精品解析：2021年山东省泰安市宁阳县中考数学二模试题（解析版+原卷板）

2021年山东省泰安市宁阳县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的请把正确的选项选出来每小题选对得4分，选错不选或选出的答案超过一个均记零分）

1. 的相反数是（   ）

A.  B.  C. 9 D.

【答案】C

【解析】

【分析】先利用零指数幂的运算法则求出，再计算出的结果，最后用相反数的性质求解．

【详解】根据零指数幂算出这个数，再求它的相反数即可．

解：原式

的相反数是9，

故选：．

【点睛】本题考查了零指数幂和相反数的性质，有理数减法的运算法则，理解它们的知识是解答关键．

2. 下列运算中，正确的是（　　）

A. a2•a3=a5 B. 2a﹣a=2 C. （a+b）2=a2+b2 D. 2a+3b=5ab

【答案】A

【解析】

【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解即可．

【详解】解：A、a2•a3=a5，故A选项正确；

B、2a﹣a=a，故B选项错误；

C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故C选项错误；

D、2a与3b不是同类项，不能合并，故D选项错误，

故选A．

【点睛】本题考查了整式的运算，涉及到合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.

3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为三棱柱．

【详解】解：A的俯视图是圆，故不符合题意；

B的俯视图是正方形，负不符合题意；

C的主视图是两个矩形，俯视图是三角形，左视图是矩形，故符合题意；

D的左视图是三角形，故不符合题意；

故选C．

4. 2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．

【详解】解：．

故选：．

【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，确定与的值是解题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

5. 某学校女子排球队12名队员的年龄分布如图所示，则这12名队员的年龄的众数、平均数分别是（   ）

A. 15岁，15岁 B. 15岁，14岁 C. 14岁，14岁 D. 14岁，15岁

【答案】B

【解析】

【分析】众数反映的是一组数据的集中趋势，一组数据中出现次数最多的数就是这组数据的众数；平均数反映的是一组数据的“平均水平”；依此即可求解．

【详解】解：在12名队员的年龄这组数据中，15岁出现了5次，次数最多，故众数是15岁；

这组数据的平均数为（岁．

故选：B．

【点睛】本题考查了众数和平均数的求法，理解和掌握众数和平均数的求法是解决本题的关键．

6. 如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（   ）

A.  B.  C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】试题分析：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x，

∵D是BC的中点，

∴BD=3，

Rt△BDN中，x2+32=（9－x）2，

解得x=4．

故线段BN的长为4．

故选C．

考点：翻折变换（折叠问题）．

7. 如图，⊙O是△ABC外接圆，已知∠ACB＝60°，则∠ABO的大小为（　　）

A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠AOB＝120°，再根据三角形内角和定理可得答案．

【详解】∵∠ACB＝60°，

∴∠AOB＝120°，

∵AO＝BO，

∴∠ABO＝（180°﹣120°）÷2＝30°，

故选A．

【点睛】本题考查了圆周角定理，解题关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

8. 将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CED＝46°，那么∠BAF的度数为（　　）

A. 48° B. 16° C. 14° D. 32°

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线的性质求出∠EAF＝46°，再用角的和差求∠BAF的度数即可．

【详解】解：∵DEAF，

∴∠CED＝∠EAF＝46°，

∵∠BAC＝90°﹣30°＝60°，

∴∠BAF＝∠BAC﹣∠EAF＝60°﹣46°＝14°，

故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质求角．

9. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（　　）

A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0

【答案】C

【解析】

【分析】方程组中的两个方程相减得出x-y=3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．

【详解】解：，

①-②得：x-y=3m+2，

∵关于x，y的方程组的解满足x-y＞-，

∴3m+2＞-，

解得：m＞，

∴m的最小整数解为-1，
故选C．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．

10. 直线与抛物线在同一坐标系中大致图象可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中b和c的正负情况和二次函数图象中a、b、c的正负情况，注意a＞0，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意．

【详解】解：选项A中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，b＞0，c＞0，故选项A不符合题意；

选项B中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故选项B符合题意；

选项C中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＜0，故选项C不符合题意；

选项D中，由一次函数图象可知b＞0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故选项D不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

11. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③a＞；④若方程ax2+bx+c＝0两个根x1和x2，则3＜|x1﹣x2|＜4，其中正确的结论有（　　）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

