十二年高考真题分类汇编（2010—2021） 数学 专题03 函数 Word版（含解析）

十二年高考真题分类汇编（2010—2021）数学

专题03函数

一．选择题：

1.(2021•全国1•文T9理T4)设函数，则下列函数中为奇函数的是(   )

A. B. C. D.

答案：B

解析：本题考查函数的性质.由，得，，所以，显然不是奇函数；是奇函数；显然不是奇函数；，显然不是奇函数.

2.(2021•全国1•理T12)设，，，则(   )

A. B. C. D.

答案：B

解析：本题考查代数式的大小比较、函数的图象与性质、导函数及其应用.由于，，，则有，可以排除选项A，D；设函数，则有，求导可得，当时，，则，故函数在上单调递增，所以，所以，可排除选项C.综上所述，.

3．(2020•全国1•文T8)设，则

A．  B．  C．  D．

答案：B

解析：解法一 因为，所以，则有，所以，故选B.

解法二 因为，所以，所以，所以，故选B.

解法三 因为，所以，所以，两边同时平方得，所以，故选B.

解法四 因为，所以，所以，故选B.

解法五 令，两边同时取对数得，即，因为，所以，所以，所以，即，故选B.

解法六 令，所以，即.由，得，所以，所以，，即，故选B.

4.(2020•全国1•理T12)若，则(   )

A. B. C. D.

答案：B

解析：解法一 令，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增.又，所以，所以.故选B.

解法二 （取特值法）由，取，得，令，则在上单调递增，且，，所以，在上存在唯一的零点，所以，故，都不成立，排除A，D；取，得，令，则在上单调递增，且，，所以，在上存在唯一的零点，所以，故不成立，排除C.故选B.

5.(2019•天津•理T8)已知a∈R,设函数f(x)=若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为(　　)

A.[0,1]    B.[0,2] C.[0,e]     D.[1,e]

【答案】C

【解析】(1)当a≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a2-2a2+2a≥0.a2-2a≤0.∴0≤a≤2.

而f(x)=x-aln x,f'(x)=1->0

此时要使f(x)=x-aln x在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立.

可知0≤a≤1.

(2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a≥0,显然成立.

此时f'(x)=,当x∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增.

需f(a)=a-aln a≥0,ln a≤1,a≤e,可知1<a≤e.

由(1)(2)可知,a∈[0,e],故选C.

6.(2019•天津•文T8)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为(　　)

A. B.

C.∪{1} D.∪{1}

【答案】D

【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-+a,得a=.

当直线过点B(1,2)时,有2=-+a,a=.

故当≤a≤时,有两个相异点.

当x>1时,f'(x0)=-=-,x0=2.

此时切点为2,,此时a=1.故选D.

7.(2019•浙江•T9)设a,b∈R,函数f(x)=若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,

则(　　)

A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0

C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0

【答案】C

【解析】当x<0时,由x=ax+b,得x=,最多一个零点取决于x=与0的大小,所以关键研究当x≥0时,方程x3-(a+1)x2+ax=ax+b的解的个数,令b=x3-(a+1)x2=x2x-(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示,

可以发现分类讨论的依据是(a+1)与0的大小关系.

①若(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b最多只能有一个交点,不符合题意.

②若(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意.

③若(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b可以有两个交点,且此时要求x=<0,故-1<a<1,b<0,选C.

8.(2019•北京•文T3)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)

A.y= B.y=2-x

C.y=lox D.y=

【答案】A

【解析】函数y=2-x,y=lox,y=在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=在区间(0,+∞)上单调递增,故选A.

9.(2019•全国1•理T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:

①f(x)是偶函数　②f(x)在区间内单调递增

③f(x)在[-π,π]有4个零点　④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是(　　)

A.①②④ B.②④ 

C.①④             D.①③

【答案】C

【解析】因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确;

当<x<π时,f(x)=2sin x,它在区间内单调递减,故②错误;

当0≤x≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点0和π;当-π≤x≤0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;

当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sin x;当x∈(2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确;

综上可知①④正确,故选C.

