2022届高考数学模拟试题全国乙卷（理数）（含答案）

2022届高考数学各省模拟试题汇编卷

全国乙卷（理数）

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（2022 河南原阳模拟考试）已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2.（2022 江西南昌摸底考试）若z为纯虚数，且，则(   )

A.i B.-i C.2i D.-2i

3.（2022 甘肃民乐诊断考试）命题p：“，”的否定形式为(   )

A.，

B.，

C.，

D.，

4.（2022 山西太原阶段性考试）已知，则的大小关系是（    ）

A．     B.       C．        D．

5.（2022 吉林顶级名校期初考试）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(   )

A. B. C. D.

6.（2022 内蒙古赤峰压轴考试）已知圆周率π满足等式.如图是计算π的近似值的程序框图，图中空白框中应填入(   )
 

A. B. C. D.

7.（2022 安徽桐城摸底考试）已知等比数列的前n项和(为常数)，则(   )

A. B. C.1 D.2

8.（2022 陕西汉中检测考试）已知函数，则下列判断错误的是（    ）

A．的最小正周期为

B．的值域为

C．的图象关于直线对称

D．的图象关于点对称

9.（2022 宁夏石嘴山质量监测）学校从高一、高二、高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5、6、7，学习后学校选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为(   )

A. B. C. D.

10.（2022 内蒙古包头模拟考试）将边长为2的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，点分别是圆O和圆上的点，弧长为，弧长为，且B与C在平面的同侧，则与所成角的大小为（   ）

A. B. C. D.

11.（2022 黑龙江青冈模拟考试）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则C的离心率为(   )

A. 2 B. C. D.

12.（2022 甘肃民勤过关考试）已知函数有两个不同的极值点，，

若不等式有解，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2022 河南高三联考）若实数x，y满足则的取值范围是_________.

14.（2022 山西太原模拟考试）已知等比数列的前n项和为，若，，，则______.

15.（2022 宁夏银川模拟考试）在的展开式中，含的项是展开式的第_______________项.

16.（2022 安徽江淮十校联考）已知正方体的棱长为1，点P为底面的四条棱上的动点，则的取值范围为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（2022 河南确山阶段性考试）（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.

（1）求角A；

（2）若的面积为，外接圆半径为，求的值.

18.（2022 山西晋城模拟考试）（12分）“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：

某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：

（1）求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与是否线性相关；

（2）请将上述列联表补充完整，并判断是否有的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；

（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人，记选到女性车主的人数为X，求X的数学期望与方差.

参考公式：，，其中.，若，则可判断与线性相关.

附表：

19.（2022 吉林长春质量检测考试）（12分）已知直三棱柱中，为正三角形，为的中点.点在棱上，且.

(1)求证：直线平面；

(2)求二面角的余弦值.

20.（2022 新疆乌鲁木齐质量监测）（12分）已知点，，动点P满足.

（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；

（Ⅱ）若曲线E与抛物线交于A，B，C，D四点，O为坐标原点，斜率满足，求此抛物线的方程.

21.（2022 江西省高三联考）（12分）设函数().

（1）讨论函数的单调性；

（2）若且方程，在上有两个不相等的实数根，，求证:.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（2022 陕西咸阳模拟检测）（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设与曲线C交于A，B两点，求线段AB中点M轨迹的极坐标方程.

23.（2022 陕西咸阳模拟检测）（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]

已知函数，.

（Ⅰ）当时，若的最小值为3，求实数a的值；

（Ⅱ）当时，若不等式的解集包含，求实数a的取值范围.

答案以及解析

1.答案：C

解析：由题意知，，，则.

2.答案：C

解析：z为纯虚数，且，设，，，解得，，故选：D.

3.答案：A

解析：命题p：“，”的否定形式：，.故选：A.

4.答案：B

解析：，，.故选B.

5.答案：A

解析：解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4.长方体的体积，半个圆柱的体积，所以这个几何体的体积是；故选A.

6.答案：D

解析：依题意可知：，其中是等式右边的第项，由流程图可知，对于变量，只需要在上一次求和的基础上加上，又，所以，空白框中应填入. 故选D.

7.答案：C

解析：等比数列的前n项和(为常数)，
，

，
，，成等比数列，，

解得或，时，是常数，不成立，故舍去..

8.答案：D

解析：

9.答案：A

解析：

10.答案：C

解析：由弧长公式可知：，，
在底面圆周上去点D且，
则面，
连接，
则
即为异面直线与所成角，
又，
所以，
故选：C．

11.答案：D

解析：

12.答案：C

解析：

13.答案：

解析：

14.答案：

解析：

15.答案：11

解析：的展开式的通项公式为，令，得，所以含的项是展开式的第11项.

16.答案：

解析：不妨令点P在棱上，设，则，由勾股定理可得

，

其几何意义为x轴上一动点（）到两定点与的距离之和.其最小值即为到的距离，即.

又由平面几何知识知，当的最大值在或处取得，

当时，；当时，.

故的取值范围为.

17.答案：（1）

（2）

解析：（1）因为，

由正弦定理，可得，

即.

又因为，可得，

所以，

又由，可得，

所以，即，所以.

（2）由的外接圆半径为，可得，

又由，解得，

由余弦定理得，

所以，即，解得.

18.答案：（1）依题意，

，

故

，，

则

故与线性相关.

（2）依题意，完善表格如下：

故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.

（3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为，

则，

所以，

.

19.答案：(1)证明过程见解析.

(2)余弦值为.

解析：(1)取中点D，连接，，

以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，

，

，

设平面的法向量为，

，得，令，则，

，，，，

直线平面.

(2)，

设平面的法向量为，

，，

令，则，

，

设二面角的平面角为，

，

由图示可知二面角是锐角，

所以二面角的余弦值为.

20.答案：（Ⅰ）设，由已知点，，，
得，故动点P的轨迹E的方程为；
（Ⅱ）设，因为，
所以，又，，整理得，
联立，得，，
解得或，，，，
联立，得，（舍）
所以抛物线的方程为.

解析：

21.答案：（1）当时，在上单调递增

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）见解析

解析：（1）

当时，恒成立，在上单调递增

当时，令得，令得

在上单调递增，在上单调递减

综上：当时，在上单调递增

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）方程即

在上有两个不等实根和不妨设

则①

②

①-②得

欲证

只需证

因为，所以，则

即需证：

整理得：， 即证

令，，显然在上单增.

所以，故原命题得证. 

22.答案：（1），
，即.
（2）将直线参数方程(t为参数)代入曲线中得，
设方程的两根为，，则，
则AB过坐标原点，且AB中点M对应的参数为，设M的极坐标为，则，，
故A，B中点M 轨迹的极坐标方程为.

解析：

23.答案：(1)4或-8.

(2).

解析：(1)当时，，

因为的最小值为3，所以，解得或4.

(2)当时，，即，

当时，，即，

因为不等式的解集包含，所以且，

即，故实数a的取值范围是.