精品解析：2020年山东省泰安市岱岳区中考数学二模试题（解析版+原卷板）

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2020年山东省泰安市岱岳区中考数学二模试卷一、选择题（每小题4分，满分48分以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的）1. 下列各组数中，相等的是（　　）A. ﹣9和﹣ B. ﹣|﹣9|和﹣（﹣9） C. 9和|﹣9| D. ﹣9和|﹣9|【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的求法，验证每个选择是否符合题意．【详解】A、﹣9≠﹣，故本选项不符合题意；B、﹣|﹣9|＝﹣9，﹣(﹣9)＝9，﹣9≠9，故本选项不符合题意；C、|﹣9|＝9，故本选项符合题意；D、|﹣9|＝9，9≠﹣9，故本选项不符合题意．故选：C【点睛】本题考查了绝对值的求法，一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0．2. 下列计算正确的是（　　）A. （a2b）2＝a2b2 B. a6÷a2＝a3C. （3xy2）2＝6x2y4 D. （﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m5【2题答案】【答案】D【解析】【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．【详解】A、积的乘方等于乘方的积，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；故选D．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．3. 新型冠状病毒的直径约为125纳米（1纳米米），125纳米用科学记数法表示为（    ）米．A.  B.  C.  D. 【3题答案】【答案】D【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：125纳米=125×10-9米=1.25×10-7米．
故选：D．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）A.  B.  C.  D. 【4题答案】【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义直接判断即可得出答案.【详解】解：A. 不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项错误；B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误； C. 既是轴对称图形，也是中心对称图形，此选项正确；D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项错误.故选：C.【点睛】本题考查的知识点是识别轴对称图形与直线对称图形，容易题.选错的原因是没有掌握轴对称图形及中心对称图形的识别.5. 某校一九年级毕业班为了了解学生100米跑的训练情况，对全班学生进行了一次测试，测试结果如条形统计图所示，则测试成绩的中位数和众数分别是（    ）A. 85分，90分 B. 90分，90分C 90分，95分 D. 95分，95分【5题答案】【答案】B【解析】【分析】根据中位数以及众数的概念结合图形即可得出答案.【详解】解：由条形统计图可知，测试成绩90分出现的次数最多，∴众数90分.∵全班学生的人数为（人），∴这组数据的中位数为第20个和第21个测试成绩的平均数.∵第20个和第21个成绩均为90分，∴中位数为90分.故选：B.【点睛】本题考查的知识点是中位数以及众数的概念，属于容易题. 选错的原因是：1.不能从题图中得出有效信息；2.没有熟练掌握中位数、众数的计算方法.6. 如图，直线，于点D，若，则为（    ）A.  B.  C.  D. 【6题答案】【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质可知∠2+∠ABC=180°，再根据∠1=∠DCB及三角形内角和定理可知∠ABC度数，即可求解.【详解】又.故选：B.【点睛】本题主要考查了平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握该两项知识点是解决本题的关键.
错因分析 中等难度题.失分原因是：1.不会运用平行线的性质；2.三角形内角和定理记错.
 7. 关于x的分式方程+=1的解为非负数，则二次函数y=a2﹣12a+39的最小值是（　　）A. 4 B. 3 C. ﹣4 D. ﹣3【7题答案】【答案】A【解析】【分析】根据题意确定a的取值范围，然后根据二次函数的性质即可求得．【详解】解方程+=1，去分母得：，∴x=5﹣a，∵关于x的分式方程+=1的解为非负数，∴x=5﹣a≥0，且5﹣a≠2，解得：a≤5且a≠3，二次函数y=a2﹣12a+39=(a﹣6)2+3，∵，开口向上，∴当a＜6时，y随a的增大而减小，∵a≤5且a≠3，∴当a=5时，二次函数的最小值为y=a2﹣12a+39=4，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质及分式方程的解，运用二次函数的性质求解是解题的关键．8. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ）A.  B.  C.  D. 【8题答案】【答案】C【解析】【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值．【详解】解：连结BP，∵抛物线与轴交于A、两点，当y=0时，，解得，∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4，在直角△COB中，BC=，∵Q是AP上的中点，O是AB的中点，∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP，又∵P在圆C上，且半径为2，∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大，此时BP=BC+CP=5+2=7，OQ=BP=．故选择C．【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况．9. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ）A.  B.  C.  D. 【9题答案】【答案】B【解析】【详解】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；    B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；    C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；    D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．    故选B．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．10. 如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA=OB=OC=2，则这朵三叶花的面积为（    ）A. 3π–3 B. 3π–6C. 6π–3 D. 6π–6【10题答案】【答案】B【解析】【分析】由题意可知, 三叶花的面积等于6个小弓形的面积之和, 根据圆弧是圆周, 叶片两端的弦长为2, 求出圆弧的圆心角为90度, 半径为2, 进而求出弓形的面积, 于是求出三叶花的面积.【详解】由题意可知, 三叶花的面积等于6个小弓形的面积之和,又知圆弧是圆周, 叶片两端的弦长为2,故知圆弧的圆心角为90度,所以小弓形的面积=故三叶花的面积=6()=3-6,故答案为B.【点睛】此图形直接从整体考虑, 难以下手, 可将其适当分割, 放入有关扇形中处理,这也是处理这类问题常用的方法.
