5月大数据精选模拟卷04-2022年高考数学大数据精选模拟卷（广东专用）

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本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
∵，，
∴或，
∴.
故选：C.
2．若向量，且与共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
，
，，
与共线，
，解得.
3．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
，所以，，
则，因此，的虚部为.
故选：B.
4．已知是第四象限的角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为是第四象限的角，所以，
则.
故选：B.
5．已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
设鸡的个数为,兔子的个数为，则，解得：
故共有鸡只，兔子只，
故只鸡， 只兔子走出房门，共有种不同的方案，
其中恰有2只兔子相邻走出房子共有：种，
故恰有2只兔子相邻走出房子的概率为：.
6．的展开式中的系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
的展开式通项为，
由可得，因此，的展开式中的系数是.
故选：C.
7．已知函数，若存在实数，，，当时，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
，
作出函数的图象，如图：
由图可知，，
所以，
令，则，
因为，所以，所以在上为单调递减函数，
所以，即，
所以的取值范围是.
8．《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尽……”，所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中点，过点B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱台的表面积为（ ）
A．40B．50
C．25＋15＋3D．30＋20
【答案】C
【详解】
如图所示，记A1B1的中点为N，连接MN，则MN∥BC，
所以过点B，C，M的平面为平面BNMC，三棱台为A1MN­-ACB，
其中，，，
所以其表面积S＝×4×4＋×2×2＋×(4＋2)×5＋×(4＋2)×5＋×(4＋2)×＝25＋15＋3.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知向量，则（ ）
A．B．
C．向量在向量上的投影是D．向量的单位向量是
【答案】ABD
【详解】
对于A: ，故A正确；
对于B: ，故B正确；
对于C: 向量在向量上的投影是，故C错误；
对于D: 向量的单位向量是，故D正确．
10．已知函数，则（ ）
A．在上的最小值是
B．的最小正周期是
C．直线是图象的对称轴
D．直线与的图象恰有个公共点
【答案】ACD
【详解】
对于A选项，当时，
，
且，则当时，函数取最小值，即，
A选项正确；
对于B选项，，，，则，
故函数的最小正周期不是，B选项错误；
对于C选项，若为奇数，则；
若为偶数，则.
由上可知，当时，，
所以，直线是图象的对称轴，C选项正确；
对于D选项，，
所以，为函数的周期.
当时，；
当时，.
综上可知，.
当时，，，即函数与在上的图象无交点；
当时，，，所以，函数与在上的图象也无交点.
作出函数与函数在上的图象如下图所示：
由图象可知，函数与函数在上的图象有两个交点，D选项正确.
11．设椭圆的的焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．离心率B．的最大值为3
C．面积的最大值为D．的最小值为2
【答案】AD
【详解】
解：因为椭圆，所以，，所以，，，所以，，，故A正确；
设，所以，所以，因为，所以当时，即，故B错误；
因为，
又，所以当时，即在短轴的顶点时面积的取得最大值，，故C错误；
对于D：，因为，所以，所以，故D正确；
故选：AD
12．用符号表示不超过的最大整数，例如：.设有3个不同的零点，则（ ）
A．是的一个零点
B．
C．的取值范围是
D．若，则的范围是
【答案】AD
【详解】
由题意，函数有3个不同的零点，
令，即，可得或，
其中是函数的一个零点，所以A正确；
设方程有两个实数根，
由，可得，即与有两个交点，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，
当时，，当时，，
函数的图象如图所示，所以，解得，所以C不正确；
由有3个不同的零点，
其中一个零点为，设，
结合图象，例如：若，此时，此时，
即，所以B不正确；
由图象可得，，可得，，
因为，可得，所以，
所以，即，解得，
即实数的范围是，所以D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知样本方差，则样本的方差为_______.
【答案】8
【解析】详解：由题意，样本数据的方差，
设样本的方差为，则.
14．曲线在处的切线在轴上的截距为___________.
【答案】
【详解】
由题意，函数，可得，所以，
由当时，，即切点坐标为，
所以切线方程为，即，
令，可得，即切线在轴上的截距为.
