2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题19 函数与面积最值问题

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题18函数与面积最值问题  

【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．

（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；

（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；

（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

【例2】抛物线y＝ax2+c的顶点为C（0，1），与直线y＝kx+3（k为常数）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．当k＝0时，点B的横坐标恰好为2（如图1）．

（1）求a、c的值；

（2）当k＝0时，若点P是抛物线上异于A、C的一点，且满足2PC2＝AB2+2AP2，试判断△PAC的形状，并说明理由；

（3）若直线y＝﹣1交y轴于点F，过点A、B分别作该直线的垂线，垂足分别为D、E，连接AF、BF（如图2）．设△ADF、△ABF、△BEF的面积分别为S1、S2、S3，是否存在常数t，使S22＝t•S1S3？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【例3】如图，在直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点（不与点A，B，C重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在第一象限时，设△ACP的面积为S1，△ABP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；

（3）过点O作直线l∥BC，点Q是直线l上的动点，当BQ⊥PQ，且∠BPQ＝∠CAB时，请直接写出点P的坐标．

【例4】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）连接AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；

（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．

【例5】如图，在△OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为（4，0），点B坐标为（2，），AB⊥y轴，点A为垂足，OH⊥BC，点H为垂足．动点P、Q分别从点O、A同时出发，点P沿线段OH向点H运动，点Q沿线段AO向点O运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P的运动时间为t秒．

（1）求证：OB＝CB；

（2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式及定义域；

（3）当PQ⊥OB（垂足为点M）时，求五边形ABHPQ的面积的值．

1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C．

（1）如图1，连接BC，过点A作y轴的平行线交直线BC于点E，求线段BE的长；

（2）如图1，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AP交BC于点D，连接BP，记△BDP的面积为S1，△ABD的面积为S2，当的值最大时，求出这个最大值和点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+2x﹣3沿射线BC方向平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点G，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点D、G、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．

2．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，OB＝3OA＝3．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，直线y＝kx+n与抛物线交于点C、D，若△ACD的内心落在x轴上，求k的值；

（3）如图3，直线l与抛物线有且只有一个公共点E，l与抛物线对称轴交于点F，若△AEF的面积为，求点E的坐标．

3．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．点F的坐标为（﹣4，0）．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；

（3）在x轴上方作正方形AFMN将正方形AFMN沿x轴方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．

4．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上的动点．连接OP交BC于点D，连接PC．

（1）试确定抛物线的解析式；

（2）当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；

（3）如图2，连接AC，设P点横坐标为m（0＜m＜3），求当m为何值时，四边形BACP的面积最大？并求出点P的坐标．

5．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（﹣4，0）和点B（0，﹣2）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，直接写出2MN+ON的最小值．

6．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．

（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上的一个动点，连接PA，交直线BC于点D．

①若sin∠PAB＝，试求四边形OBPC的面积S；

②设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值．

7．已知：抛物线y＝﹣x2+2（m﹣1）x+m+1．

（1）当m＝﹣1时，求抛物线与x轴的交点坐标．

（2）设该抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，若线段AO，BO，CO的长度满足，请解决下列问题：

①求这个抛物线的解析式．

②作直线y＝kx+b交①中的抛物线于点P和点Q，交y轴于点D，请问是否存在直线y＝kx+b，使△CDP的面积和△CDQ的面积相等？若存在，求出k和b要满足的条件．若不存在，请说明理由．

8．点A，B在抛物线y＝ax2（a＞0）上，AB交y轴于点C．

（1）过点C作DC⊥y轴交抛物线于点D，若AB∥OD，AB的解析式为y＝x+2，求a的值；

（2）过点B作BG⊥x轴交x轴于点G，BG的延长线交AO的延长线于点H，连接AG交y轴于点K，求OK•BH的值；

（3）若a＝1，将抛物线平移后交x轴于点A（﹣1，0），B（2，0）两点，点P为y轴正半轴上一点，AP，BP交抛物线于点M，N，设△PNA的面积为S1，△PMB的面积为S2，△PBA的面积为S3，若，求点P的坐标．