错因分析：较难题.选错的原因是：1.不能想到把复杂图形分割成常见的简单图形；2.未能掌握弓形面积的计算方法；3.计算时出错.
 11. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，垂足为G，延长GB至点E，使得，连接OE交BC于点F.若，，则BF的长为（    ）A.  B. 1 C.  D. 2【11题答案】【答案】B【解析】【分析】由，得到，然后进行计算，即可得到答案.【详解】解：在中，，.，，..【点睛】本题考查的是矩形性质，涉及到平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质，是一道基本题．错因分析  中等难度题.失分的原因是：1.没有掌握矩形的性质；2.不会利用平行线分线段成比例列等量关系.12. 将抛物线y＝﹣x2﹣x+2（x≤0）沿y轴对折，得到如图所示的“双峰”图象．若直线y＝x+b与该“双峰”图象有三个交点时，b的值为（　　）A. 2， B. 2 C.  D. 0【12题答案】【答案】A【解析】【分析】根据折叠的性质，得到折叠后y轴右侧抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2（x＞0），将二y＝﹣x2+x+2（x＞0）和y＝x+b联立，得到﹣x2+x+2＝x+b，根据新方程的判别式=0时，直线和右侧抛物线有一个交点，和左侧有两个交点即可判断求解．【详解】将抛物线y＝﹣x2﹣x+2（x≤0）沿y轴对折，得到抛物线为y＝﹣x2+x+2（x＞0），由抛物线y＝﹣x2﹣x+2（x≤0）可知抛物线与y轴的交点为（0，2），把点（0，2）代入y＝x+b求得b＝2，由﹣x2+x+2＝x+b整理得x2+2x+3b﹣6＝0，当△＝4﹣4（3b﹣6）＝0，即b＝时，直线y＝x+b与该“双峰”图象有三个交点，由图象可知若直线y＝x+b与该“双峰”图象有三个交点时，b的值是2和，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，是中考的常考点，本题找到b＝2这种情况比较容易，但是容易漏掉b＝，将直线上下平移，考虑多种情况是本题的关键．二、填空题（只要求填写最后结果．每小题4分，共24分）13.  关于x的不等式组的所有整数解之和为______．【13题答案】【答案】3【解析】【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解，然后求得整数解即可．【详解】解：由①得x＜3；由②得x≥1∴不等式组的解集为1≤x＜3，所有整数解有：1，2，∴1+2=3，故答案为3．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14. 水务人员为考察水情，乘快艇以每秒10米的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶．如图所示，在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达点B处，测得建筑物P在北偏西60°方向上，则建筑物P到航线AB的距离为_____米．【14题答案】【答案】100．【解析】【分析】过P点作PC⊥AB于C，则建筑物P到航线AB的距离即为PC的长度；在Rt△PAC中，＝tan∠PAC＝tan60°，可解得AC＝PC；而在Rt△PBC中，＝tan∠PBC＝tan30°，可解得BC＝PC ；又因为AB＝AC+BC＝PC＝10×40＝400，解即可求得PC的值，即为建筑物P到航线AB的距离【详解】过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC＝60°，∠PBC＝30°，在Rt△PAC中，＝tan∠PAC＝tan60°，∴AC＝PC，在Rt△PBC中，＝tan∠PBC＝tan30°，∴BC＝PC，∵AB＝AC+BC＝PC＝10×40＝400，∴PC＝100（米），故答案为：100．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数在解直角三角形中的应用．作出辅助线PC，构建直角三角形是解答本题的关键所在．15. 已知直线y＝kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将其向上平移m（m＞0）个单位，平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点）．若点（﹣a2﹣2，p），（﹣a2﹣1，q）（其中a，p，q是常数）在反比例函数y＝的图象上，则p与q的大小关系是p_____q．【15题答案】【答案】＞【解析】【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．最后根据反比例函数的性质即可求解．