专练10(概率统计)（18题)-2022年高考数学考点必杀300题（广东专用）

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专练10  概率统计1．【2021届肇庆二模】为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是．（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；（2）若现在是小明6：2的比分领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【分析】（1）利用事件的独立性，分两种情况，恰好打了7局小明获胜和恰好打了7局小亮获胜，再概率相加即可．（2）的可能取值为2，3，4，5，利用二项分布，分别求出其相应的概率，列出分布列即可．【解析】（1）恰 好打了7局小明获胜的概率是，恰好打了7局小亮获胜的概率为，∴比赛结束时恰好打了7局的概率为．（2）的可能取值为2，3，4，5，，，，或．∴的分布列如下：2345．【点睛】求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率．2．【2021届湛江一模】某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球国画排球声乐书法要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项．（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；（2）用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，【分析】（1）设事件，分别求出甲、乙同学选排球的概率，由相互独立事件同时发生的概率，即可得出结果．（2）求出丙同学选排球的概率，X的可能取值为0，1，2，3，分别求出概率，进而可得结果．【解析】（1）设A表示事件“甲同学选排球” B表示事件“乙同学选排球”则    因为事件A，B相互独立，所以甲同学选排球且乙同学未选排球的概率为：（2）设C表示事件“丙同学选排球”，则X的可能取值为0，1，2，3则；X的分布列为：X0123P数学期望为3．【2021届湛江调研】为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【分析】（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率，则至少能参加一个给药周期的概率为；（2）先计算出一个给药周期内至少出现次症状的概率，然后根据题目条件确定随机变量的可能取值，分别计算每一个值所对应的概率，列出分布列并求出数学期望．【解析】（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件，则的对立事件为一个给药周期也没有参加完．设一次给药出现症状为事件，则一个给药周期也没有参加完的概率为，所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为．（2）设事件为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状”，则，则随机变量的取值为．，，，所以X的分布列为所以随机变量的数学期望为．【点睛】本题考查概率的乘法公式及加法公式，考查随机变量的分布列及数学期望计算，难度一般．解答时易错点如下：（1）每次给药相互独立；（2）在解答第（2）小题时，注意若前一个给药周期能通过，才可以参加下一个给药周期．4．【2020届惠州六月模拟】某种水果按照果径大小可分为四类：标准果，优质果，精品果，礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020（1）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考：方案1：不分类卖出，单价为20元/．方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下表：等级标准果优质果精品果礼品果售价（元/）16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案较好？并说明理由．（2）从这100个水果中用分层抽样的方法抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取到精品果的数量，求的分布列及数学期望．【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）分布列见解析；期望为．【分析】（1）计算方案2的数学期望值，与方案1比较、分析，即可得到答案； （2）用分层抽样法求抽出精品果个数，计算对应概率值，写出分布列，求出数学期望值．【解析】（1）解答一：设方案2的单价为，则单价的期望值为：因为，所以从采购商的采购资金成本角度考虑，采取方案1比较好．-解答二：设方案2的单价为，则单价的期望值为：虽然，，但从采购商后期对水果分类的人力资源和时间成本角度考虑，采取方案2较好．（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个．现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，X所有可能的取值为：0，1，2，3． 则，，，所有X的分布列如下：X0123P【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了概率与统计知识的应用问题，是中档题．5．【2021届梅州一模】某电子产品加工厂购买配件并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为，，丙部门检修合格的概率为．（1）求该工厂购买的任一配件可以进入市场销售的概率．（2）已知配件的购买价格为元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为元/个，丙部门的检修成本为元个，若配件加工成型进入市场销售，售价可达元/个；若配件报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件的成型产品，试估计该工厂加工个配件的利润．（利润售价购买价格加工成本）【答案】（1）；（2）万元．【分析】（1）根据题意分析出哪种情形下配件可进入市场销售，利用相互独立事件的概率计算公式进行求解即可；（2）先设工厂加工5000个配件的利润为元，加工一个配件的利润为元，则，再求出的所有可能取值及其对应的概率，进而可得的期望，最后利用数学期望的性质即可得解．【解析】（1）记任一配件加工成型可进入市场销售为事件，甲、乙两道工序分别处理成功为事件，，丙部门检修合格为事件．则．（2）设该工厂加工个配件的利润为元，加工一个配件的利润为元，则．