清单18平面向量的概念、线性运算及基本定理 （解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单18平面向量的概念、线性运算及基本定理 （解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共22页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单18 平面向量的概念、线性运算及基本定理
一、知识与方法清单
1.向量
向量是既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
注意向量与有向线段的区别：
(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量.
(2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
【对点训练1】设a0为单位向量，
①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；
②若a与a0平行，则a＝|a|a0；
③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.
上述命题中，假命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则当a为零向量时，a的方向任意；当a不为零向量时，a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.
2.零向量
长度为0的向量；注意零向量的方向是任意的
【对点训练2】下列叙述错误的是________．
①若a∥b，b∥c，则a∥c.
②若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．
③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同．
④向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
⑤＋＝0.
⑥若λa＝λb，则a＝b.
【答案】①②③④⑤⑥
【解析】对于①，当b＝0时，a不一定与c平行．
对于②，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同．
对于③，当a，b之一为零向量时结论不成立．
对于④，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0或a≠0但b＝0时，λ不存在．
对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝0.
对于⑥，当λ＝0时，不管a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.
故①②③④⑤⑥均错．
3.单位向量
单位向量是长度等于1个单位长度的向量，注意单位向量的长度确定，但方向不确定，故单位向量有无数个，与非零向量a共线的单位向量为±.
【对点训练3】与共线的单位向量为
【答案】
【解析】因为，所以与共线的单位向量为.
4.平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量是共线向量，注意课本规定零向量与任意向量都共线.
【对点训练4】对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当a＋b＝0时，a＝－b，所以a∥b；当a∥b时，不一定有a＝－b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.
5.相等向量
长度相等且方向相同的向量是相等向量
解读：对平行向量、相等向量概念的理解
(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”.
(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的.
(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量.
【对点训练5】给出下列命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若＝，则四点A，B，C，D构成平行四边形；
④在▱ABCD中，一定有＝；
⑤若m＝n，n＝p，则m＝p.
其中不正确的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确．若＝，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确．正确的是④⑤.故选B.
6.相反向量
长度相等且方向相反的向量是相反向量
解读：对相反向量的两点说明
(1)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反，模长相等的两个向量.
(2)两个非零向量a，b互为相反向量应具备的条件：一是长度相等，二是方向相反，两者缺一不可.
【对点训练6】给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)
A．① B．③
C．①③ D．①②
【答案】A
【解析】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．
7.向量的加法法则
①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为起点以第二个向量b的终点B为终点的向量就是a与b的和(如图1)．


图1
图2
②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和(如图2)．在图2中，＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．
解读：对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明
(1)两个法则的使用条件不同.
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的.
(3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法则时需要注意两个向量的起点相同.
【对点训练7】在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
【答案】2
【解析】由向量加法的平行四边形法则，
得＋＝.
又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴＝2，
∴＋＝2.又＋＝λ，∴λ＝2.
8.向量的减法法则
已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b ，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)．

解读：向量减法法则的两点说明
(1)向量的减法法则有着丰富的几何背景：当a，b不共线时，a，b与a-b围成一个三角形；当a，b共线时，a，b与a-b不能围成一个三角形.(2)向量的加法与向量的减法互为逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
【对点训练8】设D为△ABC所在平面内一点，若＝3，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
【答案】A
【解析】∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，∴＝－＋.
9.实数与向量的乘积
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：
①＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