【详解】∵直线y=kx(k≠0)经过点(12,﹣5)∴﹣5＝12k，∴k＝﹣由y＝﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线所对应的函数关系式为y＝﹣x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x＝0时，y＝m；当y＝0时，x＝m，∴A(m,0)，B(0,m)即OA＝m，OB＝m；在Rt△OAB中，AB＝＝＝m，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO＝OD•AB＝OA•OB，∴OD•m＝×m×m，∵m＞0，解得OD＝m由直线与圆的位置关系可知m＜6，解得0＜m＜，∴72﹣5m＞0，∴反比例函数y＝的图象在一三象限，∵﹣a2﹣2＜﹣a2﹣1＜0，∴p＞q故答案为：＞【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键，同时考查了反比例函数的性质，本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了．16. 如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则 的长为     ．【16题答案】【答案】π．【解析】【详解】解：如图连接OE、OF．∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA=60°，∴∠DFO=120°，∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°，的长=．故答案为π．考点：切线的性质；平行四边形的性质；弧长的计算．17. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的点，EF⊥BE，交边CD于点F，联结CE、BF，如果tan∠ABE＝，那么CE：BF＝_____．【17题答案】【答案】4：5【解析】【分析】首先证明B，C，F，E四点共圆，推出∠EBF＝∠ECF，推出△BEF∽△CDE，可得 ＝，再证明∠DEF＝∠ABE，推出tan∠ABE＝tan∠DEF＝＝，设DF＝3k，DE＝4k，可得EF＝5k，由此即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEF+∠BCF＝180°，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠EBF＝∠ECF，∵∠BEF＝∠D＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴＝，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴tan∠ABE＝tan∠DEF＝＝，设DF＝3k，DE＝4k，∴EF＝5k，∴＝＝，故答案为4：5．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3．…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+上，OA1＝1，则点C2020的纵坐标是_____．【18题答案】【答案】22018．【解析】【分析】根据菱形的性质求得菱形的边长，然后分别表示出的坐标找出规律进而求得的坐标，从而可得答案．【详解】解：记直线与轴的交点分别为点，令 令 ∵OA1＝1，四边形OA1B1C1为菱形，∴OC1＝1，∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，设C1（m，m+），∴＝1，∴m＝，m＝﹣1（不合题意舍去），∴C1（，），∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，同理得到C2（2，），∴C3（5，2），∴C4（11，4），C5（23，8），∴C6（47，16）；…，（3×2n﹣2﹣1，2n﹣2），∴点C2020的纵坐标是22018，故答案为22018．【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了等腰三角形的性质，菱形的性质，一次函数的图像与性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列点的坐标，找出规律是解题的关键．三、解答题（要求写出必要的计算过程、证明过程或推理步骤共7小题，满分78分）19. 先化简，在求值：，其中，．【19题答案】【答案】；【解析】【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.【详解】解：化简得=把 ，代入上式=.【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序.20. 某校为了解九年级学生1分钟跳绳的成绩情况（等次：A.200个及以上，B.180~199个，C.160~179个，D.159个及以下），从该校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果制作了如下的统计图表（部分信息未给出）.等次频数频率A50.1Bm0.4C15nD100.2合计 1（1）本次共调查了________名学生，表中________，________；（2）补全频数分布直方图；（3）若等次A中有2名女生，3名男生，从等次A中选取两名同学参加市中学生运动会跳绳项目的比赛，求恰好选取一名男生和一名女生的概率.【20题答案】【答案】（1）50，20，0.3；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据统计图表中的数据得到样本容量，由“频率频数样本容量”计算即可；（2）根据样本容量及频率计算出每等次具体的频数即可；（3）理解本题为“不放回”概率模型，通过列表或者树状图求解概率即可.