4月大数据精选模拟卷04-2022年高考数学大数据精选模拟卷（广东专用）

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本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设集合，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
由得，则有，
，
∵在上单调递增，则，
，如图，
观察数轴得.
2．若复数z满足z（2﹣i）＝1+4i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由z（2﹣i）＝1+4i，
得z＝＝＝，
所以复数z的共轭复数为．
3．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
，即，
整理得，，
因此，.
4．如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足．平面上的动点满足，则点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
【答案】B
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
设
所以点的轨迹是椭圆．
故选：B.
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由题意知：，而 ，
∴在定义域内单调减，故，则B错误；
，故A错误；
在第一象限的单调递增知，故C错误；
定义域内单调递减，即，故D正确；
故选：D
6．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形，
当点位于正六边形的顶点时，取最大值，
当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，
所以，.
所以，.
7．春天是鲜花的季节，水仙花就是其中最迷人的代表，数学上有个水仙花数，它是这样定义的：“水仙花数”是指一个三位数，它的各位数字的立方和等于其本身.三位的水仙花数共有4个，其中仅有1个在区间内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则在集合{142，147，152，154，157，“水仙四妹”}，共6个整数中，任意取其中3个整数，则这3个整数中含有“水仙四妹”，且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
设“水仙四妹”为且，，依题意知：，即有，可得，即“水仙四妹”为，
∴集合为，故“含有，但其余两个整数至少有一个比小”的对立事件A为“含有，但其余两个没有比小”，
∴“含有”的取法有：种，而事件A只有1种，故所求事件的取法有种，
∴即所求概率为.
8．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于随而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增
C．当，的最大值为
D．当时，
【答案】D
【详解】
由题意，，，所以；
又点代入可得，解得；
又，所以．故不正确；
所以，当，时，，，所以函数先增后减，错误；
，时，点到轴的距离的最大值为6，错误；
当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，正确．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）．
A．的焦点在轴上B．
C．的实轴长为6D．的离心率为
【答案】AD
【详解】
解：由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故A正确；
根据题意得，所以，故B错误；
双曲线的实轴长为，故C错误；
双曲线的离心率，故D正确．
10．下列结论正确的是（ ）
A．若，则是钝角三角形
B．若，则
C．，
D．若，，三点满足，则，，三点共线
【答案】AD
【详解】
在中，若，则A为钝角，所以是钝角三角形，A正确；
若，则，故B错；
，，故C错；
若，则，即，所以，，三点共线，故D正确.
11．已知函数，则（ ）
A．为的一个周期B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减D．的一个零点为
【答案】AD
【详解】
根据函数知最小正周期为，正确.
当时，，由余弦函数的对称性知，错误；
函数在上单调递减，在上单调递增，故错误；
，
，故正确.
12．如图，已知直三棱柱的所有棱长均为3，，，，分别在棱，，，上，且，是的中点，是的中点，则（ ）
A．平面
B．若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为
C．若，过，，三点的平面截三棱柱所得截面的面积为
D．过点且与直线和所成的角都为45°的直线有2条
【答案】BCD
【详解】
选项A．因为，所以，连接，，可得，相交于点，则在平面内，故A错误．
选项B，平面和所成的锐二面角为60°，点到平面和的距离均为，分别作点关于平面和的对称点，．易证当，分别取直线与平面和的交点时，的周长最短，且这个周长的最小值为，故B正确．
选项C，由A选项可知，，在过，，三点的平面中，截面面积为，故C正确．
选项D，易知，所以过点且与直线所成的角都为45°的直线构成以A为顶点，以为轴的圆锥，同理和所成的角都为45°的直线构成以A为顶点，以为轴的圆锥，所以两个圆锥的公共母线即求，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．广东省2021年的新高考按照“”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目．则甲，乙两名考生在选考科目中恰有两门科目相同的方法数为______．
【答案】
【详解】
根据题意，分两种情况讨论：
（1）甲乙两名考生选考科目相同的科在物理或历史，
另一科在“思想政治、地理、化学、生物学”中，
有种方法；
（2）甲乙两名考生选考科目相同的为“思想政治、地理、化学、生物学”中两科，
有种方法；
则甲，乙两名考生在选考科目中恰有两门科目相同的方法数为种；
故答案为：.
14．已知数列的首项，则_________．
【答案】
【详解】
由，则，
以此类推可知，对任意的，都有，
即数列是以为周期的周期数列，
因为，所以.
故答案为：.
15．已知函数，若不相等的正实数满足，且恰为的两个零点，则___________.
