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人教B版 (2019)必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用课文配套ppt课件
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这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用课文配套ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了辅助角公式，解析1等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1．半角公式：
(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的?提示:倍角的余弦公式.推导如下:在倍角公式cs 2α=1-2sin2α=2cs2α-1中,以α代替2α,以 代替α,即得:cs α=1-2sin2 =2cs2 -1.所以sin2 = ,cs2 = ,tan2 = .开方可得半角公式.
(2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;②若给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求 所在范围,然后根据 所在范围选用符号.
(3)半角公式对α∈R都成立吗?提示:公式 对α∈R都成立,但公式 要求α≠(2k+1)π(k∈Z).
【思考】2.积化和差、和差化积公式(1)积化和差公式sin αcs β= [sin(α+β)+sin(α-β)],cs αsin β= [sin(α+β)-sin(α-β)],cs αcs β= [cs(α+β)+cs(α-β)],sin αsin β=- [cs(α+β)-cs(α-β)].
【思考】(2)和差化积公式
【思考】 (1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?提示:两角和与差的正弦、余弦公式.(2)和差化积公式是如何推导出来的?提示:如果令x=α+β,y=α-β ,则α= ,β= ,从而可以由积化和差公式得到和差化积公式.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)cs ( )(2)存在α∈R,使得 ( )(3)对于任意α∈R,sin = sin α都不成立.( )(4)若α是第一象限角,则 ( )(5)sin xsin y= [cs(x-y)-cs(x+y)].( )
提示:(1)×.只有当- +2kπ≤ ≤ +2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cs = (2)√.当cs α=- +1时,上式成立,但一般情况下不成立.(3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.(4)√.若α是第一象限角,则 是第一、三象限角,此时tan = 成立.(5)√.积化和差公式.
2. cs πcs π=( ) A. B. C. D. 【解析】选B.由 3. 的值是 . 【解析】原式= 答案:-
类型一 利用半角公式求值(数学运算)【题组训练】 角度1 给角求值 【典例】求值:(1)sin = . (2)tan = . 【思路导引】利用半角公式求解.
【解析】(1) (2) 答案:(1) (2)
角度2 给值求值 【典例】若sin(π-α)=- 且α∈ ,则sin 等于( )A.- B.- C. D. 【思路导引】利用诱导公式与半角公式求解.【解析】选B.由题意知sin α=- ,α∈ ,所以cs α=- .因为 ∈ ,所以
【变式探究】本例条件不变求sin ,tan 的值.【解析】由题意知sin α=- ,α∈ ,所以cs α=- .因为 所以
【解题策略】 利用半角公式求值的思路(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用 其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用 计算.(4)下结论:结合(2)求值.
【题组训练】1.已知 =( )A.- B. C. D.- 【解析】选B.因为cs =2cs2 -1=- ,所以cs =± ,又因为0<α< ,所以cs = .
2.已知sin θ=- ,3π<θ< π,则tan 的值为( )A.3B.-3C. D.- 【解析】选B.由题意,可知3π<θ< 且sin θ=- ,根据三角函数的基本关系式,可得cs θ=- ,所以
【补偿训练】 已知sin α=- 且π<α< π,求sin ,cs ,tan 的值.【解析】因为 所以 所以
类型二 三角函数式的化简(逻辑推理)【典例】已知π<α< ,化简:
【解题策略】化简问题中的“三变” (1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
【跟踪训练】已知α∈(π,2π),则 等于( )A.sin B.cs C.-sin D.-cs 【解析】选D.因为α∈(π,2π),所以 所以
类型三 三角恒等式的证明(逻辑推理)【典例】求证: 【思路导引】方法一:化“切”为“弦”,从左向右证.方法二:左边分子、分母同乘以tan ,结合正切公式和倍角公式求解.
【证明】方法一:用正弦、余弦公式.左边= = sin αcs α= sin 2α=右边,所以原等式成立.方法二:用正切公式.左边= = cs2α·tan α= cs αsin α= sin 2α=右边,所以原等式成立.
