2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题18 函数与动点综合问题

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题18函数与动点综合问题  

【例1】已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．

（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；

（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；

（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．

【例2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y＝﹣x+m与抛物线交于B，D两点．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）求m的值和D点坐标．

（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．

（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（﹣，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．

【例3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；

（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．

【例4】如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，∠ABC＝90°，B（4，0），C（8，0），tan∠ACB＝2，抛物线y＝ax2+bx经过A，C两点．

（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A作AD⊥AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？

②连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？

1．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2+x﹣4与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，点C（﹣3，0），连接AB，BC．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）①点D在第三象限的抛物线上，当△ABC与△ADC的面积相等时，求点D的坐标；

②在①的条件下，点E在第三象限，当△ABO≌△EBD时，请直接写出点E的坐标为 　   　；

（3）点F从点A开始以每秒0.5个单位长度的速度沿线段AC向点C运动，同时点G从点C开始以相同速度沿线段CB向点B运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，过点F作FH∥AB，交线段BC于点H，连接FG，在点F、G运动的过程中，当cos∠HFG＝时，请直接写出直线FH的函数表达式为 　   　．

2．如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．

（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；

（2）若点M是（1）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使△AME为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线l⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）

3．如图，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．

（1）请直接写出二次函数的表达式；

（2）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；

（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．

（1）求k的值和点C的坐标；

（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；

（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y＝ax2﹣2（a≠0）与线段AE恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

5．如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．

（1）求抛物线的表达式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；

（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．

6．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点N（n，0）是x轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G．过点P作PD⊥BC于点D，当n为何值时，△PDG≌△BNG；

（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线OB1．

①tan∠BOB1＝　   　；

②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，求点N的坐标．

7.如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形；

（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标．

8.如图，已知抛物线y＝ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB＝1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）．

（1）求出这条抛物线的表达式；

（2）当t＝0时，求S△OBN的值；

（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

9.如图甲，在正方形ABCD中，AB＝6cm，点P、Q从A点沿边AB、BC、CD运动，点M从A点沿边AD、DC、CB运动，点P、Q的速度分别为1cm/s，3cm/s，点M的速度2cm/s．若它们同时出发，当点M与点Q相遇时，所有点都停止运动．设运动的时间为ts，△PQM的面积为Scm2，则S关于t的函数图象如图乙所示．结合图形，完成以下各题：

（1）当t为何值时，点M与点Q相遇？

（2）填空：a＝　   　；b＝　   　；c＝　   　．

（3）当2＜t≤3时，求S与t的函数关系式；

（4）在整个运动过程中，△PQM能否为直角三角形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由．

10.如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，BD＝8cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PN∥BC分别交BD，CD于点M，N，连接QM，QN．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，点P在线段QN的垂直平分线上？

（2）设△QMN的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△QMN的面积为菱形ABCD面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）是否存在某一时刻t，使△QMN为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

11.如图，在△ABC中，tanB，∠C＝45°，AD＝6，AD⊥BC于点D，动点E从点D出发沿DB向点B以每秒1个单位长度的速度运动．将线段DE绕点D顺时针旋转90°，得到线段DF，过点F作FG∥AC，交射线DC于点G，以EG、FG为邻边▱EGFP，▱EGFP与△ABC重叠部分面积为S．当点E与点B重合时停止运动，设点E的运动时间为t秒（t＞0）．

（1）求BC的长．

（2）当点P落到AB边上时，求t的值．

（3）当点F在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式．

（4）▱EGFP的边PE被AB分成1：3两部分时，直接写出t的值．

12．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣5，0），B（，）两点，连接AB，BO．

（1）求抛物线表达式；

（2）点C是第三象限内的一个动点，若△AOC与△AOB全等，请直接写出点C坐标　（，）或（，）　；

（3）若点D从点O出发沿线段OA向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OA上另一个点H从点A出发沿线段AO向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当点H到达点O时，点D也同时停止运动）．过点D作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，以DF为边，在DF左侧作等边三角形DGF（当点D运动时点G、点F也随之运动）．过点H作x轴的垂线，与直线AB交于点L，延长HL到点M，使得LM＝HL，以HM为边，在HM的右侧作等边三角形HMN（当点H运动时，点M、点N也随之运动）．当点D运动t秒时，△DGF有一条边所在直线恰好过△HMN的重心，直接写出此刻t的值　1s或s　．

