北师大版八年级下册1 等腰三角形教学演示课件ppt

这是一份北师大版八年级下册1 等腰三角形教学演示课件ppt，共49页。PPT课件主要包含了基本事实，用心想一想马到功成，议一议做一做，证法一，等腰三角形的性质，一题多解，证法二，证法三，想一想，大胆尝试练一练等内容，欢迎下载使用。
1.两直线被第三条直线所截,如果________相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,________相等; 3. ____________对应相等的两个三角形全等; （SAS）4. ____________对应相等的两个三角形全等; （ASA）5. _____对应相等的两个三角形全等; （SSS） 你能证明下面的推论吗？推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）
耐心填一填，一锤定音！
推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°） ∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E) ∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知） ∴∠C=∠F（等量代换） ∵BC=EF（已知） ∴△ABC≌△DEF（ASA）
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?尽可能回忆出来.(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足.
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.求证：∠B=∠C.
证明：取BC的中点D, 连接AD. 在△ABD和△ACD中 ∵ AB=AC, BD=CD, AD=AD ∴ △ABD≌△ACD (SSS) ∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
证明：作△ABC顶角∠A的角平分线AD. 在△ABD和△ACD中 ∵ AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD ∴ △ABD≌△ACD (SAS) ∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
证明：在△ABC和△ACB中 ∵ AB=AC, ∠A=∠A, AC=AB, ∴ △ABC≌△ACB (SAS) ∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等的基本性质。
在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论?
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. (三线合一)
1.等腰三角形的两个底角相等； 2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合；
2. 如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求证： △ABD是等腰三角形;（2）求∠BAD的度数.
解：（1）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，∴∠ACB=∠ACD=90°．∴△ACB≌△ACD．∴AB=AD．∴△ABD是等腰三角形．（2）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，∴△ACB、△ACD都是等腰直角三角形．∴∠B=∠D=45°．∴∠BAD=90°．
1. 通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据。 2. 体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性。
课堂小结, 畅谈收获：
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的结论吗?
作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它． 下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线．
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的高．
1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等.
证明：∵AB=AC，BD、CE是高，∴∠ADB=∠AEC=90°，在△ABD和△ACE中， ∠ADB＝∠AEC ，∠A＝∠A ，AB＝AC ，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD=CE．
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的中线．
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
证明：∵AB=AC，BD、CE是△ABC的中线，AB＝AC ，∴AE=AD，在△ABD和△ACE中， AE=AD，∠A＝∠A ，AB＝AC ，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD=CE．
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么启示? 把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?
简述为： （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE. （2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：在ΔABC中，∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理：∠C=∠A， ∴∠A=∠B=∠C（等量代换）. 又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理） ∴∠A=∠B=∠C＝60°.
如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:AE=CD
∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD
∴ △ABE≌△CBD
1.等腰三角形中还有那些相等的线段？ 2.等边三角形有哪些性质？ 3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题 的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等？
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D．则∠ADB=∠ADC．∵在△ABD与△ACD中， ∠B＝∠C ，∠ADB＝∠ADC， AD＝AD ，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC．
分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. (等角对等边.)
等腰三角形的判定定理：
在△ABC中∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.
练习1　如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．
证明：答案不唯一，可找一个等腰△ABC．在△ABC中，∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°-（72°+36°）=72°．∵∠C=∠ABC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。
练习2：已知：如图，∠CAE是△ABC的外角， AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．
解：∵AD∥BC，（已知）∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等）∠2=∠C，（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2，（已知）∴∠B=∠C，∴AB=AC．（等角对等边）
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法： 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等． 假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC 你能理解他的推理过程吗?
再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法. 假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．
上面的证法有什么共同的特点呢?
在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法．
1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角已知：△ABC．求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．
1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.
分析：要求△AMN的周长，则需求出AM+MN+AN，而这三条边都是未知的．由已知AB=12，AC=18，可使我们联想到△AMN的周长需转化成与AB、AC有关系的形式．而已知中的角平分线和平行线告诉我们图形中有等腰三角形出现，因此，找到问题的突破口．
例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
用反证法来证:证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.
2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?
36° 90° 108°
（1）本节课学习了哪些内容？（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？ （3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判 定的区别和联系．（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路
(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形? (2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．
分析：有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．
定理：有一个角是60°.的等腰三角形是等边 三角形．
等边三角形的判定定理：
求证：三个角都相等的三角形是等边三角形．已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B， ∴BC=AC(等角对等边)． 又∵∠A=∠C， ∴BC=AB(等角对等边)． ∴AB=BC=CA， 即△ABC是等边三角形．
等边三角形的性质和判定：
用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由． 由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗?
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
等腰三角形的底角为15°腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高；求：CD的长.
一个问题“反过来”思考，就可能形成一个真命题．你能举个例子吗? 例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题；“等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°”，反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形”． 但有些命题“反过来”就不成立．例“对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立．
命题“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗？如果是，请你证明它．
解：∵　DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴　BC =3.7（m）．　
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．　　
　　例　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？