【解题策略】三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法:证明的形式一般化繁为简;(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同;(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”;(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
【跟踪训练】求证: 【证明】左边= 所以原等式成立.
备选类型 三角恒等变换与三角函数综合问题(逻辑推理、数学运算)【典例】已知函数f(x)= cs -2sin xcs x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈ 时,f(x)≥- .【思路导引】
【解析】(1)f(x)= cs -2sin xcs x= cs 2x+ sin 2x-sin 2x= sin 2x+ cs 2x=sin ,所以T= =π.(2)令t=2x+ ,因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ ,因为y=sin t在 上单调递增,在 上单调递减,所以f(x)≥sin =- ,得证.
【解题策略】三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略:运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcs ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acs(ωx+φ)+k的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.
【跟踪训练】已知函数f(x)= sin +2sin2 (x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
【解析】(1)因为f(x)= sin +2sin2 所以T= =π.(2)当f(x)取得最大值时,sin =1,有2x- =2kπ+ ,即x=kπ+ (k∈Z),所以所求x的集合为
1.已知cs θ=- (-180°<θ<-90°),则cs =( )A.- B. C.- D. 【解析】选B.因为-180°<θ<-90°,所以-90°< <-45°.又cs θ=- ,所以
2.已知α∈ ,cs α= ,则tan =( )A.3 B.-3 C. D.- 【解析】选D.因为α∈ ,且cs α= ,所以 ∈ ,tan =
3.若cs 22°=a,则sin 11°= ,cs 11°= . 【解析】cs 22°=2cs211°-1=1-2sin211°,所以cs 11°= 答案:
4.化简: = . 【解析】原式= 因为 <θ<2π,所以 <π,所以sin >0,故原式=sin .答案:sin
5.(教材二次开发:练习改编)已知sin 2α= ,α∈ 求cs 2α及cs α的值.【解析】因为 π<α< π,所以 π<2α<3π,所以cs 2α<0,且cs 2α= =- ,因为 π<α< π,所以cs α<0,由cs 2α=2cs2α-1,得cs α=
二十 三角恒等变换的应用(一)【基础通关-水平一】（15分钟 30分）1.若α∈ ,则 等于( )A.cs α-sin α B.cs α+sin αC.-cs α+sin α D.-cs α-sin α
【解析】选B.因为α∈ 所以sin α<0,cs α>0,则 =|cs α|-|sin α|=cs α-(-sin α)=cs α+sin α.
2.设5π<θ<6π,cs =a,那么sin 等于( ) 【解析】选D.若5π<θ<6π,则 则
3.设a= (sin 56°-cs 56°),b=cs 50°cs 128°+cs 40°cs 38°, (cs 80°-2cs250°+1),则a,b,c,d的大小关系为 ( )A.a>b>d>c B.b>a>d>cC.d>a>b>c D.c>a>d>b
【解析】选B.a=sin 56°cs 45°-cs 56°sin 45°=sin(56°-45°)=sin 11°=cs 79°,b=cs 50°cs 128°+cs 40°cs 38°=sin 40°(-sin 38°)+cs 40°cs 38°=cs(40°+38°)=cs 78°,c= =cs 81°,d= (cs 80°-2cs250°+1)= [cs 80°-(2cs250°-1)]= (cs 80°+cs 80°)=cs 80°,所以b>a>d>c.
【补偿训练】 的值为( )A.1 B. C. D.2【解析】选C.
4.(2020·郑州高一检测)若sin 则cs =( ) 【解析】选D.依题意cs =2cs2 -1
5.若sin +2cs =0,则tan = ,tan θ= . 【解析】由sin +2cs =0,得tan =-2,则tan θ= 答案:-2
6.若θ∈ ,sin 2θ= ,则sin θ= . 【解析】由于θ∈ ,则2θ∈ 所以cs 2θ<0,sin θ>0,因为sin 2θ= ,所以又cs 2θ=1-2sin2θ,所以sin θ= 答案:
【能力进阶-水平二】 (30分钟 60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知函数f(x)=cs2 ·cs2 ,则f 等于( )
【解析】选A.由降幂公式,f(x)=cs2 ·cs2
2.(2020·广州高一检测)已知函数f(x)=2cs2x-2sin2x+1,则( )A.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3B.f(x)的最小正周期为2π,最大值为1C.f(x)的最小正周期为π,最大值为3D.f(x)的最小正周期为π,最大值为1【解析】选C.f(x)= =1+cs 2x-1+cs 2x+1=2cs 2x+1,故T= =π,f(x)max=2+1=3.