9．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）．

（1）求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；

（2）当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；

（3）如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；

（3）在（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由．

11．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．

（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；

（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；

（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．

12．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为（﹣4，0）．

（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；

（2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；

（3）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；

（4）在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．

13．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标．

（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

14．定义：如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．

（1）直接写出抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标．

（2）如图2，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．

15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；

（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．

16．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的横坐标分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若抛物线的顶点为M，作点M关于x轴的对称点N，顺次连接A，M，B，N，在抛物线上存在点D，使直线CD将四边形AMBN分成面积相等的两个四边形，求点D的坐标．

（3）在抛物线上是否存在点P，使△PBC中BC边上的高为？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

17．已知抛物线，顶点为A，且经过点，点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面积；

（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．

18．已知点A，点B都在双曲线y上．点A的坐标为（1，4），点B的横坐标为m（m＞2），分别过点A，点B作x轴的垂线，垂足分别为D，C，且AD，OB相交于点E．

（1）求证：△AOE与直角梯形EDCB的面积相等；

（2）延长BO交双曲线y于点F，延长AO交双曲线y于点H，

①当四边形AFHB为矩形时，求点B的坐标；

②当四边形AFHB的面积为时，求直线AB的解析式．

19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2）．点M是边BC上的一个动点（不与B、C重合），反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点M且与边AB交于点N，连接MN．

（1）当点M是边BC的中点时．

①求反比例函数的表达式；

②求△OMN的面积；

（2）在点M的运动过程中，试证明：是一个定值．

20．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．

（1）求c的值及a、b满足的关系式；

（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；

（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题18函数与面积最值问题  

【例1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．

（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；

（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；

（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．

（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，﹣m2+m+3），则K（m，m+1）．因为S△PAD＝•（xD﹣xA）•PK＝3PK，所以PK的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PK的最大值即可．

（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．

【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，

∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），

∵D（4，3）在抛物线上，

∴3＝a（4+2）×（4﹣6），

解得a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3，

∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），

设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），

则，

解得，，

∴直线l的解析式为y＝x+1；

（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，﹣m2+m+3），则K（m，m+1）．

∵S△PAD＝•（xD﹣xA）•PK＝3PK，

∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，

∵PK＝﹣m2+m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣1）2+，

∵﹣＜0，

∴m＝1时，PK的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P（1，）．

（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），

设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，

∵D（4，3），

∴直线DT的解析式为y＝﹣x+，

∴Q（0，），

作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），

则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，

设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，

∴Q′（0，﹣9），

综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）．

【例2】．抛物线y＝ax2+c的顶点为C（0，1），与直线y＝kx+3（k为常数）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．当k＝0时，点B的横坐标恰好为2（如图1）．

（1）求a、c的值；

（2）当k＝0时，若点P是抛物线上异于A、C的一点，且满足2PC2＝AB2+2AP2，试判断△PAC的形状，并说明理由；

（3）若直线y＝﹣1交y轴于点F，过点A、B分别作该直线的垂线，垂足分别为D、E，连接AF、BF（如图2）．设△ADF、△ABF、△BEF的面积分别为S1、S2、S3，是否存在常数t，使S22＝t•S1S3？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）∵抛物线y＝ax2+c的顶点为C（0，1），故c＝1，则抛物线的表达式为y＝ax2+1，当k＝0时，直线l∥y轴，则点B的纵坐标为3，故点B的坐标为（2，3），即可求解；

