北师大版七年级数学下册 曲线型图象表示的变量间关系 教案

初中数学 北师大2011课标版  七年级下册     

第三章 变量之间的关系

3  用图象表示的变量间关系

教材与学情分析

本节内容从生活中学生所熟悉的情境人手，说明图象是表示两个变量之间关系的有效方法，体会图像在表达两变量间变化关系的直观性，感受数学的应用价值，初步感受函数思想，能更好地发展学生有条理地进行思考和表达的能力，为以后顺利过渡到函数学习打下基础。

学生在七年级上学期已经学习了折线统计图，了解折线统计图的特征，并能准确地绘制折线统计图，经过前两节课的学习，学生已经清楚变量的含义，并学会用列表和关系式表示变量之间的关系，会利用表格和关系式两种方法来表示变量之间的关系。

教学目标

1．能够从图象中分析变量之间的关系，明确图象上点所表示的意义，会利用图象找到准确的信息，发展从图象中获得信息的能力。

2．理解用数学的方法描述变量之间的关系，感受数学的价值．

3.经历从图象中分析变量之间的关系的过程，进一步体会变量之间的关系，在具体情境中培养学生对变量之间关系的认识和语言描述的合理性，培养学生从图象中获取信息的广泛性和准确性。

从解决大量实际问题和学生感兴趣的问题中提高学生用数学的意识，体验数学所蕴含的数学美。

    教学重点

       把实际问题转化为数学图像，再根据图像来研究实际问题，使学生获得对图象反映变量之间关系的体验。

教学难点

       从图像中获得一些信息与在现实情景下用语言进行描述之间的等价转化；用图像法来反映两变量之间关系，解决自己身边的一些实际问题，根据图像的特点来研究实际问题。

教学过程

第一环节  问题提出

⑴小丽是学校气象小组的成员，同时也是数学研究爱好者。她发现，在一天内，随着时间的变化，气温也在变化，这两个变量之间存在一定的联系，怎样把它们之间的关系表示出来呢？

使用表格可以吗？使用表达式可以吗？

使用表格的话，时间点太多，表格会很大，使用表达式的话，也很难找到一个准确的表达式来表示它们之间的关系。

怎么办呢？

⑵小丽想到的方法是，用一个数轴来表示时间，把一个I数轴旋转90度，表示温度，就得到了这样的一个图形。

我们可以把相应的时间和温度用这个图形上的一个点来表示，比如：

⑶试想一下，如果我们每分钟统计一下温度，相应的点会怎么样？如果我们每秒统计一次呢？

 这样的点越多，慢慢就组成一条线，这条线我们称之为图象，这条图象就可以表示出“时间”与“温度”之间的关系。

这样我们得到了表示变量之间关系的一种新方法“图象法”

 （设计目的：增加图象的来历，便于学生正确理解图象的意义，也能提高孩子的学习兴趣）

第二环节  读图获信息

⑴

这个图象表示的哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

①上午9时的温度是多少？12时呢？

②这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？

③这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多少时间？

④在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？

⑤图中的A点表示的是什么？B点呢？

⑥你能预测次日凌晨1时的温度吗？说说你的理由.

（通过对层层推进的问题串的形式逐步引导学生获得图象所传达的信息，熟悉图象语言,培养学生自主探索的意识和能力，使学生在探索的过程中形成自己的观点，让学生体会成功的喜悦。）