3.已知450°<α<540°,则 的值是( )A.-sin B.cs C.sin D.-cs
【解析】选A.因为450°<α<540°,所以225°< <270°,所以cs α<0,sin <0,所以原式
4.若cs α=- ,α是第三象限的角,则 =( )A.- B. C.2 D.-2【解析】选A.因为α是第三象限角,cs α=- ,
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020·如皋高一检测)下列选项中,值为 的是( )A.cs 72°cs 36°B.sin sin C. D. cs215°
【解析】选AB.cs 72°cs 36°= 故A满足.
6.已知函数 则有( )A.函数 的图象关于直线x= 对称B.函数 的图象关于点 对称C.函数 的最小正周期为 D.函数 在 内单调递减【解析】选BD. 因为 =-tan x,所以 的图象不是轴对称图形,关于点 对称,周期为π ,在 内单调递减.
【补偿训练】1.(2020·济南高一检测)已知函数f(x)=sin x·sin 的定义域为[m,n](m
2.已知函数f(x)=sin xcs x-cs2x,下列命题正确的是( )A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)在区间 上为增函数C.直线x= 是函数f(x)图象的一条对称轴D.函数f(x)的图象可由函数f(x)= sin 2x的图象向右平移 个单位长度得到
【解析】选BC.f(x)=sin xcs x-cs2x所以f(x)最小正周期T= =π,A错误;当x∈ 时, 此时f(x)=sin 单调递增,所以f(x)在 上单调递增,B正确;
当 是f(x)=sin 的对称轴,所以x= 是f(x)的一条对称轴,C正确;将f(x)= sin 2的图象向右平移 个单位得到y= sin 2 = sin 的图象,D错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)7.化简 = .
【解析】 答案:
8.已知α∈ ,且2sin2α-sin α·cs α-3cs2α=0,则 = .
【解析】因为α∈ ,且2sin2α-sin α·cs α-3cs2α=0则(2sin α-3cs α)·(sin α+cs α)=0,又因为α∈ ,sin α+cs α>0,所以2sin α=3cs α,又sin2α+cs2α=1,所以cs α= ,sin α= ,所以 答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知三点A,B,C的坐标分别为A(cs α,sin α)(α≠ ,k∈Z),B(3,0),C(0,3),若 =-1,求 的值.
【解析】 =(3-cs α,-sin α), =(-cs α,3-sin α),因为 =-1,所以(cs α-3)·cs α+sin α(sin α-3)=-1,整理得:sin α+cs α= ①,
由①平方得1+2sin αcs α= ,所以2sin αcs α=- ,即
10.在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cs α,sin α),b=(-sin β,cs β),c= (1)若|a+b|=|c|,求sin(α-β)的值;(2)设α= ,0<β<π,且a∥(b+c).求β的值.
【解析】(1)因为a=(cs α,sin α),b=(-sin β,cs β),c= ,所以|a|=|b|=|c|=1,且a·b=-cs αsin β+sin αcs β=sin(α-β),因为|a+b|=|c|,所以|a+b|2=|c|2,即a2+2a·b+b2=1,所以1+2sin(α-β)+1=1,即sin(α-β)=- .
(2)因为α= ,所以a= 由题意:b+c= 因为a∥(b+c),所以 所以 sin β- cs β= ,所以sin 又因为0<β<π,所以 所以 即β= .
【创新迁移】1.已知 则sin4θ+cs4θ的值为 . 【解析】因为 = (cs2θ-sin2θ)= cs 2θ= .所以cs 2θ= .故sin4θ+cs4θ= 答案:
2.已知函数f(x)= (1)求f 的值;(2)当x∈ 时,求g(x)= f(x)+sin 2x的最大值和最小值.