13．如图，二次函数yx2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）

（1）求该二次函数的解析式；

（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．

14．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；

（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．

15．如图①，直线yx+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以A为顶点的抛物线经过点B，点P是抛物线上一点，连接OP，AP．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△AOP的面积是3，求P点坐标；

（3）如图②，动点M，N同时从点O出发，点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NE∥x轴交直线AB于点E．若设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使四边形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

16．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．

①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；

②在①的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；

③在①的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．

17．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．

（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；

（2）连接BD，当t时，求△DNB的面积；

（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；

（4）当t时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．

18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；

（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．

①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；

②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

19．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．

（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为　  　；

（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；

（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．

20．如图1，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝5cm，∠CAB＝60°，点D为AB的中点，线段AC上有一动点E，连接DE，作DA关于直线DE的对称图形，得到DF，过点F作FG⊥AB于点G．设A、E两点间的距离为xcm，F，G两点间的距离为ycm．

小军根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小军的探究过程，请补充完整．

（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：

请你通过计算补全表格；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中（如图2），描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出y关于x的图象；

（3）探究性质：随着x值的不断增大，y的值是怎样变化的？　                     　；

（4）解决问题：当AE+FG＝2时，FG的长度大约是    　cm（保留两位小数）．

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题18函数与动点综合问题  

【例1】已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．

（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；

（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；

（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．

【分析】（1）把点A（1，0）代入解析式，求出b，得到解析式；

（2）过点Q作QN⊥AB于点N，利用相似表达出△BPQ的高，然后表示出△BPQ的面积，利用二次函数的性质求出最大面积；

（3）分类讨论，函数图象与x轴有一个交点和没有交点时，x≥1的任意实数x，都有y≥0成立，若函数图象与x轴有两个交点，则需满足两交点的横坐标均不大于1，列出不等式即可求b的取值范围．

【解析】（1）把点A（1，0）代入y＝x2+2bx﹣3b得：1+2b﹣3b＝0，

解得：b＝1，

∴二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3．

（2）如图1，对函数y＝x2+2x﹣3，

当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，

∴C（0，﹣3），B（﹣3，0），A（1，0），

∴AB＝4，OB＝OC＝3，BC＝3，

过点Q作QN⊥AB于点N，

∴sin∠NBQ＝sin∠OBC，

∴，

设运动时间为t，则：BQ＝t，AP＝2t，

∴BP＝4﹣2t，，

∴NQ＝，

∴S△BPQ＝，

∴当t＝1时，△BPQ面积的最大值为．

（3）①∵二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象开口向上，

∴当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴没有交点或只有1个交点时，x≥1总有y≥0成立（如图2）；

此时△≤0，即（2b）2﹣4（﹣3b）≤0，

解得﹣3≤b≤0；

②当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴有2个交点时，

Δ＝（2b）2﹣4（﹣3b）＞0，可得b＞0或b＜﹣3，

设此时两交点为（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝﹣2b，x1•x2＝﹣3b，

要使x≥1的任意实数x，都有y≥0，需x1≤1，x2≤1，即x1﹣1≤0，x2﹣1≤0（如图3），

∴（x1﹣1）+（x2﹣1）≤0且（x1﹣1）•（x2﹣1）≥0，

∴﹣2b﹣2≤0且﹣3b﹣（﹣2b）+1≥0，

解得﹣1≤b≤1，

∴此时0＜b≤1，

总上所述，对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，则﹣3≤b≤1．

【例2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y＝﹣x+m与抛物线交于B，D两点．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）求m的值和D点坐标．

（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．

（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（﹣，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．

（2）求出点B的坐标，可得直线BD的解析式，构建方程组确定点D坐标即可．

（3）设P（a，﹣a2+a+4），则N（a，），F（a，﹣a+2）推出PN＝﹣a2+a+4﹣＝﹣a2+a+，NF＝﹣（﹣a+2）＝a+，由N是线段PF的三等分点，推出PN＝2NF或NF＝2PN，构建方程求解即可．

