华师大版八年级下册2. 菱形的判定教案

菱形的判定

【教学目标】

1．知识技能

经历菱形的判定方法的探究过程，掌握菱形的三种判定方法。

2．数学思考

（1）经历利用菱形的定义探究菱形其他判定方法的过程，培养学生的动手实验、观察、推理意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力。

（2）根据菱形的判定定理进行简单的证明，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力。

3．解决问题

（1）尝试从不同角度寻求菱形的判定方法，并能有效的解决问题，尝试评价不同判定方法之间的差异。

（2）通过对菱形判定过程的反思，获得灵活判定四边形是菱形的经验。

4．情感态度

在探究菱形的判定方法的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的判定和性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

【教学重难点】

1．重点：菱形判定方法的探究。

2．难点：菱形判定方法的探究及灵活运用。

【教学过程】

一、引入新课，激发兴趣

1．复习

（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）菱形的性质：

性质1：菱形的两组对边分别平行，四条边都相等；

性质2：菱形的两组对角分别相等，邻角互补；

性质3：菱形的两条对角线互相平分；

性质4：菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。

2．导入

（1）如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？

根据菱形的定义可知：

一组邻边相等的平行四边形是菱形。所以只要再有一组邻边相等的条件即可。

（2）要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？

二、探究与归纳菱形的第二个判定方法

1．问题牵引

用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。

问：任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？

继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？

学生猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

教师提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？

学生用几何语言表示命题如下：

已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD，

求证：□ABCD是菱形。

分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=∠AOD=90º及AO=AO，得ΔAOB≌ΔAOD，可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理，得到AB=AD) ，最后证得□ABCD是菱形。

2．归纳定理

通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的第二个判定方法(判定定理1)：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

提示：此方法包括两个条件——（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

三、菱形第二个判定方法的应用

例：如图，如图，□ABCD的对角线AC．BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3，求证：□ABCD是菱形。

思路点拨：由于平行四边形对角线互相平分，构成了△ABO是一个三角形，而AB=5，AO=4，BO=3，由勾股定理的逆定理可知∠AOB=90°，证出对角线互相垂直，这样可利用菱形第二个判定方法证得。

四、探究与归纳菱形的第三个判定方法

1．操作探究

多媒体演示画图过程： 先画两条等长的线段AB．AD，然后分别以B．D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC．CD，就得到了一个四边形，提问：观察画图的过程，你能说明得到的四边形为什么是菱形吗？你能得到什么结论？

学生观察思考后，展开讨论，指出该四边形四条边相等，即有两组对边相等，它首先是一个平行四边形，又有一组邻边相等，根据菱形定义即可判定该四边形是菱形。得出从一般的四边形直接判定菱形的方法：四边相等的四边形是菱形。

学生进行几何论证，教师规范学生的证明过程。

2．归纳定理

从一般的四边形直接判定菱形的方法(判定定理2)：

四边相等的四边形是菱形。

五、菱形第三个判定方法的应用

如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。

思路点拨：

方法一，由中点联想到连接矩形对角线BD、AC，可得AC=BD．利用三角形中位线等于底边的一半，证明EF=FG=GH=EH。根据判定定理，所以四边形EFGH是菱形。

方法二：通过证明图中四个Rt△全等，得到EF=FG=GH=EH。

【作业布置】  

1．判断下列说法是否正确？为什么？

（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；

（3）对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；

（4）两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。

2．填空。

如图：□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

（1）若AB=AD，则□ABCD是      形；

（2）若AC=BD，则□ABCD是      形；

（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是       形；

（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是       形。

3．评价和反思

通过探究，本节课你得到了哪些结论？有什么认识？

菱形的判定方法有哪些？