知识梳理1．半角公式：
(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的?提示:倍角的余弦公式.推导如下:在倍角公式cs 2α=1-2sin2α=2cs2α-1中,以α代替2α,以 代替α,即得:cs α=1-2sin2 =2cs2 -1.所以sin2 = ,cs2 = ,tan2 = .开方可得半角公式.
(2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;②若给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求 所在范围,然后根据 所在范围选用符号.
(3)半角公式对α∈R都成立吗?提示:公式 对α∈R都成立,但公式 要求α≠(2k+1)π(k∈Z).
【思考】2.积化和差、和差化积公式(1)积化和差公式sin αcs β= [sin(α+β)+sin(α-β)],cs αsin β= [sin(α+β)-sin(α-β)],cs αcs β= [cs(α+β)+cs(α-β)],sin αsin β=- [cs(α+β)-cs(α-β)].
【思考】(2)和差化积公式
【思考】 (1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?提示:两角和与差的正弦、余弦公式.(2)和差化积公式是如何推导出来的?提示:如果令x=α+β,y=α-β ,则α= ,β= ,从而可以由积化和差公式得到和差化积公式.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)cs ( )(2)存在α∈R,使得 ( )(3)对于任意α∈R,sin = sin α都不成立.( )(4)若α是第一象限角,则 ( )(5)sin xsin y= [cs(x-y)-cs(x+y)].( )
提示:(1)×.只有当- +2kπ≤ ≤ +2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cs = (2)√.当cs α=- +1时,上式成立,但一般情况下不成立.(3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.(4)√.若α是第一象限角,则 是第一、三象限角,此时tan = 成立.(5)√.积化和差公式.
2. cs πcs π=( ) A. B. C. D. 【解析】选B.由 3. 的值是 . 【解析】原式= 答案:-
类型一 利用半角公式求值(数学运算)【题组训练】 角度1 给角求值 【典例】求值:(1)sin = . (2)tan = . 【思路导引】利用半角公式求解.
【解析】(1) (2) 答案:(1) (2)
角度2 给值求值 【典例】若sin(π-α)=- 且α∈ ,则sin 等于( )A.- B.- C. D. 【思路导引】利用诱导公式与半角公式求解.【解析】选B.由题意知sin α=- ,α∈ ,所以cs α=- .因为 ∈ ,所以
【变式探究】本例条件不变求sin ,tan 的值.【解析】由题意知sin α=- ,α∈ ,所以cs α=- .因为 所以
【解题策略】 利用半角公式求值的思路(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用 其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用 计算.(4)下结论:结合(2)求值.
【题组训练】1.已知 =( )A.- B. C. D.- 【解析】选B.因为cs =2cs2 -1=- ,所以cs =± ,又因为0<α< ,所以cs = .
2.已知sin θ=- ,3π<θ< π,则tan 的值为( )A.3B.-3C. D.- 【解析】选B.由题意,可知3π<θ< 且sin θ=- ,根据三角函数的基本关系式,可得cs θ=- ,所以
【补偿训练】 已知sin α=- 且π<α< π,求sin ,cs ,tan 的值.【解析】因为 所以 所以
类型二 三角函数式的化简(逻辑推理)【典例】已知π<α< ,化简:
【解题策略】化简问题中的“三变” (1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
【跟踪训练】已知α∈(π,2π),则 等于( )A.sin B.cs C.-sin D.-cs 【解析】选D.因为α∈(π,2π),所以 所以
类型三 三角恒等式的证明(逻辑推理)【典例】求证: 【思路导引】方法一:化“切”为“弦”,从左向右证.方法二:左边分子、分母同乘以tan ,结合正切公式和倍角公式求解.
【证明】方法一:用正弦、余弦公式.左边= = sin αcs α= sin 2α=右边,所以原等式成立.方法二:用正切公式.左边= = cs2α·tan α= cs αsin α= sin 2α=右边,所以原等式成立.
【解题策略】三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法:证明的形式一般化繁为简;(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同;(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”;(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
【跟踪训练】求证: 【证明】左边= 所以原等式成立.