由题可知的所有可能取值为，，，，则，，，．的分布列为：10488∴，∴．∴估计该工厂加工个配件的利润为万元．【点睛】求解本题第（2）问的关键是准确求出离散型随机变量的所有取值及其对应的概率，并且在求出分布列后，注意运用分布列的两个性质（①，；②）检验所求的分布列是否正确；（2）在求出后，会利用期望的性质求．6．【2021届韶关一模】在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：得分频数213212524114（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表)．①求的值；②若，求的值；（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额(单位：元)2050概率现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．【答案】（1）①；②；（2）分布列答案见解析，数学期望为41．25元．【分析】（1）根据题意直接计算平均值即可，再结合正态分布的对称性得到，即得a值；（2）先根据正态分布知获赠1次和2次随机话费的概率均为,再结合获得随机话费的金额和概率情况写分布列，并计算期望即可．【解析】（1）①由题意得：，，②，由正态分布曲线的对称性得，，解得；（2）由题意得，，即获赠1次和2次随机话费的概率均为,故获赠话费的的所有可能取值为20，40，50，70，100，，，，．的分布列为：20405070100元．所以的数学期望为41．25元．【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．7． 【2021届广东适应性考试】一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0．1，0．2，0．3，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为，求的分布列及数学期望．【答案】(1)0．28；(2)分布列见解析，．【分析】(1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值；(2)首先确定X可能的取值，然后分别求解其概率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可．【解析】(1)设部件1需要调整为事件A，部件2需要调整为事件B，部件3需要调整为事件C，由题意可知：．部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：．(2)由题意可知X的取值为0，1,2,3．且：，，．，故X的分布列为：0123其数学期望：．【点睛】求离散型随机变量X的数学期望的一般步骤：（1）先分析X的可取值，根据可取值求解出对应的概率；（2）根据（1）中概率值，得到X的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X的数学期望．8．【2021届广州一模】某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，投不进球得0分；在区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在区和区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响．（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在区投3个球且在区投2个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率．【答案】（1）3；（2）【分析】（1）先求出甲在区和在B区投一次得分的期望，设在区投次，计算出总的期望，列出不等式可求；（2）可得甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有5种情况，分别求出概率，相加即可得出．【解析】（1）甲在区进球的概率为，投进一球得2分，则在区投一次得分的期望为，同理在B区投一次得分的期望为，设在区投次，在B区投次，则总的期望值，解得，则甲选择在区投篮的球数最多是3个；（2）由题可得甲在区投3个球，得分可能是0，2，4，6，在区投2个球，得分可能是0，3，6，则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：A区2分B区0分，概率为，A区4分B区0分，概率为，A区4分B区3分，概率为，A区6分B区0分，概率为，A区6分B区3分，概率为，则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率为．【点睛】本题考查概率的有关计算，解题的关键是正确找出所有的情况，并能争取利用概率公式计算．9．【2021届揭阳一模】太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用．为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用．某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器．电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：日照情况日均气温不低于15℃日均气温低于15℃日照充足耗电0千瓦时耗电5千瓦时日照不足耗电5千瓦时耗电10千瓦时日照严重不足耗电15千瓦时耗电20千瓦时根据调查，当地每天日照充足的概率为，日照不足的概率为，日照严重不足的概率为．2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为，，，，，．（1）求图中的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；（2）用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算）【答案】（1），；（2）千瓦时．【分析】（1）根据频率分布直方图中频率和为1求出区间的频率，再除以组距求得的值，再利用长方形面积等于频率，求出不低于15℃的频率；（2）由（1）知一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为，低于15℃的概率的估计值为，分析题意可知，使用电辅式太阳能热水器日均耗电量的可能取值为0，5，10，15，20，分别算出事件对应的概率，写出分布列，即可得出期望，得到使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量，进而得到一年可以节省的电量．【解析】（1）依题意得．一年中日均气温不低于15℃的频率为．