2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题21 旋转模型综合问题

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题21旋转模型综合问题

【例1】．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．

（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．

①求证：△ABP∽△BCP；

②若PA＝3，PC＝4，则PB＝　   　．

（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）

①求∠CPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点．

【例2】．如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．

【例3】．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．

（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P　   　（填是或不是）该三角形的费马点．

（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；

（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）

①求∠CPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点．

【例4】．【方法呈现】：

（1）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1），设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；

【实际运用】：

（2）如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，AB＝BC，连接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小；

【拓展延伸】：

（3）如图3，点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC的面积是　   　（直接填答案）

1．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．

（1）求点P与点P′之间的距离；

（2）求∠APB的度数．

2．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为 　   　，正方形ABCD的边长为 　   　．

（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．

（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：

如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为 　   　．

3．问题：如图1，在等边△ABC内部有一点P，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数？

（1）请写出常见四组勾股数：　   　、　   　、　   　、　   　．

（2）解决方法：通过观察发现PA，PB，PC的长度符合勾股数，但由于PA，PB，PC不在一个三角形中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将△ABP绕A逆时针旋转60°到△AP′C，此时△ABP≌△ACP'，这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出∠APB＝　   　．请写出解题过程．

（3）应用：请你利用（2）题的思路，解答下面的问题：

如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC的点，且∠EAF＝45°，若BE＝m，FC＝n，请求出线段EF的长度（用m、n的代数式表示）．

4．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

分析：要直接求∠APB的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内．

解：如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．

∴　   　＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°

∵△ABC是等边三角形

∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝　   　

∴△ABP≌△ACD

∴BP＝CD＝4，　   　＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2

∴∠PDC＝　   　°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．

（3）拓展应用．如图（4），△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为　   　．

5．如图1，D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接AD、BE、CF，三条线段两两分别相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．

（1）证明：EF＝DF；

（2）如图2，点M是ED上一点，连接CM，以CM为边向右作△CMG，连接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，证明：CG＝CM．

（3）如图3，在（2）的条件下，当点M与点D重合时，若CD⊥AD，GD＝4，请问在△ACD内部是否存在点P使得P到△ACD三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．

6．如图①，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．

（1）如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且∠ABC＝60°．

①求证：△ABP∽△BCP；

②若PA＝3，PC＝4，求PB的长．

（2）已知锐角三角形ABC，分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P点，连结AP，如图②．

①求∠CPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点．

7．【问题情境】

如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为 　   　．

【问题解决】

如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．

【问题解决】

如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE＝cm，点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据≈1.7，10.52＝110.25）．

8．问题提出

（1）如图，点M、N是直线l外两点，在直线l上找一点K，使得MK+NK最小．

问题探究

（2）在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数的大小．

问题解决

（3）如图，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝30米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B，C的距离之和最小．问：是否存在这样的点E？

若存在，请画出点E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，请说明理由．

9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．

（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．

10．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

要直接求∠A的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．

∴　   　＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°

∵△ABC是等边三角形

∴AC＝AB，∠BAC＝60°

∴∠BAP＝　   　

∴△ABP≌△ACD

∴BP＝CD＝4，　   　＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2

∴∠PDC＝　   　°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．

11．（1）知识储备

①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点．求证：PB+PC＝PA．

②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．

（2）知识迁移

①我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：

如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 　   　的长度即为△ABC的费马距离．

②在图3中，用不同于图2的方法作出△ABC的费马点P（要求尺规作图）．

（3）知识应用

①判断题（正确的打√，错误的打×）：

ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 　   　；

ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 　   　．

②已知正方形ABCD，P是正方形内部一点，且PA+PB+PC的最小值为，求正方形ABCD的

边长．

12．背景资料：

在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．

这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．

如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此时，PA+PB+PC的值最小．

解决问题：

（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．

为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　   　；

基本运用：

（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；

能力提升：

（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题21旋转模型综合问题

【例1】．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．

（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．

①求证：△ABP∽△BCP；

②若PA＝3，PC＝4，则PB＝　2　．

（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）

①求∠CPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点．

【分析】（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；

②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；

（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1＝∠2，再由对顶角相等，得到∠5＝∠6，即可求出所求角度数；