【答案】
【详解】
由，可得
，且，所以为上的奇函数，
，
令，当时为减函数，为增函数，根据复合函数的单调性可得在为减函数，又为上的奇函数，所以为上的减函数，又正实数满足，所以，设，
因为恰为的两个零点，所以，，
则即（舍去），或，故，可得舍去，或，故．
16．如图，在四边形ABCD中，，，，且，则实数的值为__________，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为_______．
【答案】
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以
；
建立如图所示的坐标系，
因为，，，
可得，
设，因为，则，
所以，
，
当时等号成立，
所以的最小值为，
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在，它的内角，，的对边分别为，，，，且外接圆的半径为1.
在①②③角的平分线交于点，且，请在这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，求角和的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【详解】
因为，
所以,
又因为，
上式整理得：即,
即,又，所以.
由正弦定理得：，所以.
① ，平方得：….(1)
由余弦定理得：即….(2)
(1)-(2)得：，解得，
所以.
②,由正弦定理得：，
由余弦定理得：即，
联立，解得，
所以.
③因为角的平分线交于点，且，
在中，由正弦定理得：,
在中，由正弦定理得：,
因为,
又因为BD是角的角平分线, 所以,
所以，
又，所以，
所以，所以，
在三角形ABC中：，
所以.
18．已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且为和的等差中项；数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求证：数列是等差数列，并求数列的前项和．
【详解】
（1）由题意，，
∴，即，
设等比数列的公比为，则，又，
∴，即，解得（舍去），
∴．
（2）由（1）知：，
∴，即，
∴，即，又，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，即，
∴，即①，
②，
①②可得，，
∴．
19．某商场为吸引客源推出了为期三天的优惠活动，全场购物每满1000元减300元，即一次购物总金额（未享受优惠前）为元，若，付款时无优惠；若，付款时优惠300元；若，付款时优惠600元……以此类推．某机构在该商场门口随机采访了位购物的顾客，统计他们的购物金额如下表所示，并将购物总金额低于元的顾客称为“理性购物者”，购物总金额不低于元的顾客称为“非理性购物者”．
（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否为“理性购物者”与性别有关？
（2）设甲、乙两名“非理性购物者”相互独立地来此商场购物，甲、乙两位顾客的购物总金额（单位：元）在内的概率分别为，，在内的概率分别为，.设甲、乙两位顾客付款时的优惠金额之和为随机变量，求的分布列与数学期望．
参考公式及数据：，其中．
【详解】
（1）由题可得的观测值，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，能认为“理性购物者”与性别有关．
（2）由题可得，购物总金额在内，优惠元，购物总金额在内，优惠元，
则随机变量的所有可能取值为，，，
且，
，
，
所以的分布列为
所以．
20．如图，在等腰梯形中，，，矩形所在的平面垂直于平面，设平面与平面的交线为．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求线段的长度．
【详解】
解：（1）因为四边形为矩形，所以，平面，平面.
所以平面.
又平面，平面与平面的交线为，所以.
因为，平面平面，平面平面，
所以平面，所以平面.
（2）设的中点为，的中点为G，的中点为M，则两两垂直，以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则点的坐标为，点的坐标为.
作，交于点，在中，，
所以点的坐标为，点的坐标为，所以.
设平面的法向量为，则，即，
令，解得，所以平面的一个法向量为.取平面的一个法向量为，
因为二面角的大小为，所以，即，
解得（负值不合题意，已舍去），所以线段AF的长度为.
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆的左顶点，且，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，为椭圆上异于点的动点，设直线，的斜率分别为，，且，过原点作直线的垂线，垂足为点．问：是否存在定点，使得线段的长为定值？若存在，求出定点的坐标及线段的长；若不存在，请说明理由．
【详解】
（1）设，，因为，
所以，所以，
又椭圆的离心率为，
所以，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由（1）可知点的坐标为，设直线的方程为，，，
将代入，消去可得，
则，，，
由，可得，即，
即，化简可得，
所以，所以（舍去）或，所以直线的方程为，即，
当时，，所以直线过定点．
因为，所以点在以为直径的圆上，
所以当点为线段的中点时，线段的长为定值，此时点的坐标为，线段的长为．
22．已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数.
【详解】
（1）当时，，函数的定义域为
所以，设，则
所以函数在上单调递增.
又，所以当时，；当时，
所以当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）当时，由（1）可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以，所以函数有且仅有一个零点.
当时，，所以函数没有零点.
当时，，设，则，
所以函数在上单调递增，
又，，所以存在，使得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
又且，所以，，所以.
令，则且.
令，则且.
下面先证：，令，则
故函数在上单调递增，所以，所以
所以.
令，则
所以函数在上单调递减，所以
所以，所以函数在和内各有一个零点，所以函数有两个零点
综上，当时，函数没有零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.理性购物者
非理性购物者
合计
男性
40
10
50
女性
25
25
50
合计
65
35
100