苏科版九年级下册第6章 图形的相似综合与测试课后测评

2021-2022学年第2单元：《图形的相似》

高频易错题

一、单选题

1．（2021秋•市中区期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（　　）

A．2米 B．3米 C．米 D．米

2．（2021秋•椒江区期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且满足△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则CE的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（2021秋•吴兴区期末）如图△ACB，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，CD平分∠BCO交AB于点D，作AE⊥CD分别交CO、BC于点G，E．记△AGO的面积为S1，△AEB的面积为S2，当＝时，则的值是（　　）

A． B． C． D．

4．（2021秋•阜宁县期末）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）

A． B．∠ADC＝∠ACB C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB

5．（2021秋•常州期末）如图，在▱ABCD中，E是AB上一点，且BE＝2AE，连接DE交AC于点F，已知S△AFE＝1，则S△ADC的值是（　　）

A．9 B．10 C．12 D．14

6．（2021秋•永春县期末）如果两个三角形相似且相似比9：16，那么这两个三角形对应边上的高的比是（　　）

A．81：256 B．9：16 C．3：4 D．16：9

7．（2021秋•合肥期末）如图，在△ABC中，点D、E和点F、G分别是边AB、AC的三等分点，△ABC的面积为18，则四边形DEGF的面积为（　　）

A．2 B．3 C．6 D．9

8．（2021秋•潜山市期末）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC＝（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5

9．（2021秋•浦东新区校级期末）如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（　　）

A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF 

C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC

10．（2021秋•庐阳区期末）如图，△ABC中，点D是边BC上一点，下列条件中，不能判定△ABC与△ABD相似的是（　　）

A．AB2＝BD•BC B．∠BDA＝∠BAC 

C．∠ADC＝∠C+∠B D．AD•BC＝AB•AC

11．（2021•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记△AEG面积为S1，△CBD面积为S2，若EG＝BD，S1+S2＝16，则DE的长为（　　）

A． B． C．4 D．8

12．（2021春•安徽期末）如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N下列结论：

①DE＝CN；②＝；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤GN+EG＝BG；

其中正确结论的个数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题

13．（2021秋•秦都区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF：AD＝1：3，EF交AC于G．若AC＝40，则AG＝　   　．

14．（2022•南岗区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为AB边上一点，AD＝3BD，CD＝2，点E在直线AC上，∠CDE＝45°，则AE＝　   　．

15．（2021秋•九江期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O为AC的中点，点P是射线BO上的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为 　   　．

16．（2021秋•靖江市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，△OCD是以点O为位似中心，且与△OAB的相似比为的位似图形．若点A的坐标为（3，2），则点C的坐标为 　   　．

17．（2021秋•通州区期末）如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶部．如果王青眼睛与地面的距离KL＝1.6m，同时量得LM＝0.4m，MS＝5m，则楼高TS＝　   　m．

18．（2021秋•南京期末）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 　   　．

19．（2021秋•崇川区期末）在我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意为：如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为5步和12步，则它的内接正方形CDEF的边长为 　   　步．

20．（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP＝2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP＝4，则l1与l2之间的最大距离为 　   　．

三、解答题

21．（2021秋•包河区校级期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；

（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C．

22．（2021秋•高邮市期末）如图，将△ABC绕点A旋转至△AB'C'的位置，点B'恰好在BC上，AC与B'C'交于点E，连接CC'．

（1）求证：；

（2）求证：△ABB'∽△ACC'．

23．（2021秋•包河区期末）已知，如图，AB∥DC，∠ABC+∠ADB＝180°．

（1）求证：△ABD∽△BDC；

（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF＝2AE，S△ABD＝3，求S△BDC．

24．（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．

（1）求证△ACD∽△ABC；

（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．

25．（2021秋•蜀山区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为边BC上一动点（不与B、C重合），BD和AD的垂直平分线交于点E，连接AD、AE、DE和BE，ED与AB相交于点F，设∠BAE＝α．

