（新高考专用） 08 三角函数-小题限时集训（原卷版和解析版）

专题08 三角函数

一、单选题

1．（2022·云南保山·模拟预测（理））已知角的终边过点，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先由诱导公式确定的值，再利用任意角三角函数的定义确定参数,并确定的值

【详解】

因为，

由已知角的终边过点可得

∵，解得所以

故选：C．

2．（2022·广东高州·二模）把函数的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到的函数是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角函数的图象平移写出的解析式即可.

【详解】

由题设，.

故选：A

3．（2022·江西九江·一模（文））已知，则的值为（       ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

结合诱导公式与二倍角公式即可求出结果.

【详解】

.

故选：A.

4．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则角可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先判定角终边所在象限，再通过角的三角函数值确定角.

【详解】

则

又，则角终边在第二象限

则角可以是

故选：D

5．（2022·安徽淮北·一模（理））已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用三角函数的恒等变换确定点P的坐标，再根据三角函数的定义求得答案.

【详解】

,

,

即，则，

故选：D.

6．（2022·新疆·一模（文））设函数的定义域为R，若存在常数，使对一切实数x均成立，则称为“F函数”.给出下列函数：①；②；③.其中是“F函数”的个数为（       ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【解析】

【分析】

利用新函数定义可得答案.

【详解】

①，，显然不恒成立；

②不成立，∴不恒成立；

③由，且时，

，显然，∴是F函数.

故选：B.

7．（2022·江苏南通·一模）已知，均为锐角，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知条件可得，构造函数，，利用导数可得在上为增函数，从而可得，再由正余弦函数的单调性可得结论

【详解】

，，

令，，，

所以在上为增函数，

∴，

∵，均为锐角，

∴，

∴，

故选：D.

8．（2022·安徽六安·一模（理））已知函数在内恰有3个极值点和4个零点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由第4个正零点小于1，第4个正极值点大于等于1可解.

【详解】

，因为，

所以，

又因为函数在内恰有个极值点和4个零点，

由图像得：解得：，所以实数的取值范围是.

故选：A.

二、多选题

9．（2022·福建漳州·一模）函数的部分图象如图所示，则（       ）

A．的图象的最小正周期为

B．的图象的对称轴方程为

C．的图象的对称中心为

D．的单调递增区间为

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据给定条件求出函数的解析式，再对各选项逐一分析、计算判断作答.

【详解】

观察图象知，，函数的周期为，有，，，

由得：，而，则有，因此，，

对于A，函数的周期，A不正确；

对于B，由得的图象的对称轴：，B不正确；

对于C，由得：，的图象的对称中心为，C正确；

对于D，由得：，

则有的单调递增区间为，D正确.

故选：CD

10．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数，现有如下四个命题：

甲：该函数的最小值为；

乙：该函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π；

丙：该函数的一个零点为；

丁：该函数图像可以由的图像平移得到．

如果有且只有一个假命题，那么下列说法正确的是（       ）

A．乙一定是假命题．

B．φ的值可唯一确定

C．函数f（x）的极大值点为

D．函数f（x）图像可以由图像伸缩变换得到

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据甲乙丙丁四个命题知识上的相互依存关系，以及有且只有一个假命题的限制条件，可以确定命题丁为假命题，再由真命题甲乙丙去推导判断选项ABCD的正误即可.

【详解】

若甲命题正确：该函数的最小值为，则；

若乙命题正确：该函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π，则；

若丙命题正确：该函数的一个零点为，则，

即；

若丁命题正确：该函数图像可以由的图像平移得到.

由，可知，

故命题乙与命题丁矛盾.

由甲乙丙丁有且只有一个假命题可知，二者必一真一假，则命题甲与命题丙均为真命题.

由命题甲为真命题，可知，由命题丙为真命题可知

若命题乙为真命题，则，由，，可得

此时.

若命题丁为真命题，则，由，得

又，则不存在符合条件的.不合题意.

综上，命题丁为假命题，命题甲、乙、丙均为真命题.

选项A：乙一定是假命题．判断错误；

选项B： φ的值可唯一确定. 判断正确；

选项C：函数f（x）的极大值点为.由，可得，即函数f（x）的极大值点为.判断错误；

选项D：函数f（x）图像可以由图像伸缩变换得到.

由可知，把的图像上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的倍，可以得到的图像. 判断正确.

故选：BD

三、填空题

11．（2022·江西九江·一模（理））函数的值域为______．

【答案】

【解析】

【分析】

分和两种情况去绝对值，然后对函数化简，利用正弦函数的性质求解即可

【详解】

解：当，时，

，

而，

∴，此时．

当，时，

，

而，

∴，此时．

∴的值域为．

故答案为：

12．（2022·浙江·模拟预测）实数，满足，则的最大值为___________．

【答案】

【解析】

【分析】

令，，即可用令、表示令、，再利用辅助角公式及正弦函数的有界性计算可得；

【详解】

解：令，，则，，所以

其中

所以当时，

故答案为：

13．（2022·四川广安·一模（理））定义运算“★”：．设函数，给出下列四个结论：①是的最小正周期；②在有2个零点；③在上是单调递增函数；④的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】①②

【解析】

【分析】

①：先化简得到，故由求出最小正周期；②：求出时或；③：整体法求解函数单调区间，进而作出判断；④：根据左加右减求出解析式，作出判断.

【详解】

，故是的最小正周期，①正确；

，，故在或时，即或时，故在有2个零点，②正确；

，，此时在上单调递增，在上单调递减，故③错误；

的图象向右平移个单位长度得到，故④错误.

故选：①②

14．（2022·海南·模拟预测）已知函数的图象如图所示，点M和N分别是最低点和最高点，P是的图象与x轴的一个交点，轴于点Q，O为坐标原点，若且，则A=___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据函数解析式可得函数的最小正周期，进而可得点N、M的坐标，利用坐标表示出、，结合平面向量的数量积得出关于A的方程，解方程即可.

【详解】

由已知，得的最小正周期，

所以，所以，，

则，，

所以，

化简得，解得，又，所以.

故答案为：