（2）这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为，一年中日均气温低于15℃的概率的估计值为，设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为，的所有可能取值为0，5，10，15，20，，，，．所以的分布列为05101520所以的数学期望所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为（千瓦时）所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为（千瓦时）【点睛】方法点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．10．【2021届高州一模】年月日既是中华人民共和国第个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆，很多人通过短视频或微信、微博表达了对祖国的祝福．某调查机构为了解通过短视频或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个通过短视频或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出人，经统计这人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有人．将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求的值并估计这人的平均年龄；（2）把年龄在第，，组的居民称为青少年组，年龄在第，组的居民称为中老年组，选出的人中通过短视频表达对祖国祝福的中老年人有人，问是否有的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关？附：【答案】（1）；41．5；（2）是有．【分析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1建立等量关系即可求解．（2）前三组的人数是青少年中通过微信或微博表达对祖国的祝福的人数，则是中老年中通过微信或微博表达对祖国的祝福的人数，由通过短视频表达对祖国祝福的中老年人有人，则是中通过短视频表达祝福的青少年人数，据此列出得列联表，代入公式计算即可．【解析】（1）由得，．这人的平均年龄为：．（2）前组人数为，由题意得列联表： 通过短视频表达祝福通过微信或微博表达祝福合计青少年中老年合计，所以是有的把握认为通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关．【点睛】在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，由此可建立等量关系；制作列联表时，要把表中的各个数据正确求出，然后代入公式计算，再把的值同临界值比较即可．11．【2021届深圳一模】某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投次，先在处投一次三分球，投进得分，未投进不得分，以后均在处投两分球，每投进一次得分，未投进不得分．测试者累计得分高于分即通过测试，并终止投篮．甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在处和处各投次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率．（1）求甲同学通过测试的概率；（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）记甲同学累计得分为，计算出甲同学两分球和三分球投篮命中的概率，进而可计算得出，即为所求；（2）设“甲得分比乙得分高”为事件，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件，计算出、，利用条件概率公式可求得，即为所求．【解析】（1）甲同学两分球投篮命中的概率为，甲同学三分球投篮命中的概率为，设甲同学累计得分为，则，所以甲同学通过测试的概率为；（2）乙同学两分球投篮命中率为，乙同学三分球投篮命中率为．设乙同学累计得分为，则，，设“甲得分比乙得分高”为事件，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件，则，，由条件概率公式可得．【点睛】用定义法求条件概率的步骤：（1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算、；（3）代入公式求．12．【2020届广州二模】当今世界科技迅猛发展，信息日新月异．为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查．该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100名，数据统计如表： 借阅科技类图书（人）借阅非科技类图书（人）年龄不超过50岁2025年龄大于50岁1045（1）是否有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关？（2）该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分，每借阅一本非科技类图书奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书．用表中的样本频率作为概率的估计值．（i）现有3名借阅者每人借阅一本图书，记此3人增加的积分总和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？附：K2，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0．0500．0100．001k3．8416．63510．828【答案】（1）有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关；（2）（i）分布列详见解析，数学期望为3．9；（ii）5人．【分析】（1）根据K2的表达式代入计算即可判断；（2）（i）由题知借阅科技类图书的概率P，若这3人增加的积分总和为随机变量ξ，分别计算出P（ξ＝3），P（ξ＝4），P（ξ＝5），P（ξ＝6），即可得到分布列及期望；（ii）根据题意得随机变量X满足X～B（16，）的二项分布，列出不等式组，解出即可【解析】（1）K28．129＞6．635，所以有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关；（2）（i）因为用表中的样本频率作为概率的估计值，所以借阅科技类图书的概率P，因为3名借阅者每人借阅一本图书，这3人增加的积分总和为随机变量ξ，所以随机变量ξ的可能取值为3，4，5，6，P（ξ＝3）P（ξ＝4）P（ξ＝5）P（ξ＝6），从而ξ的分布列为：ξ3456P所以E（ξ）＝34563．