②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．

【解答】（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，

∴∠PAB＝∠PBC，

又∵∠APB＝∠BPC＝120°，

∴△ABP∽△BCP，

②解：∵△ABP∽△BCP，

∴＝，

∴PB2＝PA•PC＝12，

∴PB＝2；

故答案为：2；

（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，

∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，

在△ACE和△ABD中，

，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝∠4，

∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；

②证明：方法一：∵△ADF∽△CFP，

∴＝，

∴AF•PF＝DF•CP，

∵∠AFP＝∠CFD，

∴△AFP∽△CDF．

∴∠APF＝∠ACD＝60°，

∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，

∴∠BPC＝120°，

∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，

∴P点为△ABC的费马点．

方法二：由①知：∠CPD＝60°，

∴∠BPC＝180°﹣∠CPD＝120°，

由①知：∠1＝∠2，

∴A，P，C，D共圆，

∴∠APC+∠ADC＝180°，

∴∠APC＝180°﹣∠ADC＝120°，

∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，

∴P点为△ABC的费马点．

【例2】．如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．

【分析】（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB；

（2）连接MN，由（1）的结论证明△BMN为等边三角形，所以BM＝MN，即AM+BM+CM＝EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

（3）根据（2）中费马点的定义，又△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点．

【解析】（1）证明：∵△ABE为等边三角形，

∴AB＝BE，∠ABE＝60°．

而∠MBN＝60°，

∴∠ABM＝∠EBN．

在△AMB与△ENB中，

∵，

∴△AMB≌△ENB（SAS）．

（2）连接MN．由（1）知，AM＝EN．

∵∠MBN＝60°，BM＝BN，

∴△BMN为等边三角形．

∴BM＝MN．

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．

∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．

此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；

∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

（3）由（2）知，△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上．

因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点．

【例3】．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．

（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P　是　（填是或不是）该三角形的费马点．

（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；

（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）

①求∠CPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点．

【分析】（1）依据等腰三角形三线合一的性质可知：MB平分∠ABC，则∠ABP＝30°，同理∠BAP＝30°，则∠APB＝120°，同理可求得∠APC，∠BPC的度数，然后可作出判断；

（2）由费马点的定义可知∠PAB＝∠PBC，然后再证明∠PAB＝∠PBC即可；

（3）如图2所示：①首先证明△ACE≌△ABD，则∠1＝∠2，由∠3＝∠4可得到∠CPD＝∠5； ②由∠CPD＝60°可证明∠BPC＝120°，然后证明△ADF∽△CFP，由相似三角形的性质和判定定理再证明△AFP∽△CDF，故此可得到∠APF＝∠ACD＝60°，然后可求得∠APC＝120°，接下来可求得∠APB＝120°．

【解析】（1）如图1所示：

∵AB＝BC，BM是AC的中线，

∴MB平分∠ABC．

同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．

∴∠APB＝120°．

同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．

∴P是△ABC的费马点．

故答案为：是．

（2）∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，

∴∠PAB＝∠PBC，

又∵∠APB＝∠BPC＝120°，

∴△ABP∽△BCP．

（3）如图2所示：

①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，

∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，

在△ACE和△ABD中，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝∠4，

∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；

②证明：∵△ADF∽△CFP，

∴AF•CF＝DF•PF，

∵∠AFP＝∠CFD，

∴△AFP∽△CDF．

∴∠APF＝∠ACD＝60°，

∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，

∴∠BPC＝120°，

∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，

∴P点为△ABC的费马点．

【例4】．【方法呈现】：

（1）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1），设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；

【实际运用】：

（2）如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，AB＝BC，连接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小；

【拓展延伸】：

（3）如图3，点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC的面积是　+3　（直接填答案）

【分析】（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积＝扇形BAC的面积﹣扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．

（2）连接PP′，求出△PBP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得PP′＝4，∠BP′P＝45°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP′P＝90°，然后计算即可得解；

（3）根据全等三角形的面积相等求出△APB与△APC的面积之和等于四边形APCP1的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解，同理求出△ABP和△BPC的面积的和，△APC和△BPC的面积的和，从而求出△ABC的面积，然后根据△BPC的面积＝△ABC的面积﹣△APB与△APC的面积的和计算即可得解．