10.(2019•全国3•理T11文T12)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则(　　)

A.f>f()>f()    B.f>f()>f()

C.f()>f()>fD.f()>f()>f

【答案】C

【解析】∵f(x)是R上的偶函数,

∴f=f(-log34)=f(log34).

又y=2x在R上单调递增,

∴log34>1=20>.

又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,

∴f(log34)<f()<f(),

∴f()>f()>f.故选C.

11.(2019•全国1•理T3文T3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　　)

A.a<b<c B.a<c<b

C.c<a<b D.b<c<a

【答案】B

【解析】因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,

又0<c=0.20.3<0.20<1,

所以a<c<b.故选B.

12.(2019•天津•理T6)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<c<b B.a<b<c

C.b<c<a D.c<a<b

【答案】A

【解析】∵a=log52<log5,

b=log0.50.2>log0.50.5=1,

c=0.50.2=）0.2>1,∴b>c>a.故选A.

13.(2019•天津•文T5)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.c<b<a B.a<b<c

C.b<c<a D.c<a<b

命题点比较大小,指、对数函数的单调性.

解题思路利用指、对数函数的单调性比较.

【答案】A

【解析】a=log27>log24=2.

b=log38<log39<2,且b>1.

又c=0.30.2<1,故c<b<a,故选A.

14.(2019•全国1•T5)函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为(　　)

【答案】D

【解析】由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除A.

又f>1,f(π)=>0,排除B,C.故选D.

15.(2019•全国3•理T7)函数y=在[-6,6]的图像大致为(　　)

【答案】B

【解析】设y=f(x)=,

则f(-x)==-=-f(x),

故f(x)是奇函数,图像关于原点对称,排除选项C.

f(4)=>0,排除选项D.

f(6)=≈7,排除选项A.

故选B.

16.(2019•浙江•T6)在同一直角坐标系中,函数y=,y=logax+(a>0,且a≠1)的图象可能是 (　　)

【答案】D

【解析】当0<a<1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=loga（x+）的图象过定点（,0）且单调递减,D选项符合;当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=loga（x+）的图象过定点（,0）且单调递增,各选项均不符合.故选D.

17.(2019•全国2•理T12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　　)

A.-∞, B.-∞,

C.-∞, D.-∞,

【答案】B

【解析】∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1).

∵当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),

∴f(x)的图象如图所示.

∵当2<x≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),

∴令4(x-2)(x-3)=-   ,

整理得9x2-45x+56=0,

即(3x-7)(3x-8)=0,

解得x1=,x2=.

∵当x∈(-∞,m]时,f(x)≥-恒成立,即m≤,故m∈-∞,.

18.(2018•全国1•文T12)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1]             B.(0,+∞)

C.(-1,0)             D.(-∞,0)

【答案】D

【解析】画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知:

①当x+1≥0且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意;

②当x+1>0且2x<0,即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)显然成立;

③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x<0,若f(x+1)<f(2x),则x+1>2x,解得x<1.故x≤-1.

综上所述,x的取值范围为(-∞,0).

19.(2018•全国2•理T11文T12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= (　　)

A.-50 B.0 C.2 D.50

【答案】C

【解析】∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),

∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).

∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.

∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.

20.(2018•全国3•文T7)下列函数中,其图像与函数y=ln x的图像关于直线x=1对称的是(　　)

A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) 

C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)

【答案】B

【解析】设所求函数的图像上点P(x,y)关于x=1对称的点为Q(2-x,y),由题意知Q在y=ln x上,

∴y=ln(2-x),故选B.

21.(2018•上海•T16)设D是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数.若f(x)的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是(　　)

A. B. C. D.0

【答案】B

【解析】若f(1)=,则f()=1,f(1)=-,与函数的定义矛盾,舍去;

若f(1)=,则f=0,f(1)=-,与函数的定义矛盾,舍去;

若f(1)=0,则f,f=-,与函数的定义矛盾,舍去.

因此f(1)的可能取值只能是,故选B.

22.(2018•全国3•理T12)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(　　)

A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0

C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b

【答案】B

【解析】∵a=log0.20.3>0,b=log20.3<0,∴ab<0.