（2）AB＝4，AC＝2，故AB2＝2AC2，而2PC2＝AB2+2AP2，则PC2＝AC2+AP2，即可求解；

（3）设点A、B的坐标分别为（m，m2+1），（n，n2+1），则S1S3＝×AD•DF××EF•BE＝4k2+16，S22＝4（4k2+16），进而求解．

【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+c的顶点为C（0，1），故c＝1，

则抛物线的表达式为y＝ax2+1，

当k＝0时，直线l∥y轴，则点B的纵坐标为3，

故点B的坐标为（2，3），

将点B的坐标代入抛物线表达式得：3＝4a+1，

解得a＝；

（2）由（1）知，当k＝0时，点B（2，3），则点A（﹣2，3），则AB＝4，

由点A、C的坐标知，AC＝2，故AB2＝2AC2，

∵2PC2＝AB2+2AP2，则PC2＝AC2+AP2，

∴△PAC为直角三角形；

（3）设直线AB交y轴于点G，则点G（0，3），

设点A、B的坐标分别为（m，m2+1），（n，n2+1），

联立y＝x2+1和y＝kx+3并整理得：x2﹣2kx﹣4＝0，

则m+n＝2k，mn＝﹣4，则m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（2k）2，

由题意得：AD＝m2+2，DF＝﹣m；GF＝4，DE＝n﹣m；BE＝n2+2，EF＝n；

则S1S3＝×AD•DF××EF•BE＝（m2+2）（﹣m）（n2+2）n＝（mn）2+（m+n）2﹣2mn+4＝4k2+16，

同理可得S22＝[FG（n﹣n）]2＝[4×（n﹣m）]2＝4（n﹣m）2＝4[（m+n）2﹣4mn]＝4（4k2+16），

∵S22＝t•S1S3，

即4（4k2+16）＝t（4k2+16），

∵4k2+16＞0，

故t＝4．

【例3】．如图，在直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点（不与点A，B，C重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在第一象限时，设△ACP的面积为S1，△ABP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；

（3）过点O作直线l∥BC，点Q是直线l上的动点，当BQ⊥PQ，且∠BPQ＝∠CAB时，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）把点A（﹣1，0）和B（4，0）的坐标代入函数解析式得方程组，求解可得答案；

（2）利用中点坐标公式求得直线AP解析式，即可求解；

（3）由（2）可知，C（0，2），B（4，0），根据勾股定理及逆定理得∠ACB＝90°，由相似的判定得△PQB∽△ACB，因而可得答案．

【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（4，0），

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+x+2①；

（2）过点C、B分别作直线AP的平行线m、n，直线m交y轴于点M，AP交y轴于点N，

过点A（﹣1，0）的直线AP的表达式可设为y＝k（x+1），

当x＝0时，y＝k，即点N的坐标为（0，k），

则直线m过点B（4，0），则其表达式为y＝k（x﹣4），

当x＝0时，y＝﹣4k，即点M（0，﹣4k），

∵S1＝S2，则点N是CM的中点，

由中点坐标公式得：k＝（2﹣4k），解得k＝，

故直线AP的表达式为y＝（x+1）②，

联立①②并解得（不合题意的值已舍去），

即点P的坐标为（，）；

（3）由（2）可知，C（0，2），B（4，0），

∴L：y＝﹣x，

由题可知，BQ⊥PQ，∠BPQ＝∠CAB，

∵CA＝＝，CB＝，AB＝5，

∴CA2+CB2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∴△PQB∽△ACB，则，

设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），点Q（c，﹣c），

则PQ2＝（x﹣c）2+（﹣x2+x+2+c）2，PB2＝（x﹣4）2+（﹣x2+x+2）2，QB2＝（c﹣4）2+（﹣c）2，

∴＝＝，

解得x＝或，

故点P的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）或（，﹣）．

【例4】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）连接AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；

（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．

【分析】（1）把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）①过点C作CE∥AD交抛物线于点E，则△ADE与△ACD面积相等；②过点H′作直线E′E″∥AD，则△ADE′、△ADE′′与△ACD面积相等，分别求解即可．