【答案】A

【解析】

【分析】①根据对称轴的位置可判断出ab的符号，然后根据函数和y轴的交点坐标可判断出c的正负，进而可判断出abc的正负；

②根据二次函数的对称性可得当x=3时，即可判断函数值y的正负；

③首先由对称轴公式得出a与b的关系，然后根据当x=1时函数值y为负求解即可；

④根据二次函数与x轴的交点坐标的取值范围求解即可．

【详解】①抛物线对称轴在y轴右侧，则a，b异号，而c＞0，则abc＜0，故结论正确；

②由图象可知x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故结论正确；

③∵＝2，

∴b＝﹣4a，

∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，

∴﹣3a+c＜0，

∴a＞，故结论正确；

④若方程ax2+bx+c＝0两个根x1和x2，由图象可知，0＜x1＜1，3＜x2＜4，

∴则2＜|x1﹣x2|＜4，故结论错误；

故选：A．

【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．

12. 如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】作点E关于DC的对称点E，设AB的中点为点O，连接OE，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE＋PM的最小值为OE的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．

【详解】解答：解：作点E关于DC的对称点E，设AB的中点为点O，连接OE，交DC于点P，连接PE，如图：

∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AD＝×2＝1，
∵点E与点E关于DC对称，
∴DE＝DE＝1，PE＝PE，
∴AE＝AD＋DE＝2＋1＝3，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝，
∴线段PE＋PM的最小值为：
PE＋PM
＝PE＋PM
＝ME
＝OE−OM
＝−1．
故选：A．

【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题满分18分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

13. 把多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式的结果是_____．

【答案】

【解析】

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【详解】a3﹣6a2b+9ab2

＝a（a2﹣6ab+9b2）

＝a（a﹣3b）2

故答案：．

【点睛】本题考查了因式分解的方法，提公因式法和公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解完全。

14. 在直角坐标系中等腰直角三角形在如图所示的位置，点的横坐标为2，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，则点的坐标为 __．

【答案】

【解析】

【分析】过点A作于C，过点作于，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据旋转的性质可得，，然后写出点的坐标即可．

【详解】解：如图，过点作于，过点作于，

是等腰直角三角形，点的横坐标为2，

，

△是绕点逆时针旋转得到，，

，，

点的坐标为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了坐标与图形变化----旋转，主要利用了等腰直角三角形的性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质．

15. 如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆的高度，他们在点测得旗杆顶部的仰角为，再沿着坡度为的楼梯向下走了3.5米到达处，再继续向旗杆方向走了15米到达处在处测得旗杆顶部的仰角为，已知旗杆所在平台的高度为3.5米，则旗杆的高度为 __（结果精确到0.1，参考数据：，．

【答案】18.3米

【解析】

【分析】过作于，过作于，求出米，米，再由三角函数定义求出，设米，则米，米，然后由锐角三角函数定义得，得出方程，解得，进而得出答案．

【详解】解：过作于，过作于，如图所示：

则四边形是矩形，

则，，

楼梯的坡度为，，

，

米，

（米，（米，

在中，，，

，

设米，则米，

（米，

（米，

（米，

在中，，，

，

，

解得：，

（米，

（米，

即旗杆的高度约为18.3米；

故答案为：18.3米．

【点睛】本题查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题．解决本题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．

16. 如图，内接于，过点作直线，使，若是的中点，连接并延长交直线于点，，，则的半径是 __．

【答案】15或20##20或15

【解析】

【分析】延长交于点，连接，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，由勾股定理可得出答案．

【详解】解：延长交于点，连接，

为直径，

，

，

四边形为圆内接四边形，

，

，，

，

，

，

，

为的中点，

，，

，

，

，

，

，

，

设，则，

，

，，

或9，

当时，，

当时，，

的半径是15或20．

故答案为：15或20．

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．

17. 如图，是半圆上一点，是直径，将弧沿翻折交于点，再将弧沿翻折交于点，若是弧的中点，，则阴影部分面积为__．

【答案】##

【解析】

【分析】首先添加辅助线（见详解），利用圆周角定理证明线段，设，则，构建方程求出，再通过解直角三角形求出，即可解决问题．

【详解】解：如图，连接，，，过点作于，过点作于．

，

，

，

，，

，，

是的中点，

，

，

，

设，则，

，

是直径，

，

，

，

，

，

，，

，

在上取一点，使得，连接，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

弓形的面积弓形的面积，

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰直角三角形判定和性质、解直角三角形、扇形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用特殊角解决问题是解答本题的关键．