（4）首先证明QQ′∥AD，由题意直线QQ′的解析式为y＝x+2，设直线QQ′交抛物线于E，利用方程组求出点E的坐标，求出两种特殊情形t的值即可判断．

【解析】（1）把A（﹣2，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，

得到，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．

（2）令y＝0，则有﹣x2+x+4＝0，

解得x＝﹣2或4，

∴B（4，0），

把B（4，0）代入y＝﹣x+m，得到m＝2，

∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2，

由，解得或，

∴D（﹣1，）．

（3）设P（a，﹣a2+a+4），

则N（a，），F（a，﹣a+2），

∴PN＝﹣a2+a+4﹣＝﹣a2+a+，NF＝﹣（﹣a+2）＝a+，

∵N是线段PF的三等分点，

∴PN＝2NF或NF＝2PN，

∴﹣a2+a+＝a+1或a+＝﹣a2+2a+3，

解得a＝±1或﹣1或，

∵a＞﹣1，

∴a＝1或，

∴P（1，）或（，）．

（4）如图2中，

∵A（﹣2，0），D（﹣1，），

∴直线AD的解析式为y＝x+5，

∵A′Q′与AQ关于MG对称，MG⊥AD，

∴QQ′∥AD，

∵Q（﹣，0），

∴直线QQ′的解析式为y＝x+2，设直线QQ′交抛物线于E，

由，解得或，

∴E（1，），

当点A′与D重合时，GM是△ADB的中位线，可得M（1，0），此时t＝，

当点Q′与E重合时，直线GM经过点（，），

∵GM⊥AD，

∴GM的解析式为y＝﹣x+，

令y＝0，可得x＝，

∴M（，0），此时t＝＝，

观察图象可知，满足条件的t的值为≤t≤．

【例3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；

（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．

【分析】（1）将C（8，0），B（0，6）代入计算即可；

（2）作DE⊥x轴于点E，证明△BOC∽△CED，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；

（3）分为点M在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为△BON∽△CDM和△BON∽△MDC两种情况讨论；当点M在BC上时，分为△BON∽△MCD和△BON∽△DCM两种情况讨论；

（4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得QN+DN的最小值；连接BQ减去BA'可得A'Q的最小值，综上可得A'Q+QN+DN的最小值．

【解析】（1）将C（8，0），B（0，6）代入，得，

解得，

∴抛物线的解析式为：；

（2）如答图1，作DE⊥x轴于点E，

∵C（8，0），B（0，6），

∴OC＝8，OB＝6．

∴BC＝10．

∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC，

∴△BOC∽△CED．

∴．

∴CE＝3，DE＝4．

∴OE＝OC+CE＝11．

∴D（11，4）．

（3）若点M在DA上运动时，DM＝5t，ON＝4t，

当△BON∽△CDM，则，即不成立，舍去；

当△BON∽△MDC，则，即，解得：；

若点M在BC上运动时，CM＝25﹣5t．

当△BON∽△MCD，则，即，

∴．

当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t．

∴，

解得t1＝（舍去），t2＝．

当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16

∴，无解；

当△BON∽△DCM，则，即，

∴ON＝30﹣6t；

当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t，

∴30﹣6t＝16﹣4t，

解得t＝7（舍去）；

当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16，

∴30﹣6t＝4t﹣16，

解得．

综上所示：当时，△BON∽△MDC；t＝时，△BON∽△MCD；时，△BON∽△DCM；

（4）如答图2，作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N，

∵点D（11，4），

∴点F（11，﹣4）．

由得对称轴为x＝5，

∴点Q（5，4）．

∴，．

∴．

故A'Q+QN+DN的最小值为．

【例4】如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，∠ABC＝90°，B（4，0），C（8，0），tan∠ACB＝2，抛物线y＝ax2+bx经过A，C两点．

（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A作AD⊥AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？