又a+b=

而lg 2-1<0,2lg 2-1<0,lg 3-1<0,lg 2>0,

∴a+b<0.

=log0.32+log0.30.2=log0.30.4<log0.30.3=1.∴ab<a+b.故选B.

23.(2018•天津•理T5)已知a=log2e,b=ln 2,c= lo,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a>b>c B.b>a>c 

C.c>b>a D.c>a>b

【答案】D

【解析】因为c=lo=log23,a=log2e,且y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1.

因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增,且b=ln 2,

所以ln 2<ln e=1,即b<1.

综上可知,c>a>b.故选D.

24.(2018•天津•文T5)已知a=log3,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b

【答案】D

【解析】∵c=lo=log35>log3>log33=1,

∴c>a>1.又b=（）<0=1,∴c>a>b.

25.(2018•全国2•T3)函数f(x)=的图像大致为(　　)

【答案】B

【解析】∵f(-x)==-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A,令x=10,则f(10)=>1,排除C、D,故选B.

26.(2018•全国3•理T7文T9)函数y=-x4+x2+2的图像大致为(　　)

【答案】D

【解析】当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=时,y=-+2>2.排除C.故选D.

27.(2018•浙江•T5)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是(　　)

【答案】D

【解析】因为在函数y=2|x|sin 2x中,y1=2|x|为偶函数,y2=sin 2x为奇函数,

所以y=2|x|sin 2x为奇函数.

所以排除选项A,B.当x=0,x=,x=π时,sin 2x=0,故函数y=2|x|sin 2x在[0,π]上有三个零点,排除选项C,故选D.

28.(2018•全国1•理T9)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　　)

A.[-1,0)             B.[0,+∞)

C.[-1,+∞)             D.[1,+∞)

【答案】C

【解析】要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C.

29.(2017•山东•理T1)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=(　　)

A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1)

【答案】D

【解析】由4-x2≥0,得A=[-2,2],由1-x>0,得B=(-∞,1),故A∩B=[-2,1).故选D.

30.(2017•山东•文T9)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

【答案】C

【解析】由x≥1时,f(x)=2(x-1)是增函数可知,若a≥1,则f(a)≠f(a+1),所以0<a<1,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1),解得a=,则f=f(4)=2(4-1)=6

31.(2017•全国1•理T5)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)

A.[-2,2] B.[-1,1] 

C.[0,4] D.[1,3]

【答案】D

【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.所以x的取值范围是[1,3].

32.(2017•天津•理T6)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a

【答案】C

【解析】∵f(x)是R上的奇函数,

∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.

∴g(-log25.1)=g(log25.1).

∵奇函数f(x)在R上是增函数,

∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.

∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,

∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.

∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.

结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.

33.(2017•北京•理T5)已知函数f(x)=3x-,则f(x)(　　)

A.是奇函数,且在R上是增函数

B.是偶函数,且在R上是增函数

C.是奇函数,且在R上是减函数

D.是偶函数,且在R上是减函数

【答案】A

【解析】因为f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x--3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.

又y=3x和y=-在R上都是增函数,所以函数f(x)在R上是增函数.故选A.

34.(2017•全国1•理T11)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(　　)

A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y 

C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z

【答案】D

【解析】由2x=3y=5z,同时取自然对数,得xln 2=yln 3=zln 5.由>1,可得2x>3y;再由<1,可得2x<5z;所以3y<2x<5z,故选D.

35.(2017•全国2•文T8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　　)

A.(-∞,-2) B.(-∞,1)

C.(1,+∞) D.(4,+∞)

【答案】D

【解析】由题意可知x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x2-2x-8在(-∞,-2)内单调递减,在(4,+∞)内单调递增.因为y=ln t在t∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D.

36.(2017•全国1•文T9)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则(　　)

A.f(x)在(0,2)单调递增 

B.f(x)在(0,2)单调递减

C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 

D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称

【答案】C

【解析】f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.