18. 如图，点的坐标为，点的坐标为，将绕点第一次顺时针旋转得到△，将△绕点第二次顺时针旋转得到△，将△绕点第三次顺时针旋转得到△，，如此进行下去，则点的坐标为__．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．

【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，是直角三角形，

，，

将绕点第一次顺时针旋转得到△，此时为，

将△绕点第二次顺时针旋转得到△，得到为，

再将△绕点第三次顺时针旋转得到△，得到，，依此规律，

每4次循环一周，，，，，

，

点，即．

故答案为．

【点睛】此题主要考查了坐标与图形旋转，得出点坐标变化规律是解题关键．

三、解答题（本大题共7小题，满分84分解答应写出必萋的文字说明、证明过程或推演步骤）

19. 先化简，再求代数式的值．其中a＝2sin60°﹣3tan45°．

【答案】

【解析】

【分析】根据分式的化简，首先将分式化简为最简形式，再利用已知a＝2sin60°﹣3tan45°计算a的值，将其带入即可求出．

【详解】解：÷（a﹣2﹣）

＝÷（﹣）

＝÷

＝×

＝．

当a＝2sin60°﹣3tan45°＝2×﹣3×1＝﹣3时，

原式＝＝＝．

【点睛】本题主要考查分式的化简，特殊三角函数值得计算，此题较简单，但要细心计算．

20. 央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注.我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图.请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：

图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”.

（1）被调查的总人数是_____________人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为_______.

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有__________人；

（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率.

【答案】（1）50，216°；（2）补图见解析；（3）180；（4）

【解析】

【详解】分析：（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C部分人数所占比例可得；

（2）总人数减去其他类别人数求得B的人数，据此即可补全条形图；

（3）用总人数乘以样本中A类别人数所占百分比可得；

（4）用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．

详解：（1）被调查的总人数为5÷10%=50人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×=216°，

（2）B类别人数为50-（5+30+5）=10人，

补全图形如下：

（3）估计该校学生中A类有1800×10%=180人;

（4）列表如下：

所有等可能的结果为20种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，

∴被抽到的两个学生性别相同的概率为．

点睛：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

21. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点是直线上一点，直线交x轴于点C，直线与x轴交点，与y轴交于点B，直线、相交于点Q．

（1）________，的解析式为________，点Q坐标为________；

（2）连接OP、OQ，直接写出的面积________；

（3）在x轴上找一点M，使，则点M的坐标为________．

【答案】（1）-2；；（4，4）；（2）12；（3）（2，0）或（-10，0）．

【解析】

【分析】（1）把点代入直线中即可求出m的值，把点代入中求出b即可，把和联立组成方程组求解即可；

（2）分别过点p，Q作x轴的垂线，从而分别先求出三角形OPC的面积和△OCQ的面积，再把它们相加即可；

（3）分两种情况进行讨论即可．

【详解】解：（1）∵点是直线上一点，

∴．

∵直线与x轴交点，

∴-8+b=0

解得：b=8．

∴的解析式为．

∵

解得：

∴点Q坐标为（4，4）．

故答案为：-2；；（4，4）．

（2）令，则

解得：x=-4．

∴OC=4．

如图，过点P作PE⊥AC于点E，过点Q作QF⊥AC于F，

∵点，点Q坐标为（4，4），

∴PE=2，QF=4．

的面积=的面积+的面积

==12．

故答案为：12．

（3）设点M的坐标为（a，0），

由（2）可知OC=4，

∴点C的坐标为（-4，0），

∴MC=

令x=0，则，

∴OB=8．

∵

∴

解得：a=2或-10．

∴点M的坐标为（2，0）或（-10，0）．

故答案为：（2，0）或（-10，0）．

【点睛】本题考查了一次函数的综合，掌握相关知识是解题的关键．

22. 仙桃是遂宁市某地特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．

（1）第一批仙桃每件进价是多少元？

（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价）

【答案】（1）进价为180元；（2）至少打6折．

【解析】

【分析】（1）根据题意，列出等式，解等式，再验证即可得到答案；

（2）设剩余的仙桃每件售价打y折，由题意得到不等式，再解不等式，即可得到答案.

