八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形第1课时教案

19.3 矩形、菱形、正方形

1.矩形

第1课时 矩形的性质

【知识与技能】

1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．

2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.

【过程与方法】

经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法.并渗透运动联系、从量变到质变的观点.

【情感态度】

培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神，体会逻辑推理的思维价值.

【教学重点】

矩形的性质.

【教学难点】

矩形的性质的灵活应用.

一、创设情境，导入新课

1.展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？

2.思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）

【教学说明】通过展示图片，让学生体会数学与生活的紧密联系，通过活动，回顾平行四边形的性质，为后面的学习奠定基础.

二、合作探究，探索新知

1.再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义.

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象.

【教学说明】通过动画演示，使学生了解矩形与平行四边形的区别与联系，这里教师可以强调指出矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.

2.【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.

① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？

操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质.

矩形性质1  矩形的四个角都是直角.

矩形性质2  矩形的对角线相等.

【教学说明】通过实验操作，观察猜想得出矩形所特有的性质，并要求学生进行证明，教师要提醒学生注意思维的方向和证明的严密性，最后教师再进行总结.

 3.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．

因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

【教学说明】教师引导学生进行证明，然后进行强调，然后教师可以举一些简单应用加深理解和记忆.

三、示例讲解，掌握新知

例1 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长.

【分析】因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求.

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC与BD相等且互相平分.

∴OA=OB.又∠AOB=60°，

∴△OAB是等边三角形.

∴矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）.

【教学说明】由于矩形的对角线相等，所以分成的四个小三角形是等腰三角形，如果有一个角是60度，那么就是等边三角形，将已知的知识与等边三角形结合起来解决.

例2 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC. 求证：CE＝EF.

【分析】CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形.

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，且AD∥BC.

∴∠1=∠2.

∵DF⊥AE，

∴∠AFD=90°.

∴∠B=∠AFD.又 AD=AE，

∴△ABE≌△DFA（AAS）．

∴AF=BE．

∴AE-AF=BC-BE

∴EF=EC．

此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC.

【教学说明】要充分利用矩形的性质结合三角形全等来解决问题.

四、练习反馈，巩固提高

1.如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为______.

第1题图             第2题图

2.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是______.

3.已知：如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°求：∠BOE的度数.

【答案】1.10       2.4

3.解：∵矩形ABCD，AE平分∠BAD,

∴∠BAE=∠BAD=45°.

∵∠CAE=15°,

∴∠BAC=60°，

∵OA=OB,

∴ΔAOB是等边三角形.

∴AB=OB，∠ABO=60°.

∵∠ABC=90°,

∵AEB=90°－∠BAE=45°,

∴AB=BE，

∴OB=BE，

∴∠OBE=∠ABE－∠ABO=30°.

∴∠BOE=(180°－30°)=75°.

【教学说明】学生独立完成，以加深理解和应用.

五、师生互动，课堂小结

1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).

2.矩形的性质

矩形性质1  矩形的四个角都是直角.

矩形性质2  矩形的对角线相等.

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

【教学说明】对本节课知识进行回顾，加深记忆和理解，教师也要针对学生在解题中出现的问题进行强调.

完成同步练习册中本课时的练习.

本节课，以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生视线集中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生容易把握问题的本质，真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学生对知识之间的理解和把握，形成了和本质相关的认知结构，取得了良好的教学效果.解释“矩形的对角线相等”的理由时，要注意找准利用哪两个三角形全等得出结论.每一个结论的得出，都要求学生经历观察、猜想、验证的过程，提高学生的探究能力，这里要特别注意“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论在解题中有很重要的应用.