37.(2017•山东•理T7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是(　　)

A.a+<log2(a+b) B.<log2(a+b)<a+

C.a+<log2(a+b)< D.log2(a+b)<a+

【答案】B

【解析】不妨令a=2,b=,则a+=4,,log2(a+b)=log2∈(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+.故选B.

38.(2017•浙江•理T5)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m(　　)

A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关

C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关

【答案】B

【解析】因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f=b-中取,所以最值之差一定与a有关,与b无关,故选B.

39.(2017•全国1•文T8)函数y=的部分图象大致为(　　)

【答案】C

【解析】令f(x)=,因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除选项B;因为f(π)==0,故排除选项D;因为f(1)=>0,故排除选项A.故选C.

40.(2017•全国3•文T7)函数y=1+x+的部分图象大致为(　　)

【答案】D

【解析】当x=1时,y=1+1+sin 1=2+sin 1>2,故排除A,C;当x→+∞时,y→+∞,故排除B,满足条件的只有D,故选D.

41.(2017•山东•理T10)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是(　　)

 A.(0,1]∪[2,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)

C.(0,]∪[2,+∞) D.(0,]∪[3,+∞)

【答案】B

【解析】在同一直角坐标系中,分别作出函数f(x)=(mx-1)2=m2（x-）2与g(x)=+m的大致图象.分两种情形:

(1)当0<m≤1时,≥1,如图①,当x∈[0,1]时,

f(x)与g(x)的图象有一个交点,符合题意;

(2)当m>1时,0<<1,如图②,

要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,只需g(1)≤f(1),

即1+m≤(m-1)2,解得m≥3或m≤0(舍去).

综上所述,m∈(0,1]∪[3,+∞).故选B.

42.(2017•天津•文T8)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是(　　)

A.[-2,2] B.[-2,2]

C.[-2,2] D.[-2,2]

【答案】A

【解析】若a=2,则当x=0时,f(0)=2,而+a=2,不等式不成立,故排除选项C、D.

若a=-2,则当x=0时,f(0)=2,而+a=2,不等式不成立,故排除选项B.故选A.

43.(2017•全国3•理T11文T12)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(　　)

A.- B. C. D.1

【答案】C

【解析】∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),

∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1)

=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)

=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),

∴f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)图象的对称轴.

∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1,

即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a= .

44.(2017•北京•理T8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(　　)(参考数据:lg 3≈0.48)

A.1033 B.1053 C.1073 D.1093

【答案】D

【解析】设=x=,两边取对数,得lg x=lg=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与最接近的是1093.故选D.

45.(2016•全国2•文T10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (　　)

A.y=x B.y=lg x

C.y=2x D.y=

【答案】D

【解析】y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞).

y=x的定义域和值域均为R;y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为R;

y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞);

y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.

46.(2016•北京•文T4)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是(　　)

A.y=B.y=cos x

C.y=ln(x+1)    D.y=2-x

【答案】D

【解析】选项A,y=在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数,故在(-1,1)上为增函数;

选项B,y=cos x在(-1,1)上先增后减;

选项C,y=ln(x+1)在(-1,+∞)上递增,

故在(-1,1)上为增函数;

选项D,y=2-x=x在R上为减函数,故在(-1,1)上是减函数.

47.(2016•山东•文T9)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f,则f(6)= (　　)

A.-2 B.-1 C.0 D.2

【答案】D

【解析】由题意可知,当-1≤x≤1时,f(x)为奇函数;

所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).

而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.

所以f(6)=2.故选D.

48.(2016•全国1•文T8)若a>b>0,0<c<1,则(　　)

A.logac<logbc B.logca<logcb

C.ac<bc             D.ca>cb

【答案】B

【解析】对于A,logac=,logbc=,∵0<c<1,

∴lg c<0,而a>b>0,∴lg a>lg b,但不能确定lg a,lg b的正负,故logac与logbc大小不能确定,A不正确;

对于B,在lg a>lg b两边同乘以一个负数,不等号改变,得logca<logcb,B正确;

对于C,∵0<c<1,

∴幂函数y=xc在(0,+∞)上为增函数.