（3）分△ACH∽△CPQ、△ACH∽△PCQ两种情况，求解即可．

【解析】（1）把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式得：

，解得：，

则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，

函数的对称轴为：x1，

则点C的坐标为（﹣1，4）；

（2）过点C作CE∥AD交抛物线于点E，交y轴于点H，

则△ADE与△ACD面积相等，

直线AD过点D，则其表达式为：y＝mx+3，

将点A的坐标代入上式得：0＝﹣3m+3，解得：m＝1，

则直线AD的表达式为：y＝x+3，

CE∥AD，则直线CE表达式的k值为1，

设直线CE的表达式为：y＝x+n，

将点C的坐标代入上式得：4＝﹣1+n，解得：n＝5，

则直线CE的表达式为：y＝x+5…②，

则点H的坐标为（0，5），

联立①②并解得：x＝﹣1或﹣2（x＝1为点C的横坐标），

即点E的坐标为（﹣2，3）；

在y轴取一点H′，使DH＝DH′＝2，

过点H′作直线E′E″∥AD，

则△ADE′、△ADE′′与△ACD面积相等，

同理可得直线E′E″的表达式为：y＝x+1…③，

联立①③并解得：x，

则点E″、E′的坐标分别为（，）、（，），

点E的坐标为：（﹣2，3）或（，）或（，）；

（3）设：点P的坐标为（m，n），n＝﹣m2﹣2m+3，

把点C、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，

即直线CD的表达式为：y＝﹣x+3…④，

直线AD的表达式为：y＝x+3，

直线CD和直线AD表达式中的k值的乘积为﹣1，故AD⊥CD，

而直线PQ⊥CD，故直线PQ表达式中的k值与直线AD表达式中的k值相同，

同理可得直线PQ表达式为：y＝x+n﹣m…⑤，

联立④⑤并解得：x，即点Q的坐标为（，），

则：PQ2＝（m）2+（n）（m+1）2•m2，

同理可得：PC2＝（m+1）2+[1+（m+1）2]，

AH＝2，CH＝4，则AC＝2，

当△ACH∽△CPQ时，

∴，

即：4PC2＝5PQ2，

整理得：3m2+16m+16＝0，解得：m＝﹣4或，

点P的坐标为（﹣4，﹣5）或（，）；

当△ACH∽△PCQ时，

同理可得：点P的坐标为（，）或（2，﹣5），

故：点P的坐标为：（﹣4，﹣5）或（，）或（，）或（2，﹣5）．

【例5】如图，在△OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为（4，0），点B坐标为（2，），AB⊥y轴，点A为垂足，OH⊥BC，点H为垂足．动点P、Q分别从点O、A同时出发，点P沿线段OH向点H运动，点Q沿线段AO向点O运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P的运动时间为t秒．

（1）求证：OB＝CB；

（2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式及定义域；

（3）当PQ⊥OB（垂足为点M）时，求五边形ABHPQ的面积的值．

【分析】（1）根据勾股定理，易得OB＝CB；

（2）由题意，∠BOH＝∠HOC＝30°，则可得∠AOB＝30°，过点P作PE⊥OA垂足为点E，在Rt△PEO中，∠EPO＝30°，PO＝t，EOPO，由勾股定理可得；OQ＝AO﹣AQt，即可求出函数关系式及定义域；

（3）由题意可得，Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC，△OPQ为等边三角形，所以，S四边形OABH＝S△OBC44，由OP＝OQ，可得S△OPQOPOP，面积差即为五边形ABHPQ的面积．

【解析】（1）∵OB4，

CB4，

∴OB＝CB；

（2）易证：△OBC为等边三角形，

∵OH⊥BC，

∴∠BOH＝∠HOC＝30°，

∴∠AOB＝30°，

过点P作PE⊥OA垂足为点E，

在Rt△PEO中，∠EPO＝30°，PO＝t，

∴EOPO，由勾股定理得：，

又∵OQ＝AO﹣AQt，

∴SOQ•PE（t）•，

即：S（0＜t）．

（3）易证Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC，

∴S四边形OABH＝S△OAB+S△OHB＝S△OHB+S△OHC＝S△OBC44，

易证△OPQ为等边三角形，

∴OQ＝OP，

即：t，解得t，

∴S△OPQOPOP，

∴S五边形ABHPQ＝S四边形OABH﹣S△OPQ＝4．

1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C．

（1）如图1，连接BC，过点A作y轴的平行线交直线BC于点E，求线段BE的长；

（2）如图1，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AP交BC于点D，连接BP，记△BDP的面积为S1，△ABD的面积为S2，当的值最大时，求出这个最大值和点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+2x﹣3沿射线BC方向平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点G，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点D、G、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．

