高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率复习练习题

事件的关系和运算

(25分钟·50分)

一、选择题(每小题4分，共16分)

1.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)

A.至多有2件次品  B.至多有1件次品

C.至多有2件正品  D.至少有2件正品

【解析】选B.至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.

2.从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的为              (　　)

A.“都是红球”与“至少一个红球”

B.“恰有两个红球”与“至少一个白球”

C.“至少一个白球”与“至多一个红球”

D.“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”

【解析】选D.A，B，C中两个事件可以同时发生，只有D，两个事件不可能同时发生，是互斥事件.

3.给出以下三个结论：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在结论(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件.其中正确的个数是              (　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选B.(1)还有可能为一次出现正面，一次出现反面的情况，所以事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，所以(1)错误；(2)正确；(3)中可能出现2件次品，1件正品的情况，所以事件A与事件B不是互斥事件.

4.向上抛掷两枚质地均匀的硬币，设A={两枚硬币都正面向上}，B={两枚硬币都正面向下}，C={恰有一枚硬币正面向上}，D={至少有一枚硬币正面向上}，下列关系不正确的是              (　　)

A.A⊆D  B.B∩D=⌀

C.A∪C=D  D.A∪B=B∪D

【解析】选D.“恰有一枚硬币正面向上”指第一枚硬币正面向上第二枚硬币正面向下或第一枚硬币正面向下第二枚硬币正面向上，“至少有一枚硬币正面向上”包含两种情况：一种是恰有一枚硬币正面向上，一种是两枚硬币都正面向上，所以A∪B≠B∪D.

二、填空题(每小题4分，共8分)

5.同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为________. 

①一个是5点，另一个是6点；

②一个是5点，另一个是4点；

③至少有一个是5点或6点；

④至多有一个是5点或6点.

【解析】同时掷甲、乙两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”.

答案：③

6.盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A={3个球中有1个红球，2个白球}，事件B={3个球中有2个红球，1个白球}，事件C={3个球中至少有1个红球}，事件E={3个红球}，那么事件C与A，B，E的运算关系是________. 

【解析】由题意可知C=A∪B∪E.

答案：C=A∪B∪E

三、解答题(共26分)

7.(12分)从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系：

(1)至少有1个白球，都是白球；

(2)至少有1个白球，至少有一个红球；

(3)至少有一个白球，都是红球.

【解析】给两个红球编号为1，2，给两个白球编号为3，4，从口袋中任取两个球，用(x，y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，设A=“至少有1个白球”，A={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}.

(1)设B=“都是白球”，B={(3，4)}，所以B⊆A.

(2)设C=“至少有一个红球”，则C={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，因为A∩C={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，所以A和C不互斥.

(3)设D=“都是红球”，则D={(1，2)}，因为A∪D=Ω，A∩D=⌀，所以A和D为对立事件.

8.(14分)从5张扑克牌(其中2张红桃标号为1和2，3张黑桃标号为3，4和5)中，从中任取2张，设事件A=“2张都是黑桃”，B=“2张花色相同”，C=“2张花色不同”.

(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件.

(2)求A∩B，B∪C.

【解析】(1)Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，A={(3，4)，(3，5)，(4，5)}，B={(1，2)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，C={(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}.

(2)A∩B=A={(3，4)，(3，5)，(4，5)}，B∪C=Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}.

(15分钟·30分)

1.(4分)某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 (　　)

A.至多有一次中靶  B.两次都中靶

C.两次都不中靶   D.只有一次中靶

【解析】选C.“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事件，同时，也是对立事件.

2.(4分)如果事件A，B互斥，那么 (　　)

A.A∪B是必然事件

B.A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件

C.A的对立事件与B的对立事件是互斥事件

D.A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件

【解析】选B.数形结合，A与B有两种情况，一种是互斥不对立，另一种是A与B是对立事件，要分类讨论.

3.(4分)从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

上述事件中，是对立事件的是 (　　)

A.① B.②④ C.③ D.①③

【解析】选C.③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.

4.(4分)现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则事件取出的是理科书可记为________.               

【解析】由题意可知事件“取到理科书”的可记为B∪D∪E.

答案：B∪D∪E

5.(14分)某小区有甲、乙两种报刊供居民订阅，记事件A表示“只订甲报刊”，事件B表示“至少订一种报刊”，事件C表示“至多订一种报刊”，事件D表示“不订甲报刊”，事件E表示“一种报刊也不订”.判断下列事件是否是互斥事件，若是，再判断是否为对立事件.             

(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；

(5)C与E.

【解析】(1)由于事件C“至多订一种报刊”中有可能“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.

(2)事件B“至少订一种报刊”与事件E“一种报刊也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件.

(3)事件B“至少订一种报刊”中有可能“只订乙报刊”，即有可能“不订甲报刊”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥.

(4)事件B“至少订一种报刊”中有这些可能：“只订甲报刊”“只订乙报刊”“订甲、乙两种报刊”；事件C“至多订一种报刊”中有这些可能：“两种报刊都不订”“只订甲报刊”“只订乙报刊”.由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.

(5)由(4)的分析，事件E“一种报刊也不订”只是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥.

1.如果事件A、B互斥，那么 (　　)

A.A∪B是必然事件  B.∪是必然事件

C.与一定互斥   D.与一定不互斥

【解析】选B.用集合的表示法中的“Venn图”解决比较直观，如图所示，∪=I是必然事件.

2.从学号为1，2，3，4，5，6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中1，3，5号同学为男生，2，4，6号同学为女生，记：C1=“选出1号同学”，C2=“选出2号同学”，C3=“选出3号同学”，C4=“选出4号同学”，C5=“选出5号同学”，C6=“选出6号同学”，D1=“选出的同学学号不大于1”，D2=“选出的同学学号大于4”，D3=“选出的同学学号小于6”，E=“选出的同学学号小于7”，F=“选出的同学学号大于6”，G=“选出的同学学号为偶数”，H=“选出的同学学号为奇数”，等等.据此回答下列问题：

(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？

(2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？

(3)如果事件H发生，则可能是哪些事件发生？事件H与这些事件之间有何关系？

(4)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？它们之间的关系如何描述？

(5)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？ 

【解析】(1)必然事件有：E；随机事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1 ，D2，D3，G，H；不可能事件有：F.

(2)如果事件C1发生，则事件D1，D3，E，H一定发生.

(3)可能是C1，C5，C3，D1发生，H=C1∪C5∪C3.

(4)D2和D3同时发生时，

即为C5发生了，D2∩D3=C5.

(5)有，如：C1和C2；C3和C4等等.