备选类型 三角恒等变换与三角函数综合问题(逻辑推理、数学运算)【典例】已知函数f(x)= cs -2sin xcs x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈ 时,f(x)≥- .【思路导引】
【解析】(1)f(x)= cs -2sin xcs x= cs 2x+ sin 2x-sin 2x= sin 2x+ cs 2x=sin ,所以T= =π.(2)令t=2x+ ,因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ ,因为y=sin t在 上单调递增,在 上单调递减,所以f(x)≥sin =- ,得证.
【解题策略】三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略:运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcs ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acs(ωx+φ)+k的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.
【跟踪训练】已知函数f(x)= sin +2sin2 (x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
【解析】(1)因为f(x)= sin +2sin2 所以T= =π.(2)当f(x)取得最大值时,sin =1,有2x- =2kπ+ ,即x=kπ+ (k∈Z),所以所求x的集合为
1.已知cs θ=- (-180°<θ<-90°),则cs =( )A.- B. C.- D. 【解析】选B.因为-180°<θ<-90°,所以-90°< <-45°.又cs θ=- ,所以
2.已知α∈ ,cs α= ,则tan =( )A.3 B.-3 C. D.- 【解析】选D.因为α∈ ,且cs α= ,所以 ∈ ,tan =
3.若cs 22°=a,则sin 11°= ,cs 11°= . 【解析】cs 22°=2cs211°-1=1-2sin211°,所以cs 11°= 答案:
4.化简: = . 【解析】原式= 因为 <θ<2π,所以 <π,所以sin >0,故原式=sin .答案:sin
5.(教材二次开发:练习改编)已知sin 2α= ,α∈ 求cs 2α及cs α的值.【解析】因为 π<α< π,所以 π<2α<3π,所以cs 2α<0,且cs 2α= =- ,因为 π<α< π,所以cs α<0,由cs 2α=2cs2α-1,得cs α=
二十 三角恒等变换的应用(一)【基础通关-水平一】（15分钟 30分）1.若α∈ ,则 等于( )A.cs α-sin α B.cs α+sin αC.-cs α+sin α D.-cs α-sin α
【解析】选B.因为α∈ 所以sin α<0,cs α>0,则 =|cs α|-|sin α|=cs α-(-sin α)=cs α+sin α.
2.设5π<θ<6π,cs =a,那么sin 等于( ) 【解析】选D.若5π<θ<6π,则 则
3.设a= (sin 56°-cs 56°),b=cs 50°cs 128°+cs 40°cs 38°, (cs 80°-2cs250°+1),则a,b,c,d的大小关系为 ( )A.a>b>d>c B.b>a>d>cC.d>a>b>c D.c>a>d>b
【解析】选B.a=sin 56°cs 45°-cs 56°sin 45°=sin(56°-45°)=sin 11°=cs 79°,b=cs 50°cs 128°+cs 40°cs 38°=sin 40°(-sin 38°)+cs 40°cs 38°=cs(40°+38°)=cs 78°,c= =cs 81°,d= (cs 80°-2cs250°+1)= [cs 80°-(2cs250°-1)]= (cs 80°+cs 80°)=cs 80°,所以b>a>d>c.
【补偿训练】 的值为( )A.1 B. C. D.2【解析】选C.
4.(2020·郑州高一检测)若sin 则cs =( ) 【解析】选D.依题意cs =2cs2 -1
5.若sin +2cs =0,则tan = ,tan θ= . 【解析】由sin +2cs =0,得tan =-2,则tan θ= 答案:-2
6.若θ∈ ,sin 2θ= ,则sin θ= . 【解析】由于θ∈ ,则2θ∈ 所以cs 2θ<0,sin θ>0,因为sin 2θ= ,所以又cs 2θ=1-2sin2θ,所以sin θ= 答案:
【能力进阶-水平二】 (30分钟 60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知函数f(x)=cs2 ·cs2 ,则f 等于( )
【解析】选A.由降幂公式,f(x)=cs2 ·cs2
2.(2020·广州高一检测)已知函数f(x)=2cs2x-2sin2x+1,则( )A.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3B.f(x)的最小正周期为2π,最大值为1C.f(x)的最小正周期为π,最大值为3D.f(x)的最小正周期为π,最大值为1【解析】选C.f(x)= =1+cs 2x-1+cs 2x+1=2cs 2x+1,故T= =π,f(x)max=2+1=3.