【分析】（1）作AE∥y轴交BC的延长线于点E，先求出A、B、C三点坐标，从而可得BC＝，又OC∥AE，根据平行线分线段成比例可得，解得CE＝，从而BE＝BC+CE＝；

（2）作PF∥AE交BC于F，先求出BC解析式，再用同一个字母a表示出P、F的坐标，继而根据△DFP∽△DEA，得到，用含a的式子表示出的值，进而根据同高不等底的两个三角形面积比等于其底之比得到，利用二次函数的解析式即可得到结论；

（3）联立直线AP、BC的解析式可得点D坐标为（，），再求出平移后的二次函数表达式，联立平移前后的两个二次函数表达式可求得点G坐标为（﹣1，﹣4），接下来分成两类情况讨论：①DG为菱形的边长，②DG为菱形的对角线长，画出图形，利用菱形的对角线性质和中点坐标公式列出方程分别求解即可．

【解析】（1）如答图1所示，作AE∥y轴交BC的延长线于点E．

令y＝x2+2x﹣3中y＝0，得方程x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；

令y＝x2+2x﹣3中x＝0，得y＝﹣3，

则得点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）．

∴BO＝OC＝3，OA＝1．

∵∠BOC＝90°，

∴BC＝＝＝．

又OC∥AE，

∴，即，解得：CE＝，

故线段BE＝BC+CE＝＝．

（2）如答图2，在答图1基础上，作PF∥AE交BC于F．

设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B（﹣3，0）、C（0，﹣3），

，解得：．

则直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3．

设点P坐标为（a，a2+2a﹣3），点F坐标为（a，﹣a﹣3），点E坐标为（1，﹣4），

则PF＝﹣a﹣3﹣（a2+2a﹣3）＝﹣a2﹣3a，AE＝4．

由PF∥AE，可得△DFP∽△DEA，

∴＝＝．

又△BDP与△ABD的底可分别看成是DP、DA，而高相等，

故＝．

∵，

∴当a＝时，有最大值，最大值为，此时点P坐标为（，）．

（3）存在以点D、G、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下：

在（2）的条件下，点P坐标为（，）．

设直线AP表达式为y＝mx+n，代入A、P坐标，得：

，解得：．

则直线AP表达式为y＝．

联立，解得：，即点D坐标为（，）．

∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，

又将抛物线y＝x2+2x﹣3沿射线BC方向平移个单位，实际上等同于将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位，

则新抛物线的解析式为y＝x2﹣5．

联立，解得．

即点G坐标为（﹣1，﹣4）．

（为了便于观察，现将图象简化，略去平移前的函数图象，只保留平移后的图象）．

平移后的二次函数解析式为y＝x2﹣5，则对称轴为x＝0，

故点M坐标可设为（m，0），点N坐标（a，b）．

当DG为菱形的边时：

①以点D为圆心，DG为半径画圆交y轴于点M1、M2，作DH⊥y轴于点H，如答图3．

此时，DG＝DM1＝DM2＝＝，DH＝，

∴M1H＝＝＝M2H．

故可得点M1（0，）、M2（0，）．

由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：

，

即，解得：；

或，解得：．

∴点N1（，），N2（，）．

②以点G为圆心，DG为半径画圆交y轴于点M3、M4，作GI⊥y轴于点I，如答图4．

此时，GD＝GM3＝GM4＝，GI＝1，

∴IM4＝＝＝＝．

故可得点M3（0，）、M4（0，）．

由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：

，

即，解得：；

或，解得：．

∴点N3（，），N4（，），

当DG为菱形的对角线时，则MN为另一对角线，如答图5．

则有M5D＝M5G，亦即M5D2＝M5G2．

∴＝（﹣1﹣0）2+（﹣4﹣m）2，

解得：m＝．

即点M5（0，），由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：

，解得：，

则点N5坐标为（，﹣3）．

综上所述，点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，﹣3）．

2．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，OB＝3OA＝3．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，直线y＝kx+n与抛物线交于点C、D，若△ACD的内心落在x轴上，求k的值；

