2022年北师大版九年级数学中考复习《全等三角形常考热点》专题训练

这是一份2022年北师大版九年级数学中考复习《全等三角形常考热点》专题训练，共21页。

1．如图，已知AB＝DC，需添加下列（ ）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．
A．AO＝BOB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DBD．BO＝CO
2．如图，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，垂足为F，且AB＝6，BC＝5，AC＝3，OF＝2，则四边形ADOE的面积是（ ）
A．9B．6C．5D．3
4．如图，太阳光线AC和A′C′是平行的，在同一时刻，若两根木杆的影子一样长，则两根木杆高度相等．这利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△A′B′C′的依据是（ ）
A．SASB．AASC．SSSD．ASA
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别与AB、BC交于点D、E，连接AE，若△AEC的周长是10，AC的长度是4，那么BC的长是（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．如图，△ABC≌△AED，BC与ED交于点F，连接AF，P为线段AF上一动点，连接BP、DP，EF＝3，CF＝5，则BP+DP的最小值是（ ）
A．4B．8C．10D．16
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
8．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交CA的延长线于点E，∠EBC＝42°，则∠BAC＝（ ）
A．159°B．154°C．152°D．138°
10．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝56°，将△ABC沿着DE翻折，使得点C恰好与点B重合，连接BE，则∠AEB的度数为（ ）
A．68°B．58°C．22°D．34°
11．如图，在平面内有一等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，点A在直线l上．过点C作CE⊥l于点E，过点B作BF⊥l于点F，测量得CE＝3，BF＝2，则AF的长为（ ）
A．5B．4C．8D．7
二．填空题
12．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝ °．
13．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝ ．
14．如图，把△ABC的中线CD延长到E，使DE＝CD，连接AE，若AC＝4且△BCD的周长比△ACD的周长大1，则AE＝ ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD是∠ACB的平分线，若BD＝2，AC＝8，则△ACD的面积为 ．
16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，作AD⊥BC于点D，AD＝AB，点E为AC边上的中点，点P为BC上一动点，则PA+PE的最小值为 ．
三．解答题
17．如图，E，F分别是等边△ABC边AB，AC上的点，且AE＝CF，CE，BF交于点P．
（1）证明：CE＝BF；
（2）求∠BPC的度数．
18．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，P为AB上一动点，连接CP，以AB为边作∠BAD＝∠BCP，AD交CP的延长线于点D，连接BD，过点B作BE⊥BD交CP于点E．
（1）当∠EBC＝15°时，∠ABD＝ °；
（2）过点P作PH⊥AC于点H，是否存在点P，使得BC＝HC，若存在，请求出此时∠ACP的度数，若不存在，请说明理由；
（3）若AD＝2，ED＝7，求△ADC的面积．
19．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
20．如图，四边形ABCO，AB∥OC，∠AOC＝90°，OA＝12，AB＝21，OC＝16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点PQ分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）．
（1）设△PQC面积为S，求S与t之间的关系式；
（2）当t为何值时，PB＝QC？并求出此时AP和OQ的长；
（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？
21．如图，△ACB与△CED都是等腰直角三角形，∠BCA＝∠DCE＝90°，且点D在线段AB上，连接AE．
（1）求证：①△BCD≌△ACE；②∠DAE＝90°；
（2）若AB＝8，当点D在线段AB上什么位置时，四边形ADCE的周长最小？请说明并求出周长的最小值．
22．（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．
（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？
23．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．
（1）线段AE与DB的数量关系为 ；请直接写出∠APD＝ ；
（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；
（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．
24．如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4cm，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，点P以1cm/s的速度自点A向终点B运动，点Q同时以1cm/s的速度自点B向终点C运动，连接AQ、DP，设运动时间为ts．
（1）当t＝ s时，点P到达点B；
（2）求证：在运动过程中，△ABQ≌△DAP始终成立；
（3）如图2，作QM∥PD，且QM＝PD，作MN⊥射线BC于点N，连接CM，请问在Q的运动过程中，∠MCN的度数是否改变？如果不变，请求出∠MCN；如果改变，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、添加AO＝BO不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加∠ACB＝∠DBC不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加AC＝DB可利用SSS判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