②连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？

【分析】（1）由B、C的坐标及tan∠ABC求出AB的长，即得A的坐标，由A、C结合待定系数法即可求出抛物线解析式；

（2）①由tan∠EAP＝tan∠CAB，求出PE，PB，即得E的坐标，E横坐标代入抛物线求出G的坐标，G的纵坐标减去E的纵坐标即为EG的长，再配合可求出EG取最大值时的t以及最大值；

②由勾股定理算出AE、AC，分△CEQ∽△ACB或△CEQ∽△ABC两种情况讨论，分别求出t即可．

【解析】（1）∵B（4，0），C（8，0），

∴BC＝4，

∵∠ABC＝90°，tan∠ABC＝2，

∴AB＝BC•tan∠ABC＝8，

∴A的坐标为（4，8），

将A（4，8），C（8，0）代入y＝ax²+bx，

得：，

解得：，

∴抛物线得解析式为：y＝x²+4x；

（2）①由题得；AP＝t，∠APE＝∠ABC＝90°，∠EAP＝∠CAB，

∴tan∠EAP＝tan∠CAB＝，

∴，即PE＝，

∵PB＝AB﹣AP＝8﹣t，

∴E的坐标为（4+，8﹣t），

将x＝4+代入y＝x²+4x，

得：y＝+8，

∴G的纵的坐标为+8，

∴EG＝+8﹣（8﹣t）＝+t＝+2，

∵0≤t≤8，

∴t＝4时，线段EG有最大值且为2；

②∵CQ＝t，PE＝，AP＝t，BC＝4，AB＝8，

∴AE＝＝t，AC＝＝4，

∴CE＝AC﹣AE＝4﹣，

当△CEQ∽△ACB时，，

∴，t＝4，

当△CEQ∽△ABC时，，

∴，t＝，

∴综上，t＝4或．

1．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2+x﹣4与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，点C（﹣3，0），连接AB，BC．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）①点D在第三象限的抛物线上，当△ABC与△ADC的面积相等时，求点D的坐标；

②在①的条件下，点E在第三象限，当△ABO≌△EBD时，请直接写出点E的坐标为 　（﹣4，﹣5）或（﹣4，﹣3）　；

（3）点F从点A开始以每秒0.5个单位长度的速度沿线段AC向点C运动，同时点G从点C开始以相同速度沿线段CB向点B运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，过点F作FH∥AB，交线段BC于点H，连接FG，在点F、G运动的过程中，当cos∠HFG＝时，请直接写出直线FH的函数表达式为 　y＝4x+或y＝4x+　．

【分析】（1）由抛物线的表达式可求得点A和点B的坐标，设出直线AB的表达式，代入点A和点B的坐标即可；

（2）①△ABC与△ADC的面积相等，两个三角形都含有边AC，利用同底等高的两个三角形面积全等，可求出点D的坐标，过点B作AC即x的垂线即可；

②根据图形可得出△AOB是直角三角形，且三条边可求出来；再根据全等的对应关系，可求出点E的坐标；

（3）设点F的运动时间为t，由点F和点G的运动可知，AF＝0.5t，CG＝0.5t，所以直线FH的表达式为：y＝4x+2t﹣4；①当点G在FH的左侧时，作∠PAB＝45°，交y轴于点P，过点P作PQ⊥AB于点Q，利用△GKF∽△POA，建立关于t的等式，可求出t的值，进而求出直线FH的表达式；②当点G在FH的右侧时且满足∠HFG＝45°，如图所示，过点A作AM⊥AP，使AM＝AP，过点M作MN⊥x轴于点N，利用△FGK∽△AMN，可得FK：KG＝AN：MN＝：1，所以（0.8t﹣4）：0.4t＝：1，解得t＝，所以直线FH的表达式：y＝4x+．