（1）请用含α的代数式表示∠BED的度数；

（2）求证：△ACB∽△AED；

（3）若α＝30°，求的值．

26．（2021秋•玄武区期末）在△ABC与△A'B'C'中，点D与D'分别在边BC，B'C'上，∠B＝∠B'，．

（1）如图1，当∠BAD＝∠B'A'D'时，求证△ABC∽△A'B'C'；

（2）当∠CAD＝∠C'A'D'时，△ABC与△A'B'C'相似吗？小明发现：△ABC与△A'B'C'不一定相似．小明先画出了△ABC∽△A'B'C'的示意图，如图2所示，请你利用直尺和圆规在小明所画的图②中，作出△ABC与△A'B'C'不相似的反例．

（3）小明进一步探索：当∠B＝∠B'＝30°，∠CAD＝∠C'A'D'＝60°时，设＝k（0＜k＜1），如果存在△ABC∽△A'B'C'，那么k的取值范围为 　   　．

参考答案与试题解析

一．选择题

1．【解答】解：由题意知：AB∥CD，

则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，

∴△ABE∽△CDE，

∴＝，

∴＝，

∴CD＝3米，

故选：B．

2．【解答】解：∵△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，

∴＝，

∴＝，

∴AE＝5，

∴CE＝AC﹣AE＝3，

故选：B．

3．【解答】解：如图，连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T．

∵AO＝OB，

∴S△AOG＝S△OBG，

∵＝，

∴＝，

∴＝，

∵OT∥AE，AO＝OB，

∴ET＝TB，

∴OT＝AE，

∴＝，

∵AE⊥CD，CD平分∠BCO，

∴∠DCG＝∠DCE，

∴∠CGE+∠DCG＝90°，∠CEG+∠DCB＝90°，

∴∠CGE＝∠CEG，

∴CG＝CE，

∵∠CGE＝∠COT，∠CEG＝∠CTD，

∴∠COT＝∠CTD，

∴CO＝CT，

∴OG＝ET，

∵GE∥OT，

∴＝＝，

∴＝，

∴＝．

故选：D．

4．【解答】解：若＝，不能判定△ACD与△ABC相似，当＝，结合∠A＝∠A可判定△ACD与△ABC相似，故A选项符合题意；

若∠ADC＝∠ACB，结合∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，故B选项不符合题意；

若∠ACD＝∠B，结合∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC；故C选项不符合题意；

若AC2＝AD•AB，即＝，结合∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC；故D选项不符合题意；