D、添加BO＝CO不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
故选：C．
2．解：∵点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点
∴两个正方形之间的阴影面积为正方形总面积的，
即×1×1＝，
当有三个正方形时，其面积为+＝，
当有四个时，其面积为++＝，
所以当n个正方形时，其面积为．
故选：A．
3．解：∵BD、CE均是△ABC的中线，
∴S△BCD＝S△ACE＝S△ABC，
∴S四边形ADOE+S△COD＝S△BOC+S△COD，
∴S四边形ADOE＝S△BOC＝5×2÷2＝5．
故选：C．
4．解：∵AC∥A′C′，
∴∠ACB＝∠A′C′B′，
∵两根木杆的影子一样长，
∴BC＝B′C′，
在△ACB和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．
故选：D．
5．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△AEC的周长＝AC+AE+EC＝AC+BE+EC＝AC+BC＝BC+4＝10，
可得：BC＝6，
故选：B．
6．解：如图所示，连接CP，
设AB交ED于M，AE交BC于N，可证△AMD≌△ANC，得BM＝EN，可证△BMF≌△ENF，得FM＝FN，可证△AFD≌△AFC，
∴点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称
∴CP＝DP，EF＝BF＝3，
∴BP+DP＝BP+CP，
∴当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，
∵EF＝3，CF＝5，
∴BF+CF＝BC＝8，
∴BP+DP的最小值是8，
故选：B．
7．解：在AB上取一点G，使AG＝AF
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴FE＝EG
∴CE+EF＝CE+EG
则最小值时CG垂直AB时，CG的长度
CG＝
故选：D．
8．解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
9．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠EAB＝∠ABC+∠C，
∴∠EAB＝2∠ABC，
∵DE垂直平分AB，
∴∠EBA＝∠EAB＝2∠ABC，
∴∠EBC＝3∠ABC＝42°，
∴∠ABC＝14°，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝152°，
故选：C．
10．解∵∠A＝90°，∠ABC＝56°
∴∠C＝34°
∵将△ABC沿着DE翻折，使得点C恰好与点B重合
∴BE＝EC，∠C＝∠EBC＝34°
∴∠AEB＝∠C+∠EBC＝68°
故选：A．
11．（1）证明：如图1，过点C作CD⊥BF，交FB的延长线于点D，
∵CE⊥MN，CD⊥BF，
∴∠CEA＝∠D＝90°，
∵CE⊥MN，CD⊥BF，BF⊥MN，
∴四边形CEFD为矩形，
∴∠ECD＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB﹣∠ECB＝∠ECD﹣∠ECB，
即∠ACE＝∠BCD，
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（AAS），
∴AE＝BD，CE＝CD，
又∵四边形CEFD为矩形，
∴四边形CEFD为正方形，
∴CE＝EF＝DF＝CD，
∴AF+BF＝AE+EF+BF
＝BD+EF+BF
＝DF+EF
＝2CE，
∵CE＝3，BF＝2，
∴AF＝6﹣2＝4．
故选：B．
二．填空题
12．解：在△DCE和△ABD中，
∵，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE＝∠DAB，
∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝90°，
故答案为：90．
13．解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，
∴∠ACE＝∠ECG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，
∴CF＝CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），
∴AF＝BG，
设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，
∴12﹣x＝8+x，
解得x＝2，
∴AF＝12﹣2＝10．
故答案为：10．
14．解：∵CD为△ABC的中线，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDC中
，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE＝BC，
∵△BCD的周长比△ACD的周长大1，
∴CD+BD+BC＝AC+AD+CD+1，
∴BC＝AC+1＝4+1＝5，
∴AE＝5．
故答案为5．
15．解：作DH⊥AC于H，
∵CD是∠ACD的平分线，∠B＝90°，DH⊥AC，
∴DH＝DB＝2，
∴△ACD的面积＝×AC×DH＝×8×2＝8，
故答案为：8．
16．解：∵AB＝AC，BC＝8，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝4，
延长AD至A'，使AD＝A'D，连接A'E，交BC于P，此时PA+PE的值最小，就是A'E的长，
∵AD＝AB，AA′＝2AD，
∴AA'＝AB＝AC，
∵AD＝A'D，AD⊥CD，
∴AC＝A'C，
∴△AA'C是等边三角形，
∵E是AC的中点，
∴A'E⊥AC，
∴A'E＝CD＝4，即PA+PE的最小值是4，
故答案为：4．
三．解答题
17．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∠A＝∠EBC＝60°，
∴在△BCE与△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE＝BF；
（2）∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°．
即：∠BPC＝120°．
18．解：（1）∵BE⊥BD，
∴∠EBD＝90°＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠BCP，
∴△BAD≌△BCE（ASA），
∴∠ABD＝∠CBE＝15°，
故答案为：15；