【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣4，即B（0，﹣4），

当y＝0时，x＝1或x＝﹣5，即A（1，0），

设直线AB的表达式为y＝kx+b，

将A（1，0），B（0，﹣4）代入得，，

∴，

∴直线AB的表达式为y＝4x﹣4；

（2）①如图，过点B作BD∥x轴交抛物线于点D，

∴yB＝yD＝﹣4，

∴y＝x2+x﹣4＝﹣4，解得x＝﹣4（x＝0舍去），

∴D（﹣4，﹣4）；

②由①可知，D（﹣4，﹣4），

∴BD＝4，

∵△ABO≌△EBD，

∴AO＝ED＝1，OB＝BD＝4，∠AOB＝∠BDE＝90°，

过点D作DE⊥BD，则DE1＝DE2＝1，

∴E1（﹣4，﹣3），E2（﹣4，﹣5）；

故答案为：（﹣4，﹣5）或（﹣4，﹣3）；

（3）设点F的运动时间为t，由点F和点G的运动可知，

AF＝0.5t，CG＝0.5t，

∴F（1﹣0.5t，0），

∴直线FH的表达式为：y＝4x+2t﹣4；

过点G作GK⊥x轴于点K，

∴△CGK∽△CBO，

∴CK：KG：CG＝CO：OB：CN＝3：4：5，

∴CK＝0.3t，KG＝0.4t，

∵cos∠HFG＝，

∴∠HFG＝45°．

①当点G在FH的左侧时，作∠PAB＝45°，交y轴于点P，过点P作PQ⊥AB于点Q，

∴△PQB∽△AOB，

∴PQ：QB：PB＝AO：OB：AB＝1：4：，

设PQ＝m，则AQ＝m，QB＝4m，PB＝m，

∵AQ+QB＝AB，

∴m+4m＝，解得m＝，

∴PB＝，OP＝4﹣＝

由题可知，∠GKO＝∠POA＝90°，GF∥AP，

∴∠GFK＝∠PAO，

∴△GKF∽△POA，

∴GK：KF＝OP：OA，即0.4t：（4﹣0.3t﹣0.5t）＝：1，

解得t＝，

∴直线FH的表达式：y＝4x+；

②当点G在FH的右侧时且满足∠HFG＝45°，如图所示，

过点A作AM⊥AP，使AM＝AP，过点M作MN⊥x轴于点N，

∴∠BAM＝∠BAP＝∠HFG＝45°，△AMN≌△PAO（AAS），

∴AN：MN＝PO：AO＝：1，

∵HF∥AB，

∴∠HFK＝∠BAN，

∴∠GFK＝∠MAN，

∴△FGK∽△AMN，

∴FK：KG＝AN：MN＝：1，

又FK＝CK﹣（AC﹣AF）＝0.3t﹣（4﹣0.5t）＝0.8t﹣4，

∴（0.8t﹣4）：0.4t＝：1，解得t＝，

∴直线FH的表达式：y＝4x+．

故答案为：y＝4x+或y＝4x+．

2．如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．

（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；

（2）若点M是（1）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使△AME为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线l⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）