【详解】解：（1）设第一批仙桃每件进价x元，则，

解得．

经检验，是原方程的根．

答：第一批仙桃每件进价为180元；

（2）设剩余的仙桃每件售价打y折．

则：，

解得．

答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．

【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握分式方程的应用和一元一次不等式的应用.

23. 在四边形中，，，垂足为．

（1）如图1，若，求证：；

（2）如图2，过点作，分别与，交于点，，点在边上，连接并延长，交于点，过作于，，且．

①证明；

②若，探究与的数量关系．

【答案】（1）见解析    （2）①见解析；②，理由见解析

【解析】

【分析】（1）证，即可得出结论；

（2）①过点作交延长线于，先由平行线的性质得，，，再证，可得结论；②先证是等腰直角三角形，得，再证，得，则，然后证，得，，进而得出结论．

【小问1详解】

（1）证明：，，

平分，

，

在和中，

，

，

；

【小问2详解】

（2）①证明：过点作交延长线于，如图2所示：

，

，

，

，

，

，，

是的外角，

，

，

，

；

②解：，理由如下：

由①知：，

在中，，，

，

，

，

，

，

，且，

，

是等腰直角三角形，

，

在中，，

，

，

，

，

，

又，，

，

，

，

，

又，，

，

，，

，

．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识点，综合性较强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

24. 如图，抛物线经过点B（3，0），C（0，-2），直线L：交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A重合）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）当点P在直线L下方时，过点P作PM∥x轴交L于点M，PN∥y轴交L于点N，求PM+PN的最大值．

（3）设F为直线L上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；

（3）能，

【解析】

【分析】（1）把B（3，0），C（0，-2）代入解方程组即可得到结论；

（2）设，

得到，，根据二次函数的性质即可得到结论；

（3）求得，得到，设，①以CE为边，根据CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到，设，则，列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．

【详解】（1）把B（3，0），C（0，-2）代入得，

，

∴，

∴抛物线的解析式为：；

（2）设，

∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，

∴，，

∴

，

∴当时，PM+PN的最大值是；

（3）能，

理由：∵交y轴于点E，

∴，

∴，

设，

若以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形，

①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，

∴，

∴或

∴m1=1，m2=0（舍去），，

；

以CE为对角线，连接PF交CE于G，

∴CG=GE，PG=FG，

∴，

设，则，

∴，

∴m=1，m=0（舍去），

∴，

综上所述，

，

以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形．

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．

25. (1)阅读理解

利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，PB＝，PC＝2．求∠BPC的度数．

为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为_____；在△PAP′中，易证∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度数为_____，综上可得∠BPC的度数为_____；

(2)类比迁移

如图2，点P是等腰Rt△ABC内的一点，∠ACB＝90°，PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠APC的度数；

(3)拓展应用

如图3，在四边形ABCD中，BC＝3，CD＝5，AB＝AC＝AD．∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．

【答案】（1）2；30°；90°；（2）∠APC=90°；（3）BD=．

【解析】

【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P是等边三角形，由等边三角形的性质知∠CP′P=60°，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，继而可得答案．

（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是直角三角形，所以∠APC=90°；

（3）如图3，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，根据勾股定理求CG的长，就可以得BD的长．

【详解】解：（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）．

由旋转的性质知△CP′P是等边三角形；

∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，

在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+（）2=4=PP′2；

∴△AP′P是直角三角形；

∴∠P′AP=90°．

∵PA=PC，

∴∠AP′P=30°；

∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．

故答案为2；30°；90°；

（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′．

由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；

∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=，PB=AP'=，

在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=（）2+（）2=2=AP2；

∴△AP′P是直角三角形；

∴∠AP′P=90°．

∴∠APP'=45°

∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°

（3）如图3，

∵AB=AC，

将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，

∵∠BAD=∠CAG，

∴∠BAC=∠DAG，

∵AB=AC，AD=AG，

∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，

∴△ABC∽△ADG，

∵AD=2AB，

∴DG=2BC=6，

过A作AE⊥BC于E，

∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，

∴∠ADG+∠ADC=90°，

∴∠GDC=90°，

∴CG=，

∴BD=CG=．

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质和旋转的性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．