（3）如图3，直线l与抛物线有且只有一个公共点E，l与抛物线对称轴交于点F，若△AEF的面积为，求点E的坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）△ACD的内心落在x轴上，则∠CAE＝∠DAF，即tan∠CAE＝tan∠DAF，进而求解；

（3）求出点G的坐标为（1，2e﹣6），点F（1，m+n），由△AEF的面积为＝GF•（xE﹣xA）＝×GF×（e+1）＝，即可求解．

【解析】（1）由OB＝3OA＝3知，OA＝1，

故点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），

将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，

解得，

故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）过点C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，

设点C的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点D（t，t2﹣2t﹣3），

∵△ACD的内心落在x轴上，则∠CAE＝∠DAF，

∴tan∠CAE＝tan∠DAF，

即，

解得：m+t＝6，

联立y＝kx+n和抛物线的表达式得：x2﹣2x﹣3﹣kx﹣n＝0，

则m+t＝2+k＝6，

解得k＝4；

（3）设AE交抛物线对称轴于点G，设点E的坐标为（e，e2﹣2e﹣3），

由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝（e﹣3）x+e﹣3，

当x＝1时，y＝2e﹣6，即点G的坐标为（1，2e﹣6），

设直线EF的表达式为y＝mx+n，

联立y＝x2﹣2x﹣3和上式并整理得：x2﹣（2+m）x﹣3﹣n＝0，

则△＝（﹣2﹣m）2+4（3﹣n）＝0，解得m+n＝﹣m2﹣4，

将m+n＝﹣m2﹣4代入x2﹣（2+m）x﹣3﹣n＝0并解得x＝1+m＝e，

则m＝2e﹣2，

∵点F在直线y＝mx+n上，当x＝1时，y＝m+n，即点F（1，m+n），

则GF＝2e﹣6﹣m﹣n＝2e﹣6+m2+4＝2e﹣6+（2e﹣2）2+4＝e2﹣1，

则△AEF的面积为＝GF•（xE﹣xA）＝×GF×（e+1）＝，

即×（e2﹣1）（e+1）＝，

解得e＝2（不合题意的值已舍去），

故点E（2，﹣3）．

3．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．点F的坐标为（﹣4，0）．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；

（3）在x轴上方作正方形AFMN将正方形AFMN沿x轴方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．

【分析】（1）设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可；

（2）△AOE与△ABC相似分两种情况，当∠AOE＝∠ABC时，则OD∥BC，先求直线BC的解析式，再求直线OD的解析式且与抛物线的解析式联立方程组，解方程组求点D的坐标；当∠AEO＝∠ABC时，过点O作OG⊥AC，得到与△OBC相似的三角形，由相似三角形的性质求AG、EG、CE的长，进而求出点E的坐标，再求直线OD的解析式且与抛物线的解析式联立方程组，解方程组求出点D的坐标；

（3）设平移时点A的对应点为点A′，由题意可知，正方形A′FMN的边长为1，即点M、N的纵坐标为1，先按正方形A′FMN与△ABC的不同位置关系确定t的取值范围，再求出S关于t的函数解析式．