【分析】（1）设AE＝DE＝x，则CE＝8﹣x，则x2＝42+（8﹣x）2，则AE＝DE＝5，则点A的坐标为（6，8），进而求解；

（2）分AE＝AM、AE＝EM、AM＝EM三种情况，分别求解即可；

（3）分0＜t＜8、8≤t＜9、t＝9、9＜t≤10三种情况，分别求解函数表达式即可求解．

【解析】（1）∵四边形OBCD是矩形，B（0，8），D（10，0），

∴BC＝OD＝10，DC＝OB＝8，∠OBC＝∠C＝90°，

由折叠可得：OA＝OD＝10，AE＝DE，

∵∠OBC＝90°，OB＝8，OA＝10，

∴AB＝6，

∴AC＝4，

设AE＝DE＝x，则CE＝8﹣x，

∵∠C＝90°，

∴x2＝42+（8﹣x）2，

解得：x＝5，

∴AE＝DE＝5，

∴点A的坐标为（6，8），点E的坐标为（10，5），

∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（6，8），D（10，0），则，解得，

此抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；

（2）抛物线过O、D（10，0）两点，则其对称轴为x＝5，

设点M（5，m），而点A（6，8）、点E（10，5），

则AE2＝16+9＝25，AM2＝1+（m﹣8）2，EM2＝（m﹣5）2+25，

当AE＝AM时，则25＝1+（m﹣8）2，解得：m＝8±2；

当AE＝EM时，同理可得：m＝5；

当AM＝EM时，同理可得：m＝；

故点M的坐标为（5，8+2）或（5，8﹣2）或（5，5）或（5，2.5）；

（3）设直线OA的解析式y＝k1x，

∵点A的坐标为（6，8），

∴6k1＝8，解得：k1＝，

直线OA的解析式y＝x，

同理可得：直线OE的表达式为y＝x，

∵OP＝1×t＝t，

∴P（t，0），

∵直线⊥x轴于点P、点F，

G是直线l与OA，OE的交点，

∴点F、G的坐标分别为（t，t）、（t，t），

则FG＝t﹣t＝t，

当0＜t＜8时，点Q在线段DC上，

过点Q作QS⊥直线l，垂足为S，如图1，

则QS＝PD＝10﹣t，

∴S＝×FG•QS＝FG•PD＝t（10﹣t）＝﹣t2+t；

②当8≤t＜9时，点Q在线段CA上，且在直线l的右侧，

设FG交AC于点N，如图2，

则QN＝CN﹣CQ＝PD﹣CQ＝（10t）﹣（t﹣8）＝18﹣2t

∴S＝FD•QN＝t（18﹣2t）＝﹣t2+t；

③当t＝9时，QN＝18﹣2t＝0，点Q与点N重合，此时△QFG不存在，故舍去，

④当9＜t≤10时，点Q在线段CA上，且在直线l的左侧，设FG交AC于点N，如图3．

则QN＝CQ﹣CN＝CQ﹣PD＝（10﹣t）＝2t﹣18，

S＝FG•QN＝t（2t﹣18）＝t2﹣t；

综上所述：S＝．

3．如图，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．

（1）请直接写出二次函数的表达式；

（2）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；

（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式可求解；

（2）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；

（3）设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD＝（n+2），然后根据S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．

【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），

∴，

∴，

∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+4；

（2））∵A（0，4），C（8，0），

∴AC＝＝4，

①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），

②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）

③作AC的垂直平分线，交x轴于N，

∴AN＝NC，

∵AN2＝AO2+NO2，

∴AN2＝16+（8﹣AN）2，

∴AN＝5，

∴ON＝3，

∴N的坐标为（3，0），

综上所述，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）或（8﹣4，0）或（3，0）或（8+4，0）；

（3）∵抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于B，C两点，

∴0＝﹣x2+x+4，

∴x1＝﹣2，x2＝8，

∴点B（﹣2，0），

∴BO＝2，

设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，

∴MD∥OA，

∴△BMD∽△BAO，

∴，

∵MN∥AC，

∴，

∴，

∵OA＝4，BC＝10，BN＝n+2，

∴MD＝（n+2），

∵S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN＝BN•OA﹣BN•MD＝（n+2）×4﹣×（n+2）2＝﹣（n﹣3）2+5，

∴当n＝3时，△AMN面积最大，

∴N点坐标为（3，0）．

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．

（1）求k的值和点C的坐标；

（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；

（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y＝ax2﹣2（a≠0）与线段AE恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

【分析】（1）先求出平移后解析式，将点B坐标代入可求k的值，即可求直线解析式，可得点C坐标；

（2）将点B，点C坐标代入解析式可求抛物线解析式，即可求点D坐标；

（3）利用函数图象列出不等式组，即可求解．

【解析】（1）∵将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度，

∴平移后直线解析式为：y＝kx+3，

∵直线y＝kx+3经过点B（3，0），

∴3k+3＝0，

∴k＝﹣1，

∴平移后解析式为：y＝x+3，

∵y＝﹣x+3与y轴的交点为C，

∴y＝0+3＝3，

∴点C（0，3）；

（2）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3），

∴，

解得，

∴抛物线C1的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴顶点D的坐标为（2，﹣1）；

（3）∵抛物线C1：y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点，

∴点A（1，0），点B（3，0），

∵点E是点D关于原点的对称点，

∴点E的坐标为（﹣2，1），

如图，

由图象可得：，

∴a的取值范围是≤a＜2．

5．如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．