∵a>b>0,∴ac>bc,故C不正确;

对于D,∵0<c<1,∴指数函数y=cx在R上为减函数.∵a>b>0,∴ca<cb,故D不正确.

49.(2016•全国1•理T8)若a>b>1,0<c<1,则(　　)

A.ac<bc                      B.abc<bac

C.alogbc<blogac              D.logac<logbc

【答案】C

【解析】特殊值验证法,取a=3,b=2,c=,

因为,所以A错;

因为3>2,所以B错;

因为log3=-log32>-1=log2,所以D错;

因为3log2=-3<2log3=-2log32,所以C正确.故选C.

50.(2016•全国3•理T6)已知a=,b=,c=2,则(　　)

A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b

【答案】A

【解析】因为a==b,c=2=a,

所以b<a<c.

51.(2016•全国3•文T7)已知a=,b=,c=2,则(　　)

A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b

【答案】A

【解析】因为a=,c=2,b=,

且函数y=在[0,+∞)内是增函数,

所以,即b<a<c.故选A.

52.(2016•全国2•文T12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为

(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi=(　　)

A.0 B.m C.2m D.4m

【答案】B

【解析】由题意可知,y=f(x)与y=|x2-2x-3|的图象都关于x=1对称,所以它们的交点也关于x=1对称.

当m为偶数时,xi=2×=m;

当m为奇数时,xi=2×+1=m,故选B.

53.(2016•全国1•T9)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为(　　)

【答案】D

【解析】特殊值验证法,取x=2,则y=2×4-e2≈8-2.7182≈0.6∈(0,1),排除A,B;当0<x<2时,y=2x2-ex,则y'=4x-ex,

由函数零点的判定可知,y'=4x-ex在(0,2)内存在零点,即函数y=2x2-ex在(0,2)内有极值点,排除C,故选D.

54.(2016•浙江•文T3)函数y=sin x2的图象是(　　)

【答案】D

【解析】∵f(-x)=sin(-x)2=sin x2=f(x),

∴y=sin x2的图象关于y轴对称,排除A,C;

又当x=±时,sin≠1,∴排除B,故选D.

55.(2016•浙江•文T7)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|,且f(x)≥2x,x∈R.(　　)

A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤b

C.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b

【答案】B

【解析】∵f(x)≥|x|且f(x)≥2x,∴f(x)表示的区域如图阴影部分所示.

∵对于选项A和选项C而言,无论f(a)≤|b|还是f(a)≥|b|,均有a≤b或a≥b都成立,∴选项A和选项C均不正确;

对于选项B,若f(a)≤2b,只能得到a≤b,故选项B正确;

对于选项D,若f(a)≥2b,由图象可知a≥b与a≤b均有可能,故选项D不正确.

56.(2015•湖北•文T7)设x∈R,定义符号函数sgnx=则(　　)

A.|x|=x|sgn x| B.|x|=xsgn |x|

C.|x|=|x|sgn x D.|x|=xsgn x

【答案】D

【解析】利用排除法逐项验证求解.当x<0时,|x|=-x,x|sgn x|=x;xsgn|x|=x,|x|sgn x=(-x)•(-1)=x,故排除A,B,C项,选D.

57.(2015•重庆•文T3)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是(　　)

A.[-3,1]                       B.(-3,1)

C.(-∞,-3]∪[1,+∞)               D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

【答案】D

【解析】要使函数有意义,应满足x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,故函数的定义域是(-∞,-3)∪(1,+∞).

58.(2015•湖北•文T6)函数f(x)= +lg 的定义域为(　　)

A.(2,3)             B.(2,4]

C.(2,3)∪(3,4] D.(-1,3)∪(3,6]

【答案】C

【解析】要使函数有意义,需

即即2<x<3或3<x≤4.

故函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4].

59.(2015•全国1•文T10)已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=(　　)

A.- B.- C.- D.-

【答案】A

【解析】当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.

当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.

∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-2=-.

60.(2015•陕西•文T4)设f(x)=则f(f(-2))=(　　)

A.-1 B. C. D.

【答案】C

【解析】f(f(-2))=f=1-.