【解析】（1）设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，

把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，

得，解得，

∴这条抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）∵∠OAE＝∠BAC（公共角），

∴△AOE与△ABC相似分两种情况，即∠AOE＝∠ABC或∠AEO＝∠ABC．

①如图1，∠AOE＝∠ABC，则OD∥BC，

设直线BC的解析式为y＝kx+3，则k+3＝0，解得k＝﹣3，

∴y＝﹣3x+3，

∴直线OD的解析式为y＝﹣3x；

由，得，（不符合题意，舍去），

∴D（，）；

②如图2，∠AEO＝∠ABC，作OG⊥AC于点G，EP⊥x轴于点P，EQ⊥y轴于点Q，

∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，AC＝＝3，

∴OG＝AG＝AC＝3＝，

∵∠OGE＝∠COB＝90°，

∴，

∴EG＝OG＝×＝，

∴CE＝3﹣﹣＝，

∴CQ＝EQ＝CE•sin45°＝×＝1，

∴PE＝OQ＝3﹣1＝2，

∴E（﹣1，2），

设直线OD的解析式为y＝px，则﹣p＝2，解得p＝﹣2，

∴y＝﹣2x；

由，得，（不符合题意，舍去），

∴D（，2），

综上所述，点D的坐标为（，）或（，2）；

（3）设正方形AFMN平移时点A的对应点为点A′，则A′（﹣3+t，0），F（﹣4+t，0），

由题意可得，正方形A′FMN的边长为1，

∴N（﹣3+t，1），M（﹣4+t，1）；

设直线AC的解析式为y＝qx+3，则﹣3q+3＝0，解得q＝1，

∴y＝x+3，

由（1）得，直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，

当点N落在AC上，则﹣3+t+3＝1，解得t＝1；

当点M落在AC上，则﹣4+t+3＝1，解得t＝2；

当点N落在BC上，则﹣3（﹣3+t）+3＝1，解得t＝；

当0≤t≤1时，如图3，A′N交AC于点H，

∵∠AA′H＝90°，

∴∠A′HA＝90°﹣∠OAC＝90°﹣45°＝45°＝∠OAC，

∴A′H＝AA′＝t，

∴S＝t2；

当1＜t≤2时，如图4，MF、MN分别交AC于点L、点I，

∵MN∥x轴，

∴∠MIL＝∠OAC＝45°，

∵∠M＝∠LFA＝90°，

∴∠MLI＝∠FLA＝90°﹣45°＝45°，

∴∠MIL＝∠MLI，∠FLA＝∠OAC，

∴LF＝AF＝t﹣1，

∴ML＝MI＝1﹣（t﹣1）＝2﹣t，

∴S＝12﹣（2﹣t）2＝t2+2t﹣1；

当2＜t≤时，如图5，S＝12＝1；

当＜t≤4时，如图6，MN、A′N分别交BC于点R、点J，

∵∠JRN＝∠CBO，

∴＝tan∠CBO＝3，

∵BA′＝4﹣t，

∴JA′＝3BA′＝3（4﹣t）＝12﹣3t，

∴JN＝1﹣（12﹣3t）＝3t﹣11，

∴RN＝JN＝（3t﹣11），

∴S＝12﹣×（3t﹣11）2＝t2+11t，

综上所述，S＝．

4．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上的动点．连接OP交BC于点D，连接PC．

（1）试确定抛物线的解析式；

（2）当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；

（3）如图2，连接AC，设P点横坐标为m（0＜m＜3），求当m为何值时，四边形BACP的面积最大？并求出点P的坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）S△CPD：S△BPD＝1：2，即CD：BD＝1：2，则，故GC＝1，进而求解；

（3）由S＝S△ABC+S△BCP＝×AB×CO+×PH×OB，即可求解．

【解析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图1：S△CPD：S△BPD＝1：2，即：CD：BD＝1：2，

过点D分别作x、y轴的垂线交于点H、G，

则，故GC＝1，

同理可得：DH＝2，故点D（1，2）；

（3）由抛物线的表达式知，点C（0，3），

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，

过点P作PH∥y轴交BC于点H，

设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点H（m，﹣m+3），

设四边形BACP的面积为S，

则S＝S△ABC+S△BCP＝×AB×CO+×PH×OB＝×4×3+×3×（﹣m2+2m+3+m﹣3）＝﹣（m﹣）2+≤，

故当m＝时，四边形BACP的面积最大，最大值为，

此时，点P的坐标为（，）．

5．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（﹣4，0）和点B（0，﹣2）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，直接写出2MN+ON的最小值．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）过点O作直线m∥AB，在直线AB下方和直线m等间隔作直线n，则直线m、n和抛物线的交点即为点P，进而求解；