河北省保定市2022届高三一模数学试题（含答案）

这是一份河北省保定市2022届高三一模数学试题（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
保定市2022年高三第一次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（    ）A．   B．   C．   D．2．已知复数，复数是复数的共轭复数，则（    ）A．1    B．    C．2    D．3．已知，，，则，，的大小关系为（    ）A．  B．   C．   D．4．已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量（件）与商品售价（元）的关系为，则当此商品的利润最大时，该商品的售价（元）为（    ）A．5    B．6    C．7    D．85．已知三棱锥，其中平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）A．    B．    C．    D．6．已知函数的图象如图所示，则下面描述不正确的是（    ）A．   B．   C．   D．7．已知双曲线的右焦点为，在右支上存在点，，使得为正方形（为坐标原点），设该双曲线离心率为，则（    ）A．   B．   C．   D．8．已知的图象上存在点，图象上存在点，使得，关于点对称，则实数的取值范围是（    ）A．        B．  C．     D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量，将向量绕原点逆时针旋转90°得到向量，将向量绕原点顺时针旋转135°得到向量，则（    ）A．     B．C．       D．10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且，则下列说法正确的是（    ）A．存在点，使得   B．满足为等腰三角形的点有2个C．若，则  D．的取值范围为11．已知数列的前项和为，且满足，，，则下面说法正确的是（    ）A．数列为等比数列    B．数列为等差数列C．       D．12．下面描述正确的是（    ）A．已知，，且，则B．函数，若，且，则的最小值是C．已知，则的最小值为D．已知，则的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分．13．若函数在处的切线过点，则实数______．14．2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点，现需将10名志愿者分配到这三个运动员服务点处，每处需要至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法一共有______种．15．已知定义在上的函数在处取得最小值，则最小值为______，此时______．16．在如图直四棱柱中，底面为菱形，，，点为棱的中点，若为菱形内一点（不包含边界），满足平面．设直线与直线所成角为，则的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和．18．（本小题满分12分）如图，在等腰梯形中，，，，现将沿折起至，使得．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）已知在中，，的角平分线与相交于点．（1）若，求的长；（2）若，求面积的最小值．20．（本小题满分12分）2021年初某公司研发一种新产品并投入市场，开始销量较少，经推广，销量逐月增加，下表为2021年1月份到7月份，销量（单位：百件）与月份之间的关系．月份1234567销量611213466101196（1）画出散点图，并根据散点图判断与（，均为大于零的常数）哪一个适合作为销量与月份的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，求关于的回归方程，并预测2021年8月份的销量；（3）考虑销量、产品更新及价格逐渐下降等因素，预测从2021年1月份到12月份（的取值依次记作1到12），每百件该产品的利润为元，求2021年几月份该产品的利润最大．参考数据：62.141.54253550.123.47其中，．参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．21．（本小题满分12分）直线交抛物线于，两点，过，作抛物线的两条切线，相交于点，点在直线上．（1）求证：直线恒过定点，并求出点坐标；（2）以为圆心的圆交抛物线于四点，求四边形面积的取值范围．22．（本小题满分12分）已知．（1）存在满足：，，求的值；（2）当时，讨论的零点个数．2022年高三第一次模拟考试数学参考答案题号123456789101112答案DCBACDBCBCDACDABDAC1．D　解析：根据题意得集合，所以集合，，所以，故选D．[命题意图] 考查指数的值域，集合的补集与集合的运算．2．C　解析：根据题意得，故选C．[命题意图] 考查复数的运算，复数的模的灵活应用．3．B　解析：根据题意得，，，所以，故选B．[命题意图] 考查指数与对数的比较大小，利用特殊值为中介比较数的大小．4．A　解析：根据题意可得利润函数，欲求函数的最大值，所以求导可得，所以当时，函数取最大值，故选A．[命题意图] 考查实际问题中的最值问题，以函数模型为背景，利用求导得到最值．5．C　解析：根据题意设底面的外心为，根据余弦定理可得，所以该外接球的半径满足，故选C．[命题意图] 考查三棱锥的外接球问题，考查空间想象能力．6．D　解析：根据题意：可得，，此图象过，所以，所以函数，所以，，故选D．[命题意图] 考查三角函数的图象与性质问题．7．B　解析：根据题意可得，当为正方形时，点的坐标为，代入可得，故选B．[命题意图] 考查利用图象分析和解决双曲线中的离心率问题．8．