【解析】（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，

∴△PAB≌△P'CB，

∴S△PAB＝S△P'CB，

S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形BPP′＝（a2﹣b2）；

（2）如图2，连接PP′．

∵将△PAB绕B点顺时针旋转90°，与△P′CB重合，

∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′＝90°，

∴BP＝BP′，∠APB＝∠CP′B，AP＝CP′＝2，

∴△PBP′是等腰直角三角形，

∴PP′＝PB＝4，∠BP′P＝45°．

在△CPP′中，∵PP′＝4，CP′＝2，PC＝6，

∴PP′2+CP′2＝PC2，

∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P＝90°，

∴∠CP′B＝∠BP′P+∠CP′P＝45°+90°＝135°；

（3）如图3①，将△PAB绕A点逆时针旋转60°得到△P1AC，连接PP1，

∴△APB≌△AP1C，

∴AP＝AP1，∠PAP1＝60°，CP1＝BP＝4，

∴△PAP1是等边三角形，

∴PP1＝AP＝3，

∵CP＝5，CP1＝4，PP1＝3，

∴PP12+CP12＝CP2，

∴△CP1P是直角三角形，∠CP1P＝90°，

∴S△APP1＝×3×＝，S△PP1C＝×3×4＝6，

∴S四边形APCP1＝S△APP1+S△PP1C＝+6；

∵△APB≌△AP1C，

∴S△ABP+S△APC＝S四边形APCP1＝+6；

如图3②，同理可求：△ABP和△BPC的面积的和＝×4×+×3×4＝4+6，

△APC和△BPC的面积的和＝×5×+×3×4＝+6，

∴△ABC的面积＝（+6+4+6++6）＝+9，

∴△APC的面积＝△ABC的面积﹣△APB与△BPC的面积的和＝（+9）﹣（4+6）＝+3．

故答案为+3．

1．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．

（1）求点P与点P′之间的距离；

（2）求∠APB的度数．

【分析】（1）由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA＝P′A，旋转角∠P′AP＝∠BAC＝60°，所以△APP′为等边三角形，即可求得PP′；

（2）由△APP′为等边三角形，得∠APP′＝60°，在△PP′B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB＝90°，可求∠APB的度数．

【解析】（1）连接PP′，由题意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，

∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，

所以∠PAP′＝60度．故△APP′为等边三角形，

所以PP′＝AP＝AP′＝6；

（2）利用勾股定理的逆定理可知：

PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°

可求∠APB＝90°+60°＝150°．

2．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为 　2　，正方形ABCD的边长为 　　．

（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．

（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：

如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为 　　．

【分析】（1）由旋转的性质得BP＝BP′＝3，P′C＝PA＝，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，则△BPP′为等腰直角三角形，再由勾股定理得PC＝2，过点A作AE⊥BP交BP的延长线于E，则△AEP是等腰直角三角形，得AE＝PE＝1，得BE＝4，然后由勾股定理即可求解；

（2）由旋转的性质得△BPP′是等边三角形，则PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，AP＝3，AP′＝PC＝5，再由勾股定理得逆定理得△APP′为直角三角形，即可求解；

（3）由旋转的性质得AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，则△DAK是等腰直角三角形，得DK＝3，∠ADK＝45°，再证∠CDK＝90°，即可解决问题．

【解析】（1）∵△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，

∴BP＝BP′＝3，P′C＝PA＝，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，

∴△BPP′为等腰直角三角形，

∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB＝3，

∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，

在Rt△PP′C中，由勾股定理得：PC＝＝＝2，

过点A作AE⊥BP交BP的延长线于E，如图1所示：

∵∠APB＝135°，

∴∠APE＝180°﹣135°＝45°，

∴△AEP是等腰直角三角形，

∴AE＝PE＝PA＝×＝1，

∴BE＝PB+PE＝3+1＝4，

在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，

故答案为：2，；

（2）∠APB的度数为150°，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝60°，

将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，如图2所示：

则△BPP′是等边三角形，

∴PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，

∵AP＝3，AP′＝PC＝5，

∴P'P2+AP2＝AP'2，

∴△APP′为直角三角形，

∴∠APP′＝90°，

∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝90°+60°＝150°；

（3）∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，

∴△BAC是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝90°，AB＝AC，

将△ABD绕点A顺时针旋转90°，得到△ACK，连接DK，如图3所示：

由旋转的性质得：AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，

∴△DAK是等腰直角三角形，

∴DK＝AD＝3，∠ADK＝45°，

∴∠CDK＝∠ADC+∠ADK＝45°+45°＝90°，

∴△CDK是直角三角形，

∴CK＝＝＝，

∴BD＝，

故答案为：．

3．问题：如图1，在等边△ABC内部有一点P，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数？

（1）请写出常见四组勾股数：　3，4，5　、　5，12，13　、　7，24，25　、　6，8，10　．

（2）解决方法：通过观察发现PA，PB，PC的长度符合勾股数，但由于PA，PB，PC不在一个三角形中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将△ABP绕A逆时针旋转60°到△AP′C，此时△ABP≌△ACP'，这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出∠APB＝　150°　．请写出解题过程．