故选：A．

5．【解答】解：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，

∴△AEF∽△CDF，

∴＝（）2，

∵BE＝2AE，

∴AB＝CD＝3AE，

∴＝（）2＝（）2＝，

∵S△AFE＝1，

∴S△CDF＝9，

∵△AEF∽△CDF，

∴＝＝，

∴＝，

∴S△ADF＝3，

∴S△ADC＝S△CDF+S△ADF＝9+3＝12．

故选：C．

6．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为9：16，

∴这两个三角形对应边上的高之比为9：16，

故选：B．

7．【解答】解：∵点D、E、F、G分别是边AB、AC的三等分点，

∴DF∥EG∥BC，AD：AE：AB＝1：2：3，

∴△ADF∽△AEG∽△ABC，

∴S△ADF：S△AEG：S△ABC＝1：4：9，

∵△ABC的面积为18，

∴S△ADF＝2，S△AEG＝8，

∴四边形DEGF的面积为8﹣2＝6．

故选：C．

8．【解答】解：作DH∥AC交BF于H，如图，

∵DH∥AF，

∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，

∵DE＝AE，

∴△EDH≌△EAF（AAS），

∴DH＝AF，

∵点D为BC的中点，DH∥CF，

∴DH为△BCF的中位线，

∴CF＝2DH＝2AF，

∴AF：FC＝1：2，

故选：A．

9．【解答】解：∵∠BEC＝∠CDB，∠EFB＝∠DFC，

∴△EFB∽△DFC，

∴＝，

∴EF•FC＝DF•FB，

故A不符合题意：

∵△EFB∽△DFC，

∴＝，

∴BE•CF＝CD•BF，

故B不符合题意；

∵∠BEC＝∠CDB，∠BEC+∠AEC＝180°，∠BDC+∠ADB＝180°，

∴∠AEC＝∠ADB，

∴△ABD∽△ACE，

∴＝，

∴AB•AE＝AD•AC，

故C符合题意；

因为：AE，BE，AD，CD组不成三角形，也不存在比例关系，

故D不符合题意；

故选：C．

10．【解答】解：A．∵AB2＝BD•BC，

∴＝，

∵∠B＝∠B，

∴△BAD∽△BCA，

故A不符合题意；

B．∵∠BDA＝∠BAC，∠B＝∠B，

∴△BAD∽△BCA，

故B不符合题意；

C．∵∠ADC＝∠C+∠B，∠ADC＝∠BAD+∠B，

∴∠C＝∠BAD，

∵∠B＝∠B，

∴△BAD∽△BCA，

故C不符合题意；

D．∵AD•BC＝AB•AC，

∴＝，

∵∠B≠∠BAD，

∴不能判定△ABC与△ABD相似，

故选：D．

11．【解答】解：∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，

∴∠ACD＝∠B，

∴△ACD∽△CBD，

∴＝，

∴CD2＝AD•BD，

∵四边形CDEF是正方形，

∴CD＝DE，

∵△AEG面积＝S1＝AE•EG，△CBD面积＝S2＝BD•CD，且EG＝BD，

∴S1+S2＝AE•EG+BD•CD＝BD•（AE+CD）＝BD•（AE+ED）＝BD•AD＝CD2＝16，

∴CD2＝32，

∴CD＝4．

∴DE＝CD＝4．

故选：A．

12．【解答】解：①∵在正方形ABCD中，∠NBC＝∠ECD＝90°，

∴BC＝CD，∠BCN+∠GCD＝90°，

∵CG⊥DE，

∴∠CDG+∠GCD＝90°，

∴∠BCN＝∠CDG，

∴△NBC≌△ECD（ASA），

∴DE＝CN，

故①正确；

②∵在正方形ABCD中，AB∥CD，

∴△NBH∽△CDH，

∴＝，

∵△NBC≌△ECD（ASA），E为BC的中点，四边形ABCD是正方形，

∴NB＝BC＝CD，

∴＝＝，

故②正确；

③如下图所示，过H点作IJ∥AD，

∵△NBH∽△CDH，

∴I③J＝HJ，

∴HI＝IJ＝DC，

∴S△DEC＝EC•DC，S△BNH＝BN•HI＝EC×DC＝×（×EC×DC），

∴S△DEC＝3 S△BNH，

故③正确；

④过点B作BP⊥CN于点P，BQ⊥DG交DE的延长线上于点Q，

∴∠BPC＝∠BQD＝∠PGQ＝90°，

∴四边形PBQG是矩形，

∴∠PBQ＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠NBP＝∠QBE，

由①得△NBC≌△ECD，

∴EC＝BN，

∵E是BC的中点，

∴BE＝EC，

∴BE＝BN，

∵∠BPN＝∠BQE＝90°，

∴△BPN≌△BQE（AAS），

∴BP＝BQ，

∴四边形PBQG是正方形，

∴∠BGE＝45°，

故④正确；

⑤如图所示，连接N，E，

设BN＝x，则BE＝EC＝x，BC＝2x，

∵CG⊥DE，∠NBC＝90°，

∴CN＝＝＝，

EN＝＝＝，

由△ECN面积可得CN•GE＝EC•BN，

∴GE＝，

∴GN＝＝，

∴GN+GE＝+＝，

∴GC＝CN﹣GN＝﹣＝，

∵AB∥CD，

∴△NGB∽△CGF，

∴，

∴BG＝FG，

∴BG＝BF，FC＝BN＝x，

∴BG＝×＝，

∴GN+GE＝BG，

故⑤正确；

综上所述，故选：D．

二．填空题

13．【解答】解：设AC的中点为O，连接EO，

∴AO＝AC＝20，

∵E是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE＝BC，OE∥BC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴AD∥OE，

