清单21 数列的概念及简单表示（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单21 数列的概念及简单表示（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共21页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数列的概念
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以,数列的一般形式可以写成,其中an是数列的第n项,叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}．
【对点训练1】在数列{an}中,a1＝1,an＝1＋eq \f(－1n,an－1)(n≥2),则a5等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3) C.eq \f(8,5) D.eq \f(2,3)
【答案】D
【解析】a2＝1＋＝2,a3＝1＋＝eq \f(1,2),a4＝1＋＝3,a5＝1＋＝eq \f(2,3).
2.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
【对点训练2】已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是( )
A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n为奇数，,0，n为偶数))
C．an＝2sineq \f(nπ,2) D．an＝cs(n－1)π＋1
【答案】C
【解析】对n＝1,2,3,4进行验证,知an＝2sineq \f(nπ,2)不合题意,故选C.
3.数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列．
【对点训练3】设an＝－3n2＋15n－18,则数列{an}中的最大项的值是( )
A.eq \f(16,3) B.eq \f(13,3) C．4D．0
【答案】D
【解析】∵an＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2＋eq \f(3,4),由二次函数性质,得当n＝2或3时,an最大,最大为0.
4.数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
【对点训练4】已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出,则该数列的第5项等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2),∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
答案C.
5. 数列的表示法
数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法．
【对点训练5】已知函数由下表定义：
若,（）,则 ．
【答案】2
【解析】,,,可知数列是循环数列周期为4,所以.
6.数列的分类
【对点训练6】已知an＝n2＋λn,且对于任意的n∈N*,数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是________．
【答案】(－3,＋∞)
【解析】因为{an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有an＋1>an,即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn,整理,
得2n＋1＋λ>0,即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n≥1,所以－(2n＋1)≤－3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>－3.
7.由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况,可用(－1)k或(－1)k＋1,k∈N*处理．
(3)如果是选择题,可采用代入验证的方法．
【对点训练7】数列0,eq \f(2,3),eq \f(4,5),eq \f(6,7),…的一个通项公式为( )
A．an＝eq \f(n－1,n＋1)(n∈N*)
B．an＝eq \f(n－1,2n＋1)(n∈N*)
C．an＝eq \f(2（n－1）,2n－1)(n∈N*)
D．an＝eq \f(2n,2n＋1)(n∈N*)
【答案】C
【解析】解法一：特例淘汰法．令n＝1,淘汰D选项,令n＝2淘汰A,B选项．
解法二：数列变形为eq \f(0,1),eq \f(2,3),eq \f(4,5),eq \f(6,7),…分子、分母都是等差数列,分子2(n－1)分母2n－1.故选C.
8.任何一个数列,它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.)) 若a1适合Sn－Sn－1,则应把它们统一起来,否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断：若S0＝0,则a1适合Sn－Sn－1,否则不符合,这在解小题时比较有用．
【对点训练8】已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1,则an＝________.
【答案】eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n－1，n≥2，n∈N*))
【解析】当n＝1时,a1＝S1＝2,当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1,
故an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n－1，n≥2，n∈N*.))
9.利用与的关系求
【对点训练9】若数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)(n∈N*),则{an}的通项公式an＝________.
【答案】(－2)n－1
【解析】由Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3),得当n≥2时,Sn－1＝eq \f(2,3)an－1＋eq \f(1,3),两式相减,整理得an＝－2an－1,又当n＝1时,S1＝a1＝eq \f(2,3)a1＋eq \f(1,3),∴a1＝1,∴{an}是首项为1,公比为－2的等比数列,故an＝(－2)n－1.
10. 利用与的关系求
【对点训练10】设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3),an＋1＝Sn＋3n,n∈N*.求.
【解析】依题意,Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n,
即Sn＋1＝2Sn＋3n,由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n),
又S1－31＝a－3(a≠3),故数列{Sn－3n}是首项为a－3,公比为2的等比数列,
因此,Sn－3n＝(a－3)2n－1,n∈N*.Sn＝3n＋(a－3)2n－1,n∈N*,
11.常见数列的通项
(1)1,2,3,4,…的一个通项公式为an＝ ；
(2)2,4,6,8,…的一个通项公式为an＝ ；
(3)3,5,7,9,…的一个通项公式为an＝ ；
(4)2,4,8,16,…的一个通项公式为an＝ ；
(5)－1,1,－1,1,…的一个通项公式为an＝ ；
(6)1,0,1,0,…的一个通项公式为an＝；
(7)a,b,a,b,…的一个通项公式为an＝；
(8)9,99,999,…的一个通项公式为an＝.
【对点训练11】数列－eq \f(1,1×2),eq \f(1,2×3),－eq \f(1,3×4),eq \f(1,4×5),…的一个通项公式an＝________.
【答案】
【解析】这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an＝ .
12．在数列{an}中,若an最大,则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小,则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
【对点训练12】若数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(nn＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n))中的最大项是第k项,则k＝________.
【答案】4
【解析】设数列为{an},则
an＋1－an＝(n＋1)(n＋5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n＋1－n(n＋4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n＝eq \f(2n,3n＋1)(10－n2)．
所以当n≤3时,an＋1>an；当n≥4时,an＋17时0,所以n>4时>1,且随着n的增大而增大,
当n