【详解】（1）共调查了名学生，等次B的频数，等次C的频率；（2）补全频数分布直方图如下图：（3）记等次A中2名女生为女1、女2，3名男生为男1、男2、男3，画树状图如下图：由树状图可知，共有20种等可能的情况，恰好选取一名男生和一名女生的情况有12种，（恰好选取一名男生和一名女生）.【点睛】本题主要考查了样本容量，概率，频率的求法，此部分内容是中考的必考点，难度不大，需要考生熟练掌握.21. 如图，一次函数y＝kx+b，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点，与坐标轴交于C，D两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若CE平分∠OCD，交x轴于点E，求tan∠DCE的值．【21题答案】【答案】（1）y＝﹣2x+8；（2）tan∠DCE＝﹣2．【解析】【分析】（1）由题意将点A、B坐标分别代入反比例函数表达式得出m、n，进而得出点A、B的坐标代入一次函数表达式利用待定系数法进行解答即可；（2）根据题意过点E作EF⊥AB于点F，并设OE＝a＝EF，则DE＝4﹣a，由直线AB的表达式知，tan∠CDO＝2，则sin∠CDO＝，进而利用三角函数进行求值即可．【详解】解：（1）将点A、B的坐标分别代入反比例函数表达式得：m＝＝1，n＝＝2，故点A、B的坐标分别为：（1，6）、（3，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得：，故直线AB的表达式为：y＝﹣2x+8；（2）直线AB的表达式为：y＝﹣2x+8，令x＝0，则y＝8，令y＝0，则x＝4，过点E作EF⊥AB于点F，∵CE平分∠OCD，∴OE＝FE，设OE＝a＝EF，则DE＝4﹣a，由直线AB表达式知，tan∠CDO＝2，则sin∠CDO＝，在Rt△EFD中，sin∠CDO＝＝，解得：a＝，tan∠DCE＝tan∠OCE＝＝＝﹣2．【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、角平分线的性质、解直角三角形等．22. 某商店要运一批货物，租用甲、乙两车运送．若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4800元，若甲、乙两车单独运完这批货物，则乙车所运趟数是甲车的2倍；且乙车每趟运费比甲车少100元．（1）分别求出甲、乙两车每趟运费；（2）若单独租用一辆车运送货物，甲、乙两车还需分别支付每趟40元、20元的车损失费，则单独租用哪一辆车运完此批货物，支出的总费用较少？总费用是多少？（总费用＝运费+损失费）【22题答案】【答案】（1）甲车每趟的运费为250元，乙车每趟的运费为150元；（2）单独租用甲车运完此批货物，支出的总费用较少，总费用是5220元．【解析】【分析】（1）根据题意可知：设乙车每趟的运费为x元，则甲车每趟的运费为（x+100）元，再根据“甲车运费+乙车的运费=总运费”列一元一次方程解答即可；（2）本题需要分两种情况讨论．先设单独租用甲车需y趟才能运完，则单独租用乙车需要2y趟才能运完，依题意列分式方程+＝1，求解得y＝18是原方程的解，且符合题意，可得甲车需要18趟运完，而乙车需要36趟运完，则①单独租用甲车所需总费用为（250+40）×18＝5220（元）；②单独租用乙车所需总费用为（150+20）×36＝6120（元）；对总费用进行比较即可得出答案．【详解】（1）设乙车每趟的运费为x元，则甲车每趟的运费为（x+100）元，依题意，得：12x+12（x+100）＝4800，解得：x＝150，∴x+100＝250．答：甲车每趟的运费为250元，乙车每趟的运费为150元．（2）设单独租用甲车需y趟才能运完，则单独租用乙车需要2y趟才能运完，依题意，得：+＝1，解得：y＝18，经检验，y＝18是原方程的解，且符合题意，∴2y＝36．单独租用甲车所需总费用为（250+40）×18＝5220（元），单独租用乙车所需总费用为（150+20）×36＝6120（元）．∵5220＜6120，∴单独租用甲车运完此批货物，支出的总费用较少，总费用是5220元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程及分式方程的应用；理清题中的数量关系及等量关系是解答本题的关键所在．23. 已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，（1）的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，写出成立的式子并证明．【23题答案】【答案】（1）见解析；（2）（1）的结论不成立，成立的结论是BC＝BD﹣BE．证明见解析．【解析】【分析】（1）根据SAS证明△DAB≌△EAC得出BD＝CE，根据等量代换即可求解；
