2022合肥高三下学期二模考试数学（理）试题含答案

合肥市2022年高三第二次教学质量检测

数学试题（理科）

（考试时间：120分钟 满分：150分）

注意事项：

1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。

2.答第1卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第11卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。

第I卷     （满分60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.设全集U=R,集合M={x|y=ln(x-1)},N={x|y=},则下面 Venn图中阴影部分表示的集合是

A.(1,2)            B.(1,2]     C.(2,+ ∞)     D.[2,+ ∞)

2.设复数z满足iz-3-i=z,则z的虚部为

A.-2i           B.2i           C.-2            D.2   

3.某市高三年级共有14000 人参加教学质量检测，学生的数学成绩ξ近似服从正态分布N(90,σ2)(试卷满分150分），且P(ξ≥100)=0.3,据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90

分之间的学生人数为

A.2800         B.4200    C.5600      D.7000

4.考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出，其内容是：任意正整数s,如果s是奇数就乘3加1,如果s是偶数就除以2,如此循环，最终都能够得到 1.右边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s的值为5,则输出i的值为

A.3              B.4      C.5       D.6

5.设α为第二象限角，若sinα+cosα=,则tan(α+)

A.-2                    B. -        C.             D.2

6.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有

A.8种           B.14种        C.20种        D.116种

7.函数f(x)=ex+4-e-x(e是自然对数的底数）的图象关于

A.直线x=-e对称                    B.点（－e,0)对称

C.直线x=-2对称                     D.点（－2,0)对称

8.将函数y=sinx的图像上各点横坐标缩短为原来(纵坐标不变）后，再向左平移个单位长度得到函数y=f(x)的图像当x∈[-,]时，f(x)的值域为

A.[-1.1]          B.      C.       D.

9.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交抛物线C的准线l于M,N两点，|MN|=2p,则直线AF的斜率为

A.±1                   B.±       C.         D.±

10.已知直线l1:mx-y=0(m∈R)过定点A,直线l2:x+my+4-2m=0过定点B, l1与l2的交点为C,则△ABC面积的最大值为

A.                   B.2           C.5        D.10

11.在四面体ABCD中，∠ACB=∠ADC=,AD=DC=CB=2,二面角B-AC-D的大小为，则四面体ABCD外接球的表面积为

A.             B.           C.16π        D.24π

12.过平面内一点P作曲线y=|lnx|两条互相垂直的切线l1,l2,切点为P1,P2(P1,P2不重合），设

直线l1,l2分别与y轴交于点A,B,则下列结论正确的个数是

①P1P2两点的横坐标之积为定值；②直线P1P2的斜率为定值；

③线段AB的长度为定值；              ④三角形ABP面积的取值范围为（0,1].

A.1                 B.2           C.3           D.4

第II卷 （非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．

第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．

13.已知向量=(-1,2), =(2 t,t+5).若A.B.C三点共线，则t =               .

14.已知双曲线C: ＝1(a>0,b>0)的右焦点为F,A为双曲线C右支上一点，O为坐标原点。若ΔMOF为等边三角形，则双曲线C的离心率为               .

15.已知ΔABC的内角A.B,C的对边分别为a,b,c,若b+2cosB+bcosA=6,a=2,则ΔABC面积的取值范围为               .

16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD的中点，设平面A1BC1与平面CC1E的交线为l,则直线l与BE所成角的余弦值为               .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分12分）

记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1,且Sn=an+1-3.

（1)求数列{an}的通项公式；

（2)已知数列{cn}满足         ，记Tn为数列{cn}的前n项和，证明：Tn<2.

从①cn=   ②cn=两个条件中任选一个，补充在第（2)问中的横线

上并作答。

18.(本小题满分12分）

如图，在矩形ABCD中，AB=2AD,点M为边AB的中点．以CM为折痕把ABCM折起，使点B到达点P的位置，使得∠PMB=,连结PA,PB,PD.

（1)证明：平面PMC⊥平面AMCD;

（2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．

19.(本小题满分12分）

通信编码信号利用BEC信道传输，如图1,若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号。

传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2).

华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家Erdal Arikan 教授的极化码技术（以两个相互独立的BEC信道传输信号为例）：

如图3,信号U2直接从信道2传输；信号U1在传输前先与U2“异或”运算得到信号X1,再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号U1或U2.

（注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0,两个不同数字“异或”得到1,“异或”运算用符号“④”表示：00=0,11=0,10=1,01=1.“异或”运算性质：AB=C,则A=CB).

假设每个信道传输成功的概率均为p(0<p<1).U1,U2={0,1}.

（1)在传统传输方案中，设“信号U1和U2均被成功接收”为事件A,求P(A):

（2)对于极化码技术：①求信号U1被成功解码（即根据BEC信道1与2传输的信号可确定

U1的值）的概率；②若对输入信号U1赋值（如U1=0)作为已知信号，接收端只解码信号U2,

求信号U2被成功解码的概率。

20.(本小题满分12分）

已知椭圆C: ＝1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为,M为椭圆C上一动点，ΔFAM面积的最大值为.

（1)求椭圆C的标准方程；

（2)过点M的直线l:y=kx+1与椭圆C的另一个交点为N,P为线段MN的中点，射线OP

与椭圆交于点D.点Q为直线OP上一动点，且,求证：点Q在定直线上．

21.(本小题满分12分）

已知函数f(x)=ex+cosx-ex,f(x)是f(x)的导函数。

（1)证明：函数f(x)只有一个极值点；

（2)若关于x的方程f(x)=t(t∈R)在（0,π)上有两个不相等的实数根x1,x2,证明：

<0.

请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做

的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．

22.(本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）。以坐标原点为极点，x

轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2= (a>0, ρ∈R).

（1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

（2)若直线θ=(ρ∈R)与直线l交于点M,直线θ=(ρ∈R)与曲线C交于点A.B,且

AM⊥BM,求实数a的值．

23.(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知函数f(x)=2|x+1|+|x+2|的最小值为m.

（1)求m;

（2)已知a,b,c为正数，且abc=m,求（a+b)2+c2的最小值．