（3）应用：请你利用（2）题的思路，解答下面的问题：

如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC的点，且∠EAF＝45°，若BE＝m，FC＝n，请求出线段EF的长度（用m、n的代数式表示）．

【分析】（1）根据勾股数的定义解决问题即可．

（2）根据等边三角形的性质得出AB＝AC，∠BAC＝60°，根据旋转得出△ACP′≌△ABP，求出PA＝P′A＝3，PB＝P′C＝4，∠BAP＝∠CAP′，求出∠P′AP＝∠BAC＝60°，推出△PAP′是等边三角形，求出PP′＝P′A＝3，根据勾股定理的逆定理求出∠PP′C＝90°，即可得出答案；

（3）根据旋转得出△ACE′≌△ABE，根据全等得出AE＝AE′，BE＝CE′，∠E′AC＝′BAE，求出∠FAE′＝∠EAF，根据全等三角形的判定推出△AEF≌△AE′F，推出FE＝FE′，根据勾股定理求出E′F即可．

【解析】（1）勾股数：3，4，5；5，12，13，7，24，25；6，8，10；

故答案为：3，4，5；5，12，13，7，24，25；6，8，10；

（2）如图1，将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处，则△ACP′≌△ABP，

∵三角形ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴PA＝P′A＝3，PB＝P′C＝4，∠BAP＝∠CAP′，

∴∠P′AP＝∠PAC+∠CAP′＝∠PAC+∠BAP＝∠BAC＝60°，

∴△PAP′是等边三角形，

∴PP′＝P′A＝3，

在△PP′C中，PP'2+P′C2＝9+16＝25＝PC2，

∴△PP′C是直角三角形，

∴∠PP′C＝90°，

∴∠APB＝∠AP′C＝60°+90°＝150°．

故答案为150°．

（3）如图2中，将△ABE绕顶点A逆时针旋转90°到△ACE′处，则△ACE′≌△ABE，

∴AE＝AE′，BE＝CE′，∠E′AC＝∠BAE，

∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠CAF＝45°，

∠FAE′＝∠E′AC+∠FAC＝∠BAE+∠FAC＝45°＝∠EAF，

在△AEF和△AE′F中，

，

∴△AEF≌△AE′F（SAS），

∴FE＝FE′，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠E′CA＝∠B＝45°，

∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，

在Rt△E′FC中，E′C2+FC2＝E′F2，

∴EF2＝BE2+CF2＝m2+n2，

∴EF＝．

4．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

分析：要直接求∠APB的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内．

解：如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．

∴　PD　＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°

∵△ABC是等边三角形

∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝　∠CAD　

∴△ABP≌△ACD

∴BP＝CD＝4，　∠APB　＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2

∴∠PDC＝　90　°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．

（3）拓展应用．如图（4），△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为　　．

【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质解决问题即可．

（2）如图3中，把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，利用勾股定理的逆定理证明∠APD＝90°即可解决问题．

（3）如图4中，先由旋转的性质得出△ABP≌△DBE，则∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，再证明∠DBC＝90°，然后在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD的长度，即为PA+PB+PC的最小值；

【解析】（1）如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．

∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°

∵△ABC是等边三角形

∴AC＝AB，∠BAC＝60°，

∴∠BAP＝∠CAD，

∴△ABP≌△ACD（SAS）

∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2

∴∠PDC＝90°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

故答案为：PD，∠CAD，∠APB，90．

（2）解：∵∠ABC＝90°，BC＝AB，

∴把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，如图，

∴AD＝PC＝3，BD＝BP＝2，

∵∠PBD＝90°

∴DP＝PB＝2，∠DPB＝45°，

在△APD中，AD＝3，PD＝2，PA＝1，

∵12+（2）2＝32，

∴AP2+PD2＝BD2，

∴△APD为直角三角形，

∴∠APD＝90°，

∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．

（3）解：如图4中，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，

∴△ABP≌△DBE

∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，

∴△BPE是等边三角形

∴EP＝BP

∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE

∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD

∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC

∴∠DBE+∠PBC＝30°

∴∠DBC＝90°

∴CD＝＝＝，

故答案为．

5．如图1，D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接AD、BE、CF，三条线段两两分别相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．