（2）根据SAS证明△DAB≌△EAC得出BD＝CE，因为BC＝CE﹣BE，所以BC＝BD﹣BE．【详解】（1）证明：∵∠BAC＝DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BE+CE＝BD+BE；（2）解：（1）的结论不成立，成立的结论是BC＝BD﹣BE．证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠EAB，即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE．【点睛】本题考察了三角形全等的判定方法，根据题意，依据等量代换，正确判断出一组对角对应相等是本题的关键，三角形全等的判定方法是中考的重要考点，根据题意选择正确的判定条件是解决本类问题的关键．24. 已知矩形ABCD和矩形CEFG中，AB＝6，BC＝8，CE＝4，EF＝3．（1）当点E在CD上时，如图1，求的值；（2）当矩形CEFG绕点C旋转至图2时，求的值；（3）当矩形CEFG绕点C旋转至A，E，F三点共线时，直接写出BE的长．【24题答案】【答案】（1）＝；（2）；（3）BE＝或BE＝．【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别计算AF和BE的长可解答；
（2）如图2，连接AC，证明△CEF∽△CBA，得，再证明△ACF∽△BCE，可解答；
（3）当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，存在两种情况：连接AC，CF，先计算AF的长，证明△ACF∽△BCE，列比例式可得BE的长【详解】解：（1）如图1，过F作FH⊥AD，交AD的延长线于H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∵∠H＝∠EDH＝∠DEF＝90°，∴四边形DEFH是矩形，∴DH＝EF＝3，∴AH＝8+3＝11，∵CE＝4，CD＝6，∴FH＝DE＝6﹣4＝2，Rt△AHF中，由勾股定理得：AF＝＝＝5，Rt△BEC中，由勾股定理得：BE＝＝＝4，∴＝＝；（2）如图2，连接AC，CF，∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4，∴，，∴，∵∠CEF＝∠ABC＝90°，∴△CEF∽△CBA，∴，∠ECF＝∠ACB，∴＝＝，∴∠ACF＝∠BCE，∴△ACF∽△BCE，∴；（3）当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，存在两种情况：①如图3，连接AC，CF，Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝10，Rt△CEF中，CE＝4，EF＝3，∴CF＝5，∴，，∴，∵∠FEC＝∠ABC，∴△ABC∽△FEC，∴∠ACB＝∠ECF，∴∠BCE＝∠ACF，∵＝，∴△ACF∽△BCE，∴，Rt△AEC中，AE＝＝＝2，∴AF＝AE+EF＝2+3，∴BE＝AF＝＝；②如图4，连接AC，CF，同理得：△AFC∽△BEC，∴，AF＝AE﹣EF＝2﹣3，∴BE＝AF＝，综上，BE＝或BE＝．【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解题的关键．25. 如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．点D是AC上方抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，，的面积分别为S1，S2，求的最大值；（3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得中的某个角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．【25题答案】【答案】（1）；（2）；（3）存在，点D的横坐标为或．【解析】【分析】（1）由题意先根据直线的解析式求出点A、C的坐标，再利用待定系数法即可得；（2）由题意先根据抛物线的解析式求出点B的坐标，再根据三角形的面积公式可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，设，从而可得求出关于a的等式，最后利用二次函数的性质求最值即可得；（3）根据题意先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据直角三角形的性质可得，然后分和两种情况，分别根据正切三角函数的定义列出等式求解即可得．【详解】解：（1）对于，当时，，解得，即，当时，，即，∵抛物线经过A、C两点，∴，解得，则抛物线的函数表达式为；（2）对于，当时，，解得，则，的边DE上的高等于的边BE上的高，，如图1，过D作轴交AC于点M，过B作轴交AC于点N，∴，∴，∴，，设，则，，∵，∴，即，，∴，点D是AC上方抛物线上一点，，则由二次函数的性质可知，在内，当时，取最大值，最大值为；（3）∵，∴，∴，∴是以为直角的直角三角形，，如图2，取AB的中点P，∴，即，∴，∴，，，，∴，如图2，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，，，设，则，，，由题意，分以下两种情况：①当时，，，，∴，在中，，，解得，即点D的横坐标为；②当时，∴，在中，，，设，则，∴，在中，，，∴，在和中，，，，即，解得，，，，解得，即点D的横坐标为，综上，点D的横坐标为或．【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，根据题意正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．