（2）存在，理由：∵PH⊥AC，
∴∠PHC＝90°＝∠PBC，
∵BC＝CH，CP＝CP，
∴Rt△BPC≌Rt△CPH（HL），
∴∠BCP＝∠HCP，
在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ACP＝∠ACB＝22.5°；
（3）由（1）知，△BAD≌△BCE，
∴AD＝CE，
∵AD＝2，
∴CE＝2，
∵DE＝7，
∴CD＝DE+CE＝9，
由（1）知，△BAD≌△BCE，
∴∠ADB＝∠CEB，BD＝BE，
∵∠DBE＝90°，
∴∠BDE＝∠BED＝45°，
∴∠CEB＝135°，
∴∠ADB＝135°，
∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDE＝135°﹣45°＝90°，
∴S△ADC＝DC•AD＝×9×2＝9．
19．证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF＝CF．
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE＝GC＝8．
∵GC＝2BG，
∴BG＝4．
∴BC＝12．
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．
20．解：（1）如图1，
根据题意得，OQ＝t，
∴CQ＝OC﹣OQ＝16﹣t，
∴S＝，
即S＝﹣6t+96（0＜t＜）；
（2）根据题意得，AP＝2t，OQ＝t，
∴BP＝21﹣2t，CQ＝16﹣t，
∵BP＝CQ，
∴21﹣2t＝16﹣t，
解得，t＝5，
∴AP＝10，OQ＝5，
故t为5秒时，BP＝CQ，此时AP＝10，OQ＝5；
（3）过P作PN⊥AB于N，过Q作QM⊥AB于点M，
则AO＝QM＝PN＝12，OQ＝AM＝t，PM＝2t﹣t＝t，PN＝|16﹣2t|，
∴CQ2＝（16﹣t）2＝t2﹣32t+256，PQ2＝t2+144，CP2＝（12﹣6t）2+144，CP2＝（16﹣2t）2+144＝4t2﹣64t+400，
①当PQ＝PC时，得t2+144＝4t2﹣64t+400，
解得，t＝，或t＝16（舍），
②当QP＝QC时，得t2+144＝t2﹣32t+256，
解得，t＝，
故当t＝或，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形．
21．（1）证明：①∵△ACB与△CED都是等腰直角三角形，∠BCA＝∠DCE＝90°，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠BCD＝∠ACE．
在△BCD和△ACE中，，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
②∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
由①知，△BCD≌△ACE，
∴∠ABC＝∠EAC，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝45°+45°＝90°；
（2）∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，
由（1）知，△BCD≌△ACE，
∴BD＝AE，
∴L四边形ADCE＝AD+AE+CE+CD＝AB+2CD＝8+2CD，
要四边形ADCE的周长最小，
∴CD最小，
∵点D在AB上，
∴CD⊥AB时，CD最小，
∵AC＝BC，
∴AD＝BD．
即：点D是AB的中点，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝8，
∴CD＝4，
∴L四边形ADCE最小＝8+2CD最小＝8+2×4＝16，
即：点D是AB中点时，四边形ADCE的周长最小，最小值为16．
22．（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形（已知）
∴AB＝AD，AE＝AC（等腰直角三角形定义）
又∵∠BAD＝∠CAE＝90°（已知）
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAC，
∴△ABE≌△ADC
∴BE＝DC（全等三角形的对应边相等）
∠ABE＝∠ADC（全等三角形的对应角相等）
又∵∠BFO＝∠DFA，∠ADF+∠DFA＝90°（直角三角形的两个锐角互余）
∴∠ABE+∠BFO＝90°（等量代换）
∴∠BOF＝∠DAF＝90，
即BE⊥DC．
（2）解：结论：BE＝CD．
理由：如图2，∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠ACE＝∠AEC＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE，∠BEA＝∠ACD，
∴∠BOC＝∠ECO+∠OEC
＝∠DCA+∠ACE+∠OEC
＝∠BEA+∠ACE+∠OEC
＝∠ACE+∠AEC
＝60°+60°
＝120°．
∴∠BOD＝60°．
23．（1）解：如图1中，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠AMC＝∠DMP，
∴∠APD＝∠ACD＝30°，
故答案为AE＝BD，30°
（2）解：如图2中，结论：AE＝BD，∠APD＝30°．
理由：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠AMP＝∠DMC，
∴∠APD＝∠ACD＝30°．
（3）证明：如图2﹣1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G，
∵△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，
∵S△ACE＝S△DCB（全等三角形的面积相等），
∴CH＝CG，
∴∠DPC＝∠EPC（角平分线的性质定理的逆定理），
∵∠APD＝∠BPE，∠APC＝∠DPC+∠APD，∠BPC＝∠EPC+∠BPE，
∴∠APC＝∠BPC．
24．解：（1）∵AB＝4cm，点P以1cm/s的速度自点A向终点B运动，
∴点P到达点B所用的时间为：4÷1＝4（s），
故答案为：4；
（2）在运动过程中，AP＝BQ＝t，
在△ABQ和△DAP中，
，
∴△ABQ≌△DAP；
（3）∠MCN的度不改变，始终为45°，
理由如下：∵△ABQ≌△DAP，
∴AQ＝DP，
∵QM＝PD，
∴QM＝AQ，
∵△ABQ≌△DAP，
∴∠BAQ＝∠ADP，
∵∠BAQ+∠DAQ＝90°，
∴∠ADP+∠DAQ＝90°，即∠AED＝90°，
∵QM∥PD，
∴∠AQM＝∠AED＝90°，
∴∠AQB+∠MQN＝90°，
∴∠AQB＝∠QMN，
在△AQB和△QMN中，
，
∴△AQB≌△QMN，
∴QN＝AB，MN＝BQ，
∴BC＝QN，
∴BC﹣QC＝QN﹣QC，即BQ＝CN，
∴MN＝CN，
∴∠MCN＝45°．