15．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上一点，且，的面积为，则双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【详解】
，，
则，所以，，
因为，所以，，可得.
因此，双曲线的渐近线方程为，即.
16．已知在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球O的交线长为___________.
【答案】
【详解】
设球的半径为r，则，而，∴ .
作于H,
∵⊥底面,∴⊥ AB
∵P为圆柱底面圆弧的中点，∴AP=BP
又为AB中点，∴⊥AB
又,∴
∴，
又且,∴
∵，，
∴
∴
∴
平面与球O的交线为一个圆，其半径
圆周长为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列满足：（，），．
（1）求证：数列是等差数列.
（2）求数列的前项和．
【详解】
（1）证明：∵（，），，
∴，，又，∴，
∴，
∴数列是公差为的等差数列；
（2）解：由（1）知：，∴，
∴．
18．已知的内角A，，的对边分别为，，，且，，___________，求的周长.
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件①：；条件②：，条件③：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【详解】
由，得，
即，所以，因为，所以.
选择条件①：由，得，所以，
因为，所以，所以，
所以，，所以的周长为；
选择条件②：由，得，所以，
由余弦定理，得，所以，即，
解得，所以的周长为；
选择条件③：由及正弦定理得：
，所以，
所以，即，由余弦定理，得，
所以，所以，，所以的周长为.
19．如图，在直角梯形中，，且，直角梯形可以通过直角梯形以直角为旋转轴得到．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：在直角梯形中，，
且直角梯形是通过直角梯形以直线为轴旋转而得，
所以，所以，，又，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）由（1）可知，，，
因为二面角为，所以，
过点作平面的垂线，建立空间直角坐标系如图所示，
由，可得，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则有，令，则，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择.已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元.小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单（含20单）每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单元.小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成如下直方图（如图2）.
（1）分别求出“销售员”的日薪（单位：元）与销售件数的函数关系式、“送外卖员”的日薪（单位：元）与所送单数的函数关系式；
（2）若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪和“送外卖员”的日薪（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）的数学期望，分析选择哪种工作比较合适，并说明你的理由.
【详解】
（1）“销售员”的日薪（单位：元）与销售件数的函数关系式为
，
“送外卖员”的日薪（单位：元）与所送单数的函数关系式为
.
（2）由柱状图知，日平均销售量满足如下表格：
所以的分布列为
所以（元）.
由直方图可知，日送单数满足如下表格：
所以的分布列如下表：
由直方图知，（元）.
由以上计算得，做“送外卖员”挣的更多，
故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适.
21．已知椭圆：的右顶点为，直线：过椭圆的右焦点，点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左顶点为，是椭圆位于轴上方部分的一个动点，以点为圆心，过点的圆与轴的右交点为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线，交直线于点．求的值．
【详解】
解：（1）将代入直线：得，
∴，即，
∵到直线的距离为，∴，解得，
∴，∴椭圆的方程为：．
（2）由题意可知，，，设的坐标为，则，
∵点在椭圆上，∴，
∴，
∵点在椭圆上，∴，∴ ，
∴，∵圆过点与点，
∴，∴点，
易求直线的方程为，直线的方程为，
将代入直线的方程得：，
故点的坐标为，
∵，，∴，
∵，∴，∴直线的方程为：，
将代入得： ，∴点
又∵，∴，
，
∴．
22．已知函数，.
（1）讨论函数的极值点；
（2）若是方程的两个不同的正实根，证明：.
【详解】
（1），函数的定义域为，
，，
①当，即时，恒成立，所以函数在上单调递增，无极值点；
②当，即时，方程有两个根，，解得，且，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以，函数的极大值点为，极小值点为
（2）方程即方程，设，
，
∴在上递减，在上递增，依题意知有两个零点，
∴，即，解得，且
两式相减得，设，
∴，∴，
要证明，只需证，只需证，
只需证，只需证，
记，，
∴在上递减，∴
∴，故，
即.销售量/件
3
4
5
6
7
频率
110
130
150
180
210
单数/单
10
30
50
70
90
频率
30
100
185
275
365