⑵读图技巧总结

①先要理解两条数轴所表示的实际意义，

     水平方向的数轴(横轴)上的点表示自变量，

     竖直方向的数轴(纵轴)上的点表示因变量。

     确定实际际问题所反映的内容与图象的对应关系

②图象上的每一个点，表示一个对应关系，

     既对应一个自变量的值，又对应一个因变量的值。

③注意观察图象的变化趋势。

第三环节    实战演练

骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．

分析图象，回答下列问题

①一天中，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？

②从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？

③在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？

④你能看出第二天8时骆驼的体温与第一天8时有什么关系吗？其他时刻呢？

⑤A点表示的是什么？还有几时的温度与A点所表示的温度相同？

⑥你还知道那些关于骆驼的趣事？与同伴进行交流。

（通过对骆驼体温变化这一有趣问题的讨论，学生进一步学习根据图象大致分析变量之间的关系．培养学生迁移创新的意识与能力。）

第四环节    我来提问题

伟大的科学家爱因斯坦说过：提出一个问题比解决一个问题更有价值，我们也来做一个科学探究：

海水受日月的引力而产生潮汐现象，早上海水上涨叫潮，黄昏海水上涨叫做汐，合称潮汐。潮汐与人类的生活有密切的联系，

左图是某港口从0时到12时的水深情况。你能根据这个图象，提出自己的问题吗？

请每位同学根据这个图表自己设计一个问题，再在小组内每人充当一次小老师，请其他同学回答．              根据前面的经验，学会设计问题串，提出尽量多的问题，分组讨论，互问互答．              以研究人员的身份对图象进行分析，主动提出问题，培养学生发现问题、分析问题的能力。

第五环节    数学思想

从前面的例子可以看出，图象可以表示出数量之间的关系，我国数学家华罗庚曾说过：

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，我们发现它们是可以相互转化的。这个联系称之为数形结合，是一种重要的数学思想方法，借助图象来阐明数据之间关系，非常直观。

比如：脑电图

地震波：

医生和地质学家就是根据这些数学图象来获取信息，得到科学的秘密！

（渗透数形结合的数学思想，感受数学图象的广泛应用，提高学习数学的兴趣）

第六环节   智慧升级

⑴有甲、乙两个物体，在受热情况下，温度和时间关系如下，你能从这个图象中，得到哪些信息？

学生1：从图中可以看出，甲、乙两个物体在受热的情况下，温度都在上升，不同点是，甲物体在8分钟内温度上升到100度，乙物体在8分钟内上升到了60度。

学生2：甲物体温度上升得比较快，图象表现比较“陡峭”；乙物体温度上升得比较慢，图象表现比较“平缓”。

学生3：我们不仅可以通过图象的“上升”或“下降”来获取信息，还可以根据图象上升的“快慢”来获取信息。

⑵认真观察下面的三个图象，它们有什么共同点？有哪些不同点？

学生4:它们的共同点是，温度都在持续上升，并且都在10分钟内，从0度上升到100度。

学生5：但是它们上升的过程并不一样，A物体上升的速度是先慢后快，B物体上升的速度是先快后慢，C物体是匀速上升。

⑶总结：图象中往往蕴含着大量的信息，只有认真观察，多角度思考，才能得到这些信息，同学们要细心体会。

第七环节  自我挑战

    下面的问题，有一定的挑战性，请各学习小组讨论，每人发表自己的观点，表现优秀的小组，请小组的发言人，到讲台和全班同学共享你们的观点。

用一水管向某容器内持续注水，设单位时间内注入的水量保持不变；在注水过程中，表示容器内水深h与注水时间t的关系有如图所示的A，B，C，D四个图象，它们分别与E，F，G，H四种容器中的其中一种相对应，请你把相对应容器相连。

引导学生进行小结与反思，体会数学在生活的用途，明白生活中处处有数学，建立应用数学的意识，培养学生分析、归纳和总结问题的能力。

第八环节 谈谈你的收获

在学习内容、方式及分析图象的技巧上谈个人的收获，学到了哪些数学思想方法，并再次体会探究数学问题的乐趣．

第九环节  数学的浪漫

   明天就是“母亲节”了，爱好数学的小丽给妈妈写了封这样的信，你看懂了吗？

小丽的妈妈也是数学高手，她马上想到了数学图象，并画了出来（如右图），哇，一个神奇的“爱心”，数学也是如此的浪漫

板书设计：

作业： 课本 72页 习题3.3   1、2

（选作）课外拓展

已知点A是某封闭图形边界上一个定点，动点P从点A出发沿边界顺时针运动一周，点P的运动时间和线段AP的长度之间的关系图象大致如图所示，则该封闭图形可能是

教学反思

1．创造性创设了问题情境，补充了引入数学图象的必要性和图象的组成方法，这样补充后，学生的知识链更加完整。培养了学生的观察，操作，合作交流的能力及学生丰富的想象力。增强了学生学习数学的信心。基础相对较好的学生可以通过丰富的活动展现他们的才能，发挥他们的想象力和创造力，让学生体验数学学习的多样性，从实际课堂效果看，取得了很好的效果。

2．注重了数学思想的渗透，特别学生是对数形结合思想的感知。

3．引用了丰富的生活中实例，课堂充满浓厚的人文气息。