（1）证明：EF＝DF；

（2）如图2，点M是ED上一点，连接CM，以CM为边向右作△CMG，连接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，证明：CG＝CM．

（3）如图3，在（2）的条件下，当点M与点D重合时，若CD⊥AD，GD＝4，请问在△ACD内部是否存在点P使得P到△ACD三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．

【分析】（1）可先推出∠CAF＝∠ABD，再证△ACF≌△BAD，即可得出结论；

（2）在EF上截取EN＝EM，连接MN，可推出△EMN是等边三角形，可证△NCM≌△EGM，然后推出△CMG是等边三角形，从而问题得证；

（3）先求得AD＝，将△DPC绕点D顺时针旋转60°至△DQG，连接AG，可得△PDQ是等边三角形，于是AP+PD+CP＝AP+PQ+QG，故当A、P、Q、G共线时，AP+PD+CP最小＝AG，最后解斜三角形ADG，从而求得．

【解答】（1）证明：如图1，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB，

∠ACB＝60°，

∴∠CAF+∠DAB＝60°，

∵∠EDF＝60°，

∴∠DAB+∠ABD＝60°，

∴∠CAF＝∠ABD，

∵AF＝BD，

∴△ACF≌△BAD（SAS），

∴EF＝DF；

（2）证明：如图2，

由（1）知，

EF＝DF，∠EDF＝60°，

∴△DEF是等边三角形，

∴∠DEF＝60°，

在EF上截取EN＝EM，连接MN，

∴CN＝CE+EN＝CE+EM＝EG，

∴△EMN是等边三角形，

∴∠CNM＝60°，

∵∠GMC＝∠GEC，∠α＝∠β，

∴∠NCM＝∠EGM，

∵CM＝GM，

∴△NCM≌△EGM（SAS），

∴∠MEG＝∠CNM＝60°，

∴∠CEG＝180°﹣∠MEG﹣∠FED＝60°，

∴∠GME＝∠GEC＝60°，

∵CM＝GM，

∴△CMG是等边三角形，

∴CG＝CM；

（3）解：如图3，

由（1）（2）知，

△DEF和△CDG是等边三角形，

∴∠CFD＝60°，CD＝GD＝4，

∵CD⊥AD，

∴∠CDF＝90°，

∴AD＝CF＝＝，

将△DPC绕点D顺时针旋转60°至△DQG，连接AG，

∴AD＝DQ，CP＝QG，

∴△PDQ是等边三角形，

∴PD＝PQ，

∴AP+PD+CP＝AP+PQ+QG，

∴当A、P、Q、G共线时，AP+PD+CP最小＝AG，

作GH⊥AD于H，

在Rt△DGH中，

GH＝DG＝2，

DH＝DG＝2，

∴AH＝AD+DH＝+2＝，

∴AG＝

＝

＝，

∴AP+PD+CP的最小值是．

6．如图①，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．

（1）如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且∠ABC＝60°．

①求证：△ABP∽△BCP；

②若PA＝3，PC＝4，求PB的长．

（2）已知锐角三角形ABC，分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P点，连结AP，如图②．

①求∠CPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点．

【分析】（1）①由三角形内角和定理可求∠PBA+∠PAB＝60°，可证∠PBC＝∠BAP，可得结论；

②由相似三角形的性质可得，即可求解；

（2）①由“SAS”可证△ACE≌△ADB，可得∠1＝∠2，即可求解；

②通过证明△ADF∽△CFP，可得，可证△AFP∽△CDF，可得∠APF＝∠ACD＝60°，可得结论．

【解答】（1）①证明：∵点P为锐角三角形ABC的费马点，

∴∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，

∴∠PBA+∠PAB＝60°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABP+∠PBC＝60°，

∴∠PBC＝∠BAP，

又∵∠APB＝∠BPC，

∴△ABP∽△BCP，

②解：∵△ABP∽△BCP，

∴，

又∵PA＝3，PC＝4，

∴，

∴PB＝2；

（2）①解：设AC与BD的交点于F，

如图，∵△ABE与△ACD都为等边三角形，

∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，

在△ACE和△ADB中，

，

∴△ACE≌△ADB（SAS），

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝∠4，

∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；

②证明：∵∠1＝∠2，∠5＝∠6，

∴△ADF∽△CFP，

∴，

∴AF•PF＝DF•CP，

∵∠AFP＝∠CFD，

∴△AFP∽△CDF，

∴∠APF＝∠ACD＝60°，

∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，

∴∠BPC＝120°，

∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，

∴P点为△ABC的费马点．

7．【问题情境】

如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为 　5　．

【问题解决】

如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．

【问题解决】

如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE＝cm，点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据≈1.7，10.52＝110.25）．