61.(2015•山东•文T10)设函数f(x)=若f=4,则b=(　　)

A.1 B. C. D.

【答案】D

【解析】∵f=3×-b=-b,∴f=f.

当-b<1,即b>时,f=3×-b=4,∴b=(舍去).

当-b≥1,即b≤时,f=4,

即-b=2,∴b=.

综上,b=

62.(2015•全国2•文T12)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(　　)

A.

B.∪(1,+∞)

C.

D.

【答案】A

【解析】函数f(x)的定义域为R,又由题意可知f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.

当x>0时,f(x)=ln(1+x)-,因为y1=ln(1+x)单调递增,y2=-亦为单调递增,所以f(x)在(0,+∞)为增函数.

由f(x)>f(2x-1)⇔f(|x|)>f(|2x-1|),得|x|>|2x-1|,解得x∈.

63.(2015•北京•文T3)下列函数中为偶函数的是(　　)

A.y=x2sin x B.y=x2cos x

C.y=|ln x| D.y=2-x

【答案】B

【解析】A选项中函数为奇函数,B选项中函数为偶函数,C选项中函数定义域为(0,+∞)不具有奇偶性,D选项中函数既不是奇函数也不是偶函数.故选B.

64.(2015•天津•文T7)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a

【答案】B

【解析】∵f(-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且f(x)为偶函数,

∴2|x+m|-1=2|x-m|-1对任意的x∈R恒成立,解得m=0.

∴f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数.

∵a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),c=f(2m)=f(0),且0<log23<log25,

∴f(0)<f(log23)<f(log25),即c<a<b.

65.(2015•全国2•理T5)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=(　　)

A.3 B.6 C.9 D.12

【答案】C

【解析】∵f(-2)=1+log24=3,f(log212)==6,∴f(-2)+f(log212)=9.

66.(2015•全国2•理T10文T11)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(　　)

【答案】B

【解析】当x∈0,时,f(x)=tan x+,图象不是线段,从而排除A,C;

∵f=fπ=1+,f=2,2<1+,

∴f<f=fπ,从而排除D.

故选B.

67.(2015•安徽•文T10)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是(　　)

A.a>0,b<0,c>0,d>0

B.a>0,b<0,c<0,d>0

C.a<0,b<0,c>0,d>0

D.a>0,b>0,c>0,d<0

【答案】A

【解析】由图象可知f(0)=d>0,f'(x)=3ax2+2bx+c,x1,x2为方程3ax2+2bx+c=0的两根,因此x1+x2=-,x1•x2=.由图象可知x∈(-∞,x1)时,f'(x)>0,所以a>0.而由图象知x1,x2均为正数,所以->0,>0,由此可得b<0,c>0,故选A.

68.(2015•浙江•文T5)函数f(x)=cos x(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)

【答案】D

【解析】因为f(-x)=-x+cos(-x)=-x-cos x=-f(x),所以f(x)为奇函数.排除A,B;又f(π)=cos π=-π+<0,排除C,故选D.

69.(2015•天津•文T8)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】A

【解析】因为f(x)=

所以f(2-x)=⇒f(2-x)=

f(x)+f(2-x)=

所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=

其图象如图所示.

显然函数图象与x轴有2个交点,故函数有2个零点.

70.(2015•北京•理T7)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是 (　　)

A.{x|-1<x≤0} 

B.{x|-1≤x≤1}

C.{x|-1<x≤1} 

D.{x|-1<x≤2}

【答案】C

【解析】如图,作出函数f(x)与y=log2(x+1)的图象.

易知直线BC的方程为y=-x+2,由得D点坐标为(1,1).

由图可知,当-1<x≤1时,f(x)≥log2(x+1),所以所求解集为{x|-1<x≤1}.

71.(2014•江西•理T3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R),若f[g(1)]=1,则a=(　　)

A.1      B.2 C.3   D.-1

【答案】A

【解析】由题意可知f[g(1)]=1=50,得g(1)=0,代入g(x),则a-1=0,即a=1.故选A.