C　解析：根据题意得函数与函数的图象关于点对称，的图象上存在点，图象上存在点，使得，关于点对称，则方程有解，显然，所以问题转化为有解，设，为增函数，且，所以在上递减，在上递增，且时，，所以，所以实数的取值范围是，故选C．[命题意图] 考查在函数关于中心对称的性质求解函数中参数的取值范围．9．BCD　解析：根据题意可得，，，可得，选项A错误；，选项B正确；，选项C正确；，选项D正确，故选BCD．[命题意图] 考查以向量中的旋转问题为背景的向量运算．10．ACD　解析：根据题意：可得，的最小值为1，所以，，，所以椭圆方程为，当点为该椭圆的上顶点时，此时，所在存在点，使得，所以选项A正确；当点在椭圆的上、下顶点时，满足为等腰三角形，又因为，，∴满足的点有两个，同理满足的点有两个，所以选项B不正确；若，则，所以选项C正确；对于选项D，，分析可得，，所以选项D正确，故选ACD．[命题意图] 考查椭圆中有关焦点的定义与焦点弦、焦点三角形的性质．11．ABD　解析：根据题意得，令或，所以可得：或，所以数列为公比为3的等比数列，故选项A正确；数列为常数列，故选项B正确；，可得选项C错误，选项D正确，故选ABD．[命题意图] 考查数列中三联项的递推关系式中的通项公式的求解问题，辅助数列问题．12．AC　解析：对于选项A，∵，，，∴，∴，当且仅当时取等号，∴，∴A正确；对于选项B：因为，所以，又，所以由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，所以，即，故B不正确；对于选项C，根据题意，已知，则，所以，故C正确；对于选项D，，令，所以，所以，此时无解，所以选项D不正确，故选AC．[命题意图] 考查不等式中的各种问题，灵活运用不等式的知识求解问题．13．6　解析：根据题意得，，又，∴，∴．[命题意图] 考查对数函数的切线问题．14．22050　解析：根据题意得，这10名志愿者分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2，4，4或3，3，4，所以不同的安排方法一共有错误！错误！种．[命题意图] 考查实际问题中分组分配问题．15．　　解析：根据题意：函数，令，所以，当时取得最小值，此时，故．[命题意图] 考查利用三角函数恒等变形与图象问题求解最值．16．　解析：连接，，取线段，中点，，连接，．由于，，所以．又由于，，所以．故平面平面，故点在线段上．因为，所以，故．在中，当时，取得最小值，故的最小值为．[命题意图] 考查立体几何中的线线角的最值问题．17．解：（1）因为，①当时，，（2分）当时，，②①－②可得：，（4分）当时，满足上式，所以．（5分）（2）由（1）得，（7分）所以．（10分）[命题意图] 考查数列中的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和．18．解：（1）在等腰梯形中，过作于，过作于，在中，，，，，∴，∴，（2分）同理，（3分）又因为，，∴，∴，（4分）又，，平面，所以平面，所以．（5分）（2）取的中点为，的中点为，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，（7分）平面的一个法向量为，（8分）设平面的一个法向量为，，（10分）所以，（11分）因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（12分）[命题意图] 考查平面图形中利用翻折得到的立体图形，证明垂直问题与求解二面角的问题．19．解：（1）因为，，利用余弦定理可得：，，（2分）在中，，在中，，（4分）两式相除可得，所以．（5分）（2）根据题意得的面积等于的面积与的面积之和，（6分） 又，，所以，，（7分）∵，当且仅当时取等号，（9分）∴，∴，（10分）所以，即面积的最小值为．（12分）[命题意图] 考查解三角形中正、余弦定理，角平分线问题的解决．20．解：（1）散点图如下图，（2分）根据散点图判断，适合作为销量与月份的回归方程类型．（3分）（2）对两边同时取常用对数得：，设，则，因为，，，所以错误！=错误！=错误！=0.25， （5分）把样本中心点代入，得：，所以，即，所以关于的回归方程为（7分）把代入上式，得，（8分）所以预测2021年8月份的销量为347百件（34700件）．（9分）（3）由题意得（且），（10分）构造函数，所以当或9时，取最大值，（11分）即2021年8月份或9月份利润最大．（12分）[命题意图] 考查实际问题中线性回归问题，作出散点图，求出回归直线，利用函数思想求最值．21． 解： （1）证明：设，，，则，，（1分）直线的方程为：，同理直线的方程为：，（2分）把代入直线，方程得（3分）∴，都满足直线方程，即，（4分）这就是直线的方程，故直线恒过定点．（5分）（2）如图，设圆的半径为，，，，，把代入圆方程整理得，由题意知：此关于的一元二次方程有两个不等实根，所以．（6分），（8分）令，则由得，（9分）令，则，因为，所以的取值范围是，（11分）故的取值范围是．（12分）[命题意图] 考查圆与抛物线的综合问题，求过定点与平面图形面积的取值范围．22．解：（1）时，，原条件等价于错误！∴，令，则，∴为增函数，（2分）由得有唯一解，即，所以，（3分）时，解得：．（4分）综上，或4．（5分）（2）①时，，则，，，，∴为增函数，而，当时，；当时，，∴，∴，故时，零点个数为0．（6分）②时，，由①知仅当时，，故零点个数为1．（7分）③时，，，，∴为增函数，，，∴仅有一解，设为．上，；上，，最小值为，故．又，，故，上，各有一零点．（8分）④时，上，，，∴无零点；上，，，，∴为增函数，，，∴有唯一解，设为，则，又，，故，上，各有一个零点，即有两个零点．（10分）⑤时，由（1）知：上，有唯一零点：；上，由以上讨论知：有两个零点，故有3个零点．（11分）综上可知：时，零点个数为0；时，零点个数为1；时，零点个数为2；时，零点个数为3．（12分）[命题意图] 考查函数与导数的实际应用，利用分类思想求解零点问题．