9；（ii）记16人中借阅科技类图书的人数为X，则随机变量X满足二项分布X～B（16，）设借阅科技类图书最有可能的人数时k（k＝0，1，2，……，16）则，而，，解得4．1≤k≤5．1，故k＝5，所以16人借阅科技类图书最有可能的人数是5人【点睛】本题考查独立性检验，离散型随机变量及其分布列，二项分布的性质的应用，属于中档题．13．【2021届佛山一模】为了了解空气质量指数（AQI）与参加户外健身运动的人数之间的关系，某校环保小组在暑假期间（60天）进行了一项统计活动：每天记录到体育公园参加户外健身运动的人数，并与当天值（从气象部门获取）构成60组成对数据，其中为当天参加户外健身运动的人数，为当天的值，并制作了如下散点图：连续60天参加健身运动人数与AQI散点图（1）环保小组准备做y与x的线性回归分析，算得y与x的相关系数为，试分析y与x的线性相关关系？（2）环保小组还发现散点有分区聚集的特点，尝试作聚类分析．用直线与将散点图分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（如图），统计得到各区域的点数分别为5、10、10、35，并初步认定“参加户外健身运动的人数不少于100与值不大于100有关联”，试分析该初步认定的犯错率是否小于？附：0．0500．0100．001K3．8416．63510．828【答案】（1）答案见解析；（2）该初步认定的犯错率小于．【分析】（1）由相关系数知y与x的线性相关关系以及线性相关性强弱；（2）建立列联表，计算的值，对照附表得出结论．【解析】（1），y与x的相关关系为负相关，且，故线性相关性不强，所以不建议继续做线性回归分析，得到回归方程，拟合效果也会不理想（2）建立2×2列联表如下： 人数人数合计10515103545合计204060代入公式计算得，查表知，故犯错率在0．001与0．01之间，所以该初步认定的犯错率小于．14．【2021届汕头一模】为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础．在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式．质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“A”、“B”、“C”三个等级，等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如表所示：等级ABC频数1007525（表二） 合格品次品合计甲80  乙 5 合计   在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由厂家自行销毁．（1）请根据所提供的数据，完成上面的列联表（表二），并判断是否有的把握认为产品的合格率与技术升级有关？（2）每件玩具的生产成本为20元，等级产品的出厂单价分别为m元、40元．若甲生产线抽检的玩具中有35件为A等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多盈利12元，则A等级产品的出产单价为多少元？附：，其中．0．050．0250．0100．0050．0013．8415．0246．6357．87910．828【答案】（1）列联表见解析；有的把握认为产品的合格率与技术升级有关；（2）60元．【分析】（1）由已知数据完成列联表，根据卡方检验公式计算卡方值，结合对照表即可判断产品的合格率与技术升级的相关程度；（2）法一：由甲乙生产线的数据确定它们取得不同利润的分布列，根据分布列求各自利润的期望值，由求参数m即可；法二：根据甲乙生产线的数据，结合均值的求法求它们的平均值，结合求参数m即可；【解析】（1）根据所提供的数据，可得列联表： 合格品次品合计甲8020100乙955100合计17525200设产品的合格率与技术升级无关．由，可得．，故有的把握认为产品的合格率与技术升级有关．（2）法一：甲生产线抽检的产品中有35件等级，45件等级，20件等级，对于甲生产线，单件产品利润的取值可能为，的分布列如下：20则，乙生产线抽检的产品中有65件等级，30件等级，5件等级；对于乙生产线，单位产品利润的取值可能为，的分布列如下：20则，依题意．，，所以，等级产品的出产单价为60元．法二：甲生产线抽检的产品中有35件等级，45件等级，20件等级，乙生产线抽检的产品中有65件等级，30件等级，5件等级；因为用样本的频率估计概率所以对于甲生产线，单件产品的利润对于乙生产线，单件产品的利润依题意．，，所以，等级产品的出产单价为60元．【点睛】（1）应用卡方检验公式计算卡方值，比照对照表判断相关性；（2）应用分布列求期望或直接求数据的平均值，结合已知求参数．15．【2021届广州天河区二模】某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（1）月市场占有率与月份代码符合线性回归模型拟合的关系，求关于的线性回归方程，并预测公司2021年3月份(即时)的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：报废年限1年2年3年4年型车(辆)20353510型车(辆)10304020经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式及数据：回归直线方程为，其中，，，【答案】（1），；（2）采购款单车．【分析】（1）由题中折线图所给的数据，根据公式求得的值，求得回归直线方程，令，求得的值，即可得到结论；（2）由频率估计概率，分别求得每辆款车和款车可产生的利润期望值，即可得到结论．【解析】（1）由折线图所给的数据，可得，，所以，可得．所以月度市场占有率与月份代码之间的线性回归方程为，当时，可得．故公司2021年3月份(即时)的市场占有率预计为．（2）由频率估计概率，可得每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0．2、0．35、0．35和0．1，所以每辆款车可产生的利润期望值（元）．由频率估计概率，可得每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0．1、0．3、0．4和0．2，所以每辆款车可产生的利润期望值（元）．因为，所以应该采购款单车．【点睛】线性回归分析问题的类型及解题方法：1、求线性回归方程：（1）利用公式，求出回归系数；（2）待定系数法：利用回归直线过样本的中心点求系数；2、利用回归直线方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值；3、利用回归直线判定正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数．16．