72.(2014•山东•理T3)函数f(x)=的定义域为(　　)

A. B.(2,+∞)

C.∪(2,+∞) D.∪[2,+∞)

【答案】C

【解析】要使函数有意义,应有(log2x)2>1,且x>0,

即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0<x<.所以函数f(x)的定义域为∪(2,+∞).

73.(2014•江西•文T4,)已知函数f(x)= (a∈R),若f[f(-1)]=1,则a=(　　)

A. B. C.1 D.2

【答案】A

【解析】由题意可知f(-1)=21=2,则f[f(-1)]=f(2)=a•22=4a=1.故a=

74.(2014•全国1•理T3文T5)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)

A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

【答案】C

【解析】由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),

对于A选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),

f(x)g(x)为奇函数,故A错误;

对于B选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),

|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;

对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,

f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;

对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)•g(x)|,

|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.

75.(2014•北京•文T6)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(　　)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)

【答案】C

【解析】由题意知f(1)=-log21=6>0,f(2)=-log22=3-1=2>0,f(4)=-log24=-2=-<0.故f(2)•f(4)<0.由零点存在性定理可知,包含f(x)零点的区间为(2,4).

76.(2013•全国1•理T11)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,0]          B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]

【答案】D

【解析】由y=|f(x)|的图象知:

①当x>0时,y=ax只有a≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,C.

②当x≤0时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x.

故由|f(x)|≥ax得x2-2x≥ax.

当x=0时,不等式为0≥0成立.

当x<0时,不等式等价于x-2≤a.

∵x-2<-2,

∴a≥-2.

综上可知,a∈[-2,0].

77.(2013•全国2•文T12)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)

C.(0,+∞) D.(-1,+∞)

【答案】D

【解析】由题意可得,a>x-(x>0).

令f(x)=x-,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故a>-1时,存在正数x使原不等式成立.

78.(2013•全国2•理T8)设a=log36,b=log510,c=log714,则(　　)

A.c>b>a B.b>c>a 

C.a>c>b D.a>b>c

【答案】D

【解析】根据公式变形,a==1+,b==1+,c==1+,因为lg 7>lg 5>lg 3,所以,即c<b<a.故选D.

79.(2013•全国2•文T8)设a=log32,b=log52,c=log23,则(　　)

A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b

【答案】D

【解析】∵a=log32>log3,∴a∈（,1）.

∵b=log52<log5,∴b∈（0,）.

∵c=log23>log22=1,即c>1,∴c>a>b.

80.(2013•全国1•文T9)函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图象大致为(　　)

【答案】C

【解析】由f(x)=(1-cos x)sin x知其为奇函数.可排除B.当x∈时,f(x)>0,排除A.

当x∈(0,π)时,f'(x)=sin2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x+cos x+1.

令f'(x)=0,得x=π.

故极值点为x=π,可排除D,故选C.

81.(2013•北京•理T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=(　　)

A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 D.e-x-1

【答案】D

【解析】依题意,f(x)向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果,∴f(x)=e-x-1,故选D.

82.(2012•全国•文T11)当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是(　　)

A. B. C.(1,) D.(,2)

【答案】B

【解析】由0<x≤,且logax>4x>0,可得0<a<1,

由=loga可得a=.

令f(x)=4x,g(x)=logax,若4x<logax,

则说明当0<x≤时,f(x)的图象恒在g(x)图象的下方(如下图所示),此时需a>.

综上可得a的取值范围是.

83.(2012•全国•理T10)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为(　　)

【答案】B

【解析】当x=1时,y=<0,排除A;当x=0时,y不存在,排除D;f'(x)='=,因定义中要求x>-1,故-1<x<0时,f'(x)<0,故y=f(x)在(-1,0)上单调递减,故选B.

84.(2012•湖北•文T6)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为(　　)

【答案】B

【解析】y=f(x)y=f(-x)y=f[-(x-2)]=f(2-x)y=-f(2-x),故选B.

85.(2012•全国•理T12)设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为 (　　)

A.1-ln 2 B.(1-ln 2) 

C.1+ln 2 D.(1+ln 2)

【答案】B