初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形学案

菱形

【学习目标】

1. 理解菱形的概念.

2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．

【要点梳理】

要点一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

要点二、菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.

要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.

          （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

要点三、菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.

【典型例题】

类型一、菱形的性质 

1、如图，在菱形中，分别是和上的点，且

（1）求证：

（2）若，求的度数．

举一反三：

【变式】如图，E、F分别是矩形ABCD的边 BC、AD上的点，且BE  DF．

（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；

（2）若四边形 AECF 是菱形，且 CE  10，AB  8，求线段BE的长．

类型二、菱形的判定 

2、如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，，连接．若，求证：四边形是菱形．

举一反三：

【变式】在RtABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）证明四边形ADCF是菱形；

（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．

类型三、菱形中的图形变换

3、 如图，在菱形中，，，为上一动点，为中点．

 （1）求菱形的面积；

（2）求的最小值．

【变式】如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．

（1）求证：判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（2）若，，求四边形的面积．

菱形（专项练习）

一、单选题

1．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ）

A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．两组对角分别相等 D．对角线互相垂直

2．菱形的边长是，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（   ）

A．AB＝CD       B．OA＝OC，OB＝OD     C．AC=BD     D．，AD＝BC

4．如图：矩形的对角线、相较于点，，，若，则四边形的周长为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线若则的长是（  ）

A．            B．          C．              D．

6．若顺次连结四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（     ）

A．菱形 B．平行四边形

C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形

7．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，下列结论不正确的是（  ）

A．AF＝BD，BF∥AD                   B．若AB＝AC，则DF＝AB

C．若∠BAC＝90°，则CF＝AD           D．若AC＝BC，则四边形ACDF为菱形

8．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点的坐标是，点的纵坐标是则点的坐标是（  ）

A．    B．          C．     D．

9．如图，在四边形纸片中，，，将纸片按如图方式折叠2次后，沿虚线剪开，阴影部分展开后得到的四边形是（  ）

A．菱形                  B．矩形     C．正方形        D．无法判断

10．如图，在平面直角坐标系中，点A(﹣1，0)，D(0，)为菱形ABCD的顶点，现固定点A．沿对角线AC方向将菱形的顶点C拉至点处，使得点B，D落在菱形ABCD内部的点，处，若＝30°，则此时点的坐标是（　　）

A．(﹣1，) B．(1﹣，) C．(，) D．(﹣，)

11．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是(       )．

A．1      B．2           C．         D．

12．如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形的边长为4，，则的值是（   ）

A． B．2 C． D．4

13．如图，点，在菱形的对角线上，，，与的延长线交于点．则对于以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ）

A．1个          B．2个           C．3个             D．4个

二、填空题

14．如图，在四边形中，对角线交于点 ，且，若要使四边形 是菱形，则可以添加的条件是__________．

15．如图，O点是矩形ABCD的对角线的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝ ______．

16．已知菱形的边长为4,∠A=60°，则菱形的面积为_________．

17．如图，在菱形ABCD中，，点E是AD的中点，连接OE，则OE=_____________．

18．已知菱形的边长为2，一个内角为，那么该菱形的面积为__________．

19．如图，四边形为菱形，四边形为矩形，，，三点的坐标为，，，则点的坐标为________．

20．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____时，平行四边形CDEB为菱形．

21．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的最小值为________．

22．如图，面积为16的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是边BC的中点，过点E作 于点F，于点G，则四边形EFOG的面积为__．

23．如图，菱形ABCD的边长为4，对角线交于点O，∠ABC=60°，点E、F分别为AB、AO的中点，则EF的长度为________．

24．如图，在中，使OA=OB，按以下步骤作图：①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OM，ON于点A，B；②分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；③连接AC、BC、AB、OC．若，四边形OACB的面积为．则OC的长为________cm．

25．如图，在菱形中，，点P为的中点，分别为线段上的任意一点，则的最小值为______．

三、解答题

26．如图，在菱形中，，，延长到点，使，延长到点，使，连接、、、．

（1）求证：四边形是矩形．

（2）直接写出四边形的面积是______．

27．在中，，是的中点，是的中点.过点作交的延长线于点．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的面积．

28．如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC于点E，F．

（1）如图1，当BE＝DF时，AE与AF的数量关系是　   　；

（2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．