∴∠FAG＝∠AOE，∠AFG＝∠OEG，

∴△AFG∽△OEG，

∴＝，

∵AF：AD＝1：3，

∴＝，

∴＝＝，

∴＝，

∴AG＝8，

故答案为：8．

14．【解答】解：①如图，点E在AC上时，

在△ABC，∠ACB＝90°，CA＝CB，

∴∠EAD＝∠CBA＝45°，

∵∠CDE＝45°，∠CDA＝∠CDE+∠ADE＝∠B+∠BCD，

∴∠ADE＝∠BCD，

∴△ADE∽△BCD，

∴，

∴AD＝，BD＝，

∴，

∴AE＝，

∵∠CDE＝∠A＝45°，

∴△CED∽△CDA，

∴，

∵CD＝2，

∴AC•CE＝40，

∴，即AE•CE＝15，

∵AE+CE＝AC，即AE+CE＝，

∴CE＝，

∴AE，

∴AE＝3；

②如图，点E在AC的延长线上，

∵∠CDE＝45°，∠DCM＝∠BCD，

∴△CDE∽△BCD，

∴，

∵CD＝2，CB＝AC，

∴BC•CM＝40，即AC•CM＝40，

∵∠EDB＝∠A+∠E，∠DCA＝∠E+∠CDE，

∠A＝∠CDE＝45°，

∴∠EDB＝∠DCA，

∵∠A＝∠B＝45°，

∴△BDM∽△ACD，

∴，

∵AC＝BC，AB＝AC，AD＝3BD，

∴AD＝，BD＝，

，

∴BM＝，

∵BM+CM＝AC，

∴CM＝，

∴AC＝8，

作DN∥BC，

∴，

∴DN＝BC×＝8×＝6，AN＝AC×＝8×＝6，

∴CN＝8﹣6＝2，

∵CM＝，

∴，

∴，

∴CE＝10，

∴AE＝AC+CE＝8+10＝18，

综上，AE＝3或18，

故答案为：3或18．

15．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O为AC的中点，

∴AO＝1，BO＝＝，

①若∠ACP＝90°时，

∵∠OCP＝∠OAB＝90°，CO＝AO，∠COP＝∠AOB，

∴△OCP≌△OAB（ASA），

∴OP＝BO，

∴BP＝OP+BO＝2；

②若∠APC＝90°，且点P在BO延长线上时，

∵O为AC的中点，

∴OP＝，

∴BP＝OP+BO＝1+；

③若∠APC＝90°，且点P在线段BO上时，

∵O为AC的中点，

∴OP＝，

∴BP＝BO﹣OP＝﹣1，

若∠CAP＝90°，则点P与B重合，此时BP＝0，

综上所述，线段BP的长为：2或+1或﹣1或0．

故答案为：2或+1或﹣1或0．

16．【解答】解：△OCD是以点O为位似中心，且与△OAB的相似比为的位似图形，

∵点A的坐标为（3，2），

∴点C的坐标为（3×（±），2×（±）），即点C的坐标为（1，）或（﹣1，﹣），

故答案为：（1，）或（﹣1，﹣）．

17．【解答】解：根据题意，

∵∠KLM＝∠TSM＝90°，∠KML＝∠TMS，

∴△KLM∽△TSM，

∴＝，即＝．

∴TS＝20．

故答案是：20．

18．【解答】解：根据题意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，

∴△AEC∽△BED，

∴＝，

∴＝，

解得AE＝．

故答案为：．

19．【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，

∴DE∥CF，DE＝DC，

∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，

∴△ADE∽△ACB，

∴＝，

∴＝，

∴＝，

∴DE＝，

∴正方形CDEF的边长为：步，

故答案为：．

20．【解答】解：如图，过点A作AG⊥l2于点G，延长CP交AG于点F，

∴PF∥BG，

∴△APF∽△ABG，

∴＝＝，

∵BP＝2AP，

设BP＝2x，AP＝x，PF＝a，（a≥0），

∴BG＝3a，AG＝3AF，

过点C作CD⊥l1于点D，

∵l1∥l2，

∴CE⊥l2，

得矩形CEGF，

∴EG＝CF＝CP+PF＝4+a，

∴BE＝EG﹣BG＝4+a﹣3a＝4﹣2a，

在Rt△APF中，根据勾股定理，得

AF＝＝，

∴FG＝2AF＝2，

∴CE＝FG＝2，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD+∠CAD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠CCB＝90°，

