（∠α﹣∠β）+∠β＝（∠α+∠β）＝×180°＝90°，所以④正确．
综上可知，①②④均正确．
故选：B．
11．解：A、直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的内部，错误；
B、直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的外部，错误；
C、直角三角形的三条高的交点是直角顶点，既不在三角形的内部，又不在三角形的外部，错误；
D、锐角三角形的三条高的交点在其内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高所在直线的交点在其外部，正确．
故选：D．
12．解：当该角是底角时，另外两个角分别为：50°，80°；
当该角是顶角时，另外两个角分别是：65°，65°．
故选：D．
13．解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：
28﹣20＜AB＜28+20，
即：8＜AB＜48，
则AB的值在8和48之间．
故选：B．
14．解：∵BD、CE均是△ABC的中线，
∴S△BCD＝S△ACE＝S△ABC，
∴S四边形ADOE+S△COD＝S△BOC+S△COD，
∴S四边形ADOE＝S△BOC＝5×2÷2＝5．
故选：C．
15．解：∵5+9＝14，9﹣5＝4，
∴4＜a＜14．
故选：D．
16．解：构成△AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：A．
17．解：设较小的锐角是x度，则另一角是4x度．
则x+4x＝90，
解得：x＝18°．
故选：B．
18．解：OA﹣OB＜AB＜OA+OB，
则150﹣100＜AB＜150+100，即50＜AB＜250．
则符合条件的只有B．
故选：B．
19．解：∵∠A＝50°，∠ACD＝38°，
∴∠BDF＝∠A+∠ACD＝88°，
∵∠ABE＝32°，
∴∠BFC＝∠BDF+∠ABE＝120°，
故选：B．
20．解：工人师傅为了固定长方形的木架，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性，
故选：C．
21．解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，
＝a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，
＝0．
故选：A．
二．填空题
22．解：∵三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，
∴这个三角形一定是直角三角形．
故答案为：直角．
23．解：∵a，b，c是△ABC的三条边长，
∴5﹣1＜c＜5+1，
∴4＜c＜6，
∵c是奇数，
∴c＝5，
故答案为5．
24．解：∵D是BC的中点，E是AC的中点，
∴△ADC的面积等于△ABC的面积的一半，△ADE的面积等于△ACD的面积的一半，
∴△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，
又∵S△ADE＝1，
∴S△ABC＝4．
故答案为：4．
25．解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE＝BE，
又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC﹣AB＝2cm，
即AC﹣8＝2cm，
∴AC＝10cm，
故答案为：10；
26．解：如图所示，
∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D，∠3＝∠E+∠F，
∴∠1+∠2+∠3＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．

27．解：如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1＝S△ABC＝3，
S△A1AB1＝S△ABB1＝3，
∴S△A1BB1＝S△A1AB1+S△ABB1＝3+3＝6，
同理：S△B1CC1＝6，＝6，
∴△A1B1C1的面积＝S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC＝6+6+6+3＝21．
故答案为：21．

28．解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．
故答案为：3．
29．解：∵点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，
∴AE＝DE＝AD，EF＝CF＝CE，BD＝DC＝BC，
∵△ABC的面积等于36，
∴S△ABD＝S△ACD＝＝18，
S△ABE＝S△BED＝＝9，S△AEC＝S△CDE＝S△ACD＝9，
∴S△BEC＝S△BDE+S△CDE＝9+9＝18，
∴S△BEF＝S△BCF＝S△BEC＝＝9，
故答案为：9．
30．解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c．
∵a+b+c＝24，a+b＞c，
∴a+b+c＞2c，即2c＜24，
∴c＜12，
3c＞a+b+c＝24，
∴c＞8，
∴8＜c＜12，
又∵c为整数，
∴c为9，10，11．
∵①当c为9时，有1个三角形，分别是：9，8，7；
②当c为10时，有2个三角形，分别是：10，9，5；10，8，6；
③当c为11时，有4个三角形，分别是：11，10，3；11，9，4；11，8，5；11，7，6．
∴各边长互不相等且都是整数的三角形共有7个．
故答案是：7．
三．解答题
31．解：（1）①∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣72°﹣30°＝78°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝39°；
②∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝18°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝39°﹣18°＝21°；
（2）能．
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝∠C+42°，
∴∠C＝∠B﹣42°，
∴2∠B+∠BAC＝222°，
∴∠BAC＝222°﹣2∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝111°﹣∠B，
在△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝（111°﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝21°．
32．解：延长CH交AB于F，
在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，

∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，
∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD＝45°，
33．解：（1）设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，
依题意有依题意有，
由方程可得≤x＜．
因x为正整数，故x＝15或16．
所以满足条件的三角形有15，40，45或16，36，48两组；
（2）这些小段的长度只可能是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…
但1+1+2+…+34+55＝143＜150．
1+1+2+…+34+55+89＝232＞150．
故n的最大值为10，共有以下7种形式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）．
34．解：∵周长为25的三角形的三边的长都是质数，
这样的三角形有：11+11+3＝25，7+7+11＝25，两组；
根据等腰三角形的判定可知都是等腰三角形．
故答案为：两，等腰．
35．证明：（1）∵在△ABO和△COD中，
AO+BO＞AB，CO+DO＞DC，
∴AO+CO+BO+DO＞AB+DC，
即AB+CD＜AC+BD；
（2）由（1）得：AB+CD＜AC+BD，
同理可得：AD+BC＜AC+BD，
则2（AC+BD）＞AB+BC+CD+AD，
故AC+BD＞（AB+BC+CD+AD）．
36．解：∵三角形中任意两边之和大于第三边，
∴OA+OB＞AB，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC，
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，即（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC；
先延长线段BO交AC于点P，
有：AB+AP＞BP＝OB+OP
OP+PC＞OC
由上两式得：AB+AC＞OB+OC
同理，有：BC+BA＞OC+OA
CA+CB＞OA+OB
三式相加再除以2可得：AB+BC+CA＞OA+OB+OC
∴（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．

37．解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a+c＞b，a+b＞c，a+c＞b，
∴a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，a﹣c+b＞0，
∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a﹣c+b|
＝a﹣b+c﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a﹣c+b）
＝a﹣b+c+b﹣c﹣a﹣a+c﹣b
＝c﹣a﹣b．