3.已知450°<α<540°,则 的值是( )A.-sin B.cs C.sin D.-cs
【解析】选A.因为450°<α<540°,所以225°< <270°,所以cs α<0,sin <0,所以原式
4.若cs α=- ,α是第三象限的角,则 =( )A.- B. C.2 D.-2【解析】选A.因为α是第三象限角,cs α=- ,
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020·如皋高一检测)下列选项中,值为 的是( )A.cs 72°cs 36°B.sin sin C. D. cs215°
【解析】选AB.cs 72°cs 36°= 故A满足.
6.已知函数 则有( )A.函数 的图象关于直线x= 对称B.函数 的图象关于点 对称C.函数 的最小正周期为 D.函数 在 内单调递减【解析】选BD. 因为 =-tan x,所以 的图象不是轴对称图形,关于点 对称,周期为π ,在 内单调递减.
【补偿训练】1.(2020·济南高一检测)已知函数f(x)=sin x·sin 的定义域为[m,n](m
2.已知函数f(x)=sin xcs x-cs2x,下列命题正确的是( )A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)在区间 上为增函数C.直线x= 是函数f(x)图象的一条对称轴D.函数f(x)的图象可由函数f(x)= sin 2x的图象向右平移 个单位长度得到
【解析】选BC.f(x)=sin xcs x-cs2x所以f(x)最小正周期T= =π,A错误;当x∈ 时, 此时f(x)=sin 单调递增,所以f(x)在 上单调递增,B正确;
当 是f(x)=sin 的对称轴,所以x= 是f(x)的一条对称轴,C正确;将f(x)= sin 2的图象向右平移 个单位得到y= sin 2 = sin 的图象,D错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)7.化简 = .
【解析】 答案:
8.已知α∈ ,且2sin2α-sin α·cs α-3cs2α=0,则 = .
【解析】因为α∈ ,且2sin2α-sin α·cs α-3cs2α=0则(2sin α-3cs α)·(sin α+cs α)=0,又因为α∈ ,sin α+cs α>0,所以2sin α=3cs α,又sin2α+cs2α=1,所以cs α= ,sin α= ,所以 答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知三点A,B,C的坐标分别为A(cs α,sin α)(α≠ ,k∈Z),B(3,0),C(0,3),若 =-1,求 的值.
【解析】 =(3-cs α,-sin α), =(-cs α,3-sin α),因为 =-1,所以(cs α-3)·cs α+sin α(sin α-3)=-1,整理得:sin α+cs α= ①,
由①平方得1+2sin αcs α= ,所以2sin αcs α=- ,即
10.在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cs α,sin α),b=(-sin β,cs β),c= (1)若|a+b|=|c|,求sin(α-β)的值;(2)设α= ,0<β<π,且a∥(b+c).求β的值.
【解析】(1)因为a=(cs α,sin α),b=(-sin β,cs β),c= ,所以|a|=|b|=|c|=1,且a·b=-cs αsin β+sin αcs β=sin(α-β),因为|a+b|=|c|,所以|a+b|2=|c|2,即a2+2a·b+b2=1,所以1+2sin(α-β)+1=1,即sin(α-β)=- .
(2)因为α= ,所以a= 由题意:b+c= 因为a∥(b+c),所以 所以 sin β- cs β= ,所以sin 又因为0<β<π,所以 所以 即β= .
【创新迁移】1.已知 则sin4θ+cs4θ的值为 . 【解析】因为 = (cs2θ-sin2θ)= cs 2θ= .所以cs 2θ= .故sin4θ+cs4θ= 答案:
2.已知函数f(x)= (1)求f 的值;(2)当x∈ 时,求g(x)= f(x)+sin 2x的最大值和最小值.
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