∴∠CAD＝∠ECB，

∴△CAD∽△ECB，

∴＝，

∵AD＝EG＝4+a，CE＝2，BE＝4﹣2a，CD＝AF＝，

∴＝，

∴（）2＝（2﹣a）（4+a）＝﹣a2﹣2a+8，

∴AF2＝﹣a2﹣2a+8，

因为二次函数开口向下，当对称轴a＝﹣1时，AF取最大值，

∵a≥0，

∴a＝﹣1时不符合题意舍去，

∴a＝0时，AF2取得最大值为8，

∴AF＝2，

∴AG＝3AF＝6，

∴l1与l2之间的最大距离为6．

故答案为：6．

三．解答题

21．【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；

（2）如图，△A2B2C为所作；

22．【解答】证明：（1）由旋转的性质可知，∠ECB′＝∠AC′E，

∵∠CEB′＝∠AEC′，

∴△CEB′∽△C′EA，

∴＝；

（2）∵∠BAC＝∠B′AC′，

∴∠BAB′＝∠CAC′，

∵AB＝AB′，AC＝AC′，

∴＝，

∴△ABB′∽△ACC′．

23．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，

∴∠ABD＝BDC，∠ABC+∠C＝180°，

∵∠ABC+∠ADB＝180°，

∴∠C＝∠ADB，

∴△ABD∽△BDC；

（2）解：∵△ABD∽△BDC，AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，BF＝2AE，

∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，

∵S△ABD＝3，

∴S△BDC＝4S△ABD＝12；

24．【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC；

（2）解：∵△ACD∽△ABC，

∴∠ACD＝∠B，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∴∠A+∠ACD＝90°，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADC＝∠BDC，

∵∠ACD＝∠B，

∴△ACD∽△CBD，

∴＝，

∴＝，

∴CD＝．

25．【解答】（1）解：∵BD和AD的垂直平分线交于点E，

∴AE＝DE，DE＝BE，

∴AE＝BE，

∴∠EBA＝∠EAB＝α，

∵∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠ABC＝45°，

∴∠DBE＝45°+α，

∴∠BDE＝∠DBE＝45°+α，

∴∠BED＝180°﹣2∠DBE＝90°﹣2α；

（2）证明：

∵AC＝BC，∠C＝90°，

∴∠3+∠DAB＝∠CAB＝∠ABC＝45°，

∵BD和AD的垂直平分线交于点E，

∴AE＝ED＝BE，

∴∠1＝∠2，∠1+∠CBA＝∠EDB，

∴∠CAB+∠2＝∠1+∠CBA，

即∠EDB＝∠CAE，

∵∠EDB+∠CDE＝180°，

∴∠CAE+∠CDE＝180°，

∵∠CAE+∠C+∠CDE+∠A ED＝360°，

∴∠C+∠AED＝180°，

∵∠C＝90°，

∴∠AED＝90°，

∴∠C＝∠AED＝90°，

∵AC：BC＝AE：ED＝1，

∴△ACB∽△AED；

（3）解：当α＝30°时，∠BED＝90°﹣60°＝30°，

∴∠AED＝∠AEB﹣∠BED＝120°﹣30°＝90°，

∵AE＝ED，

∴∠ADE＝∠AED＝45°，

∵DE＝BE，

∴∠BDE＝∠BED＝75°，

∴∠ADC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDE＝60°，

设EF＝x，则AE＝x，

∴AD＝AE＝x，

∴CD＝x，

∴＝．

26．【解答】（1）证明：∵∠B＝∠B'，∠BAD＝∠B'A'D'，

∴△ABD∽△A′B′D′，

∴＝，

∵．

∴＝，

∴＝，

∵＝，∠B＝∠B′，

∴△ABC∽△A'B'C'；

（2）如图，作△A′C′D′的外接圆交A′B′于点A″，连接A″D′，

则∠C′A″D′＝∠C′A′D′，

∵∠CAD＝∠C'A'D'，

∴∠CAD＝∠C'A″D'，

但△ABC与△A″B'C'不相似，

故图②中的△A″B′C′为所求作的反例；

（3）如图③，

当∠C＝45°时，最大，

作DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝105°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝105°﹣60°＝45°，

不妨设DE＝1，

∴AD＝＝，

∵∠B＝30°，

∴BD＝2DE＝2，

在Rt△ADF中，∠DAC＝60°，

∴DF＝AD•sin60°＝＝，

在Rt△DCF中，∠C＝45°，

∴CD＝＝，

∴＝4﹣2，

故答案是：0＜k≤4﹣2．