2022届吉林省长春市普通高中高三质量监测（三）理科数学试题及答案

长春市2022届高三质量监测（三）理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，则

A.     B.     C.     D.  

2.在复平面内，复数对应的点坐标为

A.     B.     C.     D.  

3．已知，则“”是“”的

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件 C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件
4.抛物线过点，则的准线方程为

A.     B.     C.     D.  

5.已知平面向量满足，且与的夹角为，则

A.     B.     C.     D.  

6.某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评.工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个地点进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分100分），则下列说法正确的是

A.甲、乙两个街道的测评分数的极差相等
B.甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等
C.街道乙的测评分数的众数为87
D.甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大
7.设，若，则

A.        B.        C.        D.   
8.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为

A.     B.     C.     D.  

9.6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（  ）种
A.    24     B.    36      C.    48     D.     60

10.已知函数满足，当时，，那么

A.     B.     C.     D.  

11.已知双曲线的左右两个焦点分别为和，若其右支上存在一点满足，使得△的面积为3，则该双曲线的离心率为
A.      B.      C.      D.  

12.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体内任取一点，则点落在该四
面体内切球内部的概率为
A.     B.     C.     D.  

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.（其中15题，第一空2分，第二空3分）

13.已知，则的值为         .

14.已知数列是首项为3，公比为的等比数列，是其前项的和，若，则         ，        .

15.已知△的内角的对边分别为，且，则         .

16.如图，在边长为2的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列四个结论：

①;                ②面积的最大值是；

③面积的最小值是；④当时，平面平面.

其中所有正确结论的序号是                .

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17. （12分）已知数列的前项和是，且，在正项等比数列中，.

(I)求和的通项公式;

(II)若，求数列的前项和是.

18. （12分）
某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50）,[50,60），[60,70）,[70,80）,[80,90），[90,100]，并整理得到频率分布直方图：
(I)求的值；
(Ⅱ)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
(Ⅲ)现将频率视为概率，从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取10人，用表示其成绩在[90,100]中的人数，求数学期望及方差.
.

19.（12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，
，△是以为底边的等腰三角形，平面平面，点分别为的中点.
（I）求证：；
（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求棱的长度.

20.（12分）
已知椭圆的离心率为,长轴的两个端点分别为.
（I）求椭圆的方程；
（II）过点的直线与椭圆交于（不与重合）两点，直线与直线交于点，求证：.
21．（12分）
已知函数.
（I）求证：函数有唯一零点；
（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
22.（10分）选修4-4坐标系与参数方程
    在直角坐标系中，已知曲线为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线，曲线.
（I）求曲线与的交点直角坐标
（Ⅱ）设点分别为曲线,上的动点，求的最小值.
23.（10分）选修4-5不等式选讲
已知函数.
（I）解不等式;
（Ⅱ）若不等式有解，求实数的取值范围.

长春市普通高中2022届高三质量监测（三）数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.B【解析】
2.C【解析】对应点是
3.A【解析】当a>0时，当且仅当a=1时，“=”成立，所以a>1，有；若，有a>0且a≠1
4.B【解析】把点（-4,4）代入得a=1,所以抛物线方程为，所以准线方程为y=-1.
5.A【解析】
6.D【解析】甲街道极差为23，乙街道极差为26；甲街道平均数86.5，乙街道平均数88；乙街道众数81；甲街道中位数为86.5，乙街道中位数为87.5。
7.C【解析】因为0<m<1,则.

特殊值法：设m=0.1，则a=-1,b=-2,c=1.

8.C【解析】平移后,

当k=-1时，选C.
9.A【解析】甲乙放两端有种，甲乙相邻有种，丙丁与其它两本排甲乙之间有种，共有种。
12.A【解析】f（21）=f（1+2×10）=。
11.B【解析】由焦点三角形面积公式.
12.D【解析】设此三棱锥底面为ABC，由三视图易得ABC为等腰直角三角形，记AB⊥AC,AB=AC=,AD⊥平面ABC,AD=,体积为,设此三棱锥内切球半径为r,，由等体积所以

所以所求概率为.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 【解析】。
14. 【解析】由通项公式易解。
15.【解析】

16.①②④【解析】由平面，又平面所以①对；

当P与重合时，△APC面积最大，所以②对；

设BD与AC交于点O,过O作的垂线，垂足为E，当P与E重合时，△APC面积最小，OE的长等于D到距离的一半，为，所以△APC面积最小为，所以③错；

在矩形中，设BD与AC交于点O,与的交于点，连OP,,易证OP∥，

又，所以平面ACP∥平面,所以④对。
三、解答题
17.（本小题满分12分）

18.（本小题满分12分）

19.（本小题满分12分）

20.（本小题满分12分）

21.（本小题满分12分）

22.（本小题满分10分）
【试题解析】解：（1）曲线的普通方程为；（2分）曲线的直角坐标方程为；（4分）则交点M的直角坐标为（-1,0）.（5分）
（2）曲线的直角坐标方程为，即为圆.（7分）
|AB|的最小值即为圆心（1,0）到曲线（直线）的距离再减去半径1,（9分）
即为.（10分）
23.（本小题满分10分）
（1）（2分）所以的解集为（3分）

（7分）

由图象可知，当有解时，即可，

则的取值范围是。（10分）