【2020届珠海三模】武汉出现的新型冠状病毒是一种可以通过飞沫传播的变异病毒，某药物研究所为筛查该新型冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n次；②混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因此这k份血液样本检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阴性还是阳性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．（1）假设有5份血液样本，其中只有2份为阳性，若采取逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．（i）试运用概率统计知识，若，试求P关于k的函数关系式；（ii）若，采用混合检验方式可以使得这k份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．参考数据：，，，，【答案】(1) ;(2) （i）,;（ii）4【分析】(1)根据排列的方法列式求概率即可．(2)（i）分别求解,再化简求时的解析式即可．（ii）由题,化简可得,再构造函数求导分析函数的单调性,再根据零点存在性定理求区间端点的正负判断即可．【解析】(1)设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的事件为,则,故恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的概率为(2) （i）由已知可得,所有可能的取值为．所以,,所以．若,则,所以．故．所以P关于k的函数关系式,（ii）由题意可知,即,化简得．因为,所以,即．设函数．又,故当时, ,即在上单调递减．又,．故的最大值为4．【点睛】本题主要考查了排列在概率中的运用,同时也考查了构造函数数学期望的求解以及构造函数分析不等式的方法．属于中档题．．17．【2020届深圳二模】足球运动被誉为“世界第一运动”．为推广足球运动，某学校成立了足球社团由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：（1）下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率．为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为，求；（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，接到第n次传球的人即为第次触球者，第n次触球者是甲的概率记为．（i）求，，（直接写出结果即可）；（ii）证明：数列为等比数列．【答案】（1）（2）（i），，（ii）证明见解析；【分析】（1）先求出踢一次点球命中的概率，然后根据相互独立事件的乘法公式分别求出取1，2，3的概率，再根据离散型随机变量的期望公式可求得结果；（2）（i）根据传球顺序分析可得答案；（ii）根据题意可得，再变形为，根据等比数列的定义可证结论．【解析】（1）这150个点球中的进球频率为，则该同学踢一次点球命中的概率，由题意，可能取1，2，3，则，，，则的期望．（2）（i）因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以第1次触球者是甲的概率，显然第2次触球者是甲的概率，第2次传球有两种可能，所以第3次触球者是甲的概率概，（ii）∵第n次触球者是甲的概率为，所以当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，则．从而，又，∴是以为首项，公比为的等比数列．【点睛】本题考查了样本估计总体，离散型随机变量的期望，考查了递推关系以及等比数列的概念；考查分析问题、解决问题的能力，建模能力，处理数据能力．属于中档题．18．在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的．可以把第代的遗传设想为第次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父系来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母系也一样．父系､母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种遗传性状，(或)，在父系和母系中以同样的比例：出现，则在随机杂交实验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是．称，分别为父系和母系中遗传因子和的频率，实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比．基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的上一代父系､母系的遗传性状都是，后代遗传性状为，(或)，的概率各是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为和(或)的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，．求杂交所得子代的三种遗传性状，(或)，所占的比例．（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为的个体假设得到的第代总体中3种遗传性状，(或)，所占比例分别为．设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式．证明是等差数列．（4）求的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？【答案】（1），(或)，的概率分别是，，．（2）（3）答案见解析（4）答案见解析【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解．（2）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解．（3）由（2）知，求出、，利用等差数列的定义即可证出． （4）利用等差数列的通项公式可得，从而可得，再由，利用式子的特征可得越来越小，进而得出结论．【解析】（1）即与是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是，故出现的概率是，或出现的概率是，出现的概率是，所以，(或)，的概率分别是，，，（2），（3）由（2）知，于是，，∴是等差数列，公差为1（4）其中，(由（2）的结论得)，所以于是，，，，很明显，越大，越小，所以这种实验长期进行下去，越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失．【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式、等差数列的定义、等差数列的通项公式，考查了学生的分析能力，属于难题，