【分析】（1）作出三角形的外接圆O，证明△OBA是等边三角形，利用三线合一性质计算即可；

（2 ）点P在以BC为直径的圆上，根据圆心，P，A三点共线时AP最小，计算即可；

（3）如图3，设∠BPE所在圆的圆心为点O，根据（1）可得∠BPE所在圆的半径，以点D为旋转中心，将△DQA顺时针旋转60°，得到△DFN，当N，F，Q，P，O共线时，QA+QD+QP最小，构造直角三角形求解即可．

【解析】（1）如图1，作△ABC的外接圆O，作直径AD，连接OB，

∵AB＝AC，

∴AO⊥BC，∠BAO＝60°，

∵OA＝OB，

∴△OBA是等边三角形，

∴AB＝OA＝OB，

设AD与BC交于点E，BE＝BC＝，

在直角三角形ABE中，

∵sin∠BAO＝，

∴sin60°＝＝，

∴AB＝5，

∴OA＝5，

故答案为：5；

（2 ）如图2，

∵∠BPC＝90°，

∴点在以BC为直径的圆上，设圆心为点O，

则OP＝BC＝2，

∴O，P，A三点线时AP最小，

在直角三角形ABO中，

AO＝＝2，

∵PO＝2，

∴AP的最小值为：AO﹣PO＝2﹣2；

（3）如图3，设∠BPE所在圆的圆心为点O，根据（1）可得∠BPE所在圆的半径为＝2，以点D为旋转中心，将△DQA顺时针旋转60°，得到△DFN，当N，F，Q，P，O共线时，QA+QD+QP最小，过点N作NG⊥AB交BA的延长线于点G，连接AN，则△AND是等边三角形，过点O作OM⊥GN于M交BC于点H，连接OB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC∥GN，

∴OH⊥BC，

∵BE＝2，

∴BH＝，

∴OH＝＝1，

∵AD＝DN，∠ADN＝60°，

∴△AND是等边三形，且AN＝3，∠NAD＝60°，

∴∠GAN＝30°，

∴GN＝ANsin30°＝，AG＝ANcos30°＝，

∴OM＝OH+AB+AG＝+1+3＝+3，MN＝GN﹣BH＝﹣＝，

∴ON＝＝≈11，

∴QA+QD+QP最小值为：11﹣2＝9（cm）．

8．问题提出

（1）如图，点M、N是直线l外两点，在直线l上找一点K，使得MK+NK最小．

问题探究

（2）在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数的大小．

问题解决

（3）如图，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝30米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B，C的距离之和最小．问：是否存在这样的点E？

若存在，请画出点E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点M、N是，与直线l交于点K，点K 即为所求；

（2）把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，由旋转的性质可知APP′是等边三角形，所以∠AP′P＝60°，由勾股定理逆定理可知∠PP′C＝为直角，从而求得∠AP′C为150°，所以∠APB为150°；

（3）把△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE′，由旋转的性质，A′B＝AB＝30，BE′＝BE，A'E′＝AE，∠E′BE＝60°，A'BA＝60°，所以△E′BE是等边三角形，

根据两点间线段距离最短，可知当EA+EB+EC＝A'C时最短，连接A'C，与BD的交点时，点E即为所求，此时EA+EB+EC最短，最短距离为A'C的长度，然后过点A'作A'G⊥BC，利用勾股定理求出A'C的长度，即求得EA+EB+EC的和的最小值．

【解析】（1）如图1，连接点M、N，与直线l交于点K，点K 即为所求．

（2）如图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C，

由旋转的性质，P′A＝PA＝3，P′C＝PB＝4，∠PAP′＝60°，

∴△APP′是等边三角形，

∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°，

∵PP′2+P′C2＝32+42＝25，PC2＝52＝25，

∴PP′2+P′C2＝PC2，

∴∠PP′C＝90°，

∴∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；

故∠APB＝∠AP′C＝150°；

（3）如图3，把△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE′，

由旋转的性质，A′B＝AB＝30，BE′＝BE，A'E′＝AE，∠E′BE＝60°，∠A'BA＝60°，

∴△E′BE是等边三角形，

∴BE＝EE'，

∴EA+EB+EC＝A'E′+EE'+EC，