2022届吉林省长春市普通高中高三质量监测（三）文科数学试题及答案

长春市2022届高三质量监测（三）文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，则

A.     B.     C.     D.  

2.在复平面内，复数对应的点坐标为

A.     B.     C.     D.  

3．已知，则“”是“”的

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件 C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件
4.抛物线过点，则的准线方程为

A.     B.     C.     D.  

5.已知平面向量满足，且与的夹角为，则

A.     B.     C.     D.  

6.函数图象的一个对称中心为

A.     B.     C.     D.  

7.某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评.工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个地点进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分100分），则下列说法正确的是

A.甲、乙两个街道的测评分数的极差相等
B.甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等
C.街道乙的测评分数的众数为87
D.甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大
8.若点满足线性条件，则的最大值为

A.    2    B.    3    C.    4    D.    5
9.已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，则
A.    4    B.    10    C.    16    D.    32

10.函数的图象大致是

11.已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕，将△折起，使，则过四点的球的表面积为

A.     B.     C.     D.  

12.已知函数满足，当时，，那么

A.     B.     C.     D.  

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.（其中15题，第一空2分，第二空3分）
13.若，则         .

14.已知，则的值为         .

15.已知数列是首项为3，公比为的等比数列，是其前项的和，若，则         ，        .

16.已知点是双曲线上的一点，，

设，，△的面积为，则的值为        .

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17. （12分）
某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50）,[50,60），[60,70）,[70,80）,[80,90），[90,100]，并整理得到频率分布直方图：
(I)求的值；
(Ⅱ)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
(Ⅲ)在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中按分层抽样随机抽取6人，再从这6人中随机取3人，求3人中成绩在[90,100]中至多1人的概率.

18. （12分）
如图，是△外一点，△的内角的对边分别为，已知.

(I)求的大小;

(II)若，且△的面积是△面积的2倍，求的值.

19.（12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，
，△是以为底边的等腰三角形，平面平面，点分别为的中点.
（I）求证：；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.

20.（12分）
已知椭圆的离心率为,长轴的两个端点分别为.
（I）求椭圆的方程；
（II）过点的直线与椭圆交于（不与重合）两点，直线与直线交于点，求证：、、三点共线.
21．（12分）
已知函数.
（I）若，求的单调区间；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
22.（10分）选修4-4坐标系与参数方程
    在直角坐标系中，已知曲线为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线，曲线.
（I）求曲线与的交点直角坐标
（Ⅱ）设点分别为曲线,上的动点，求的最小值.
23.（10分）选修4-5不等式选讲
已知函数.
（I）解不等式;
（Ⅱ）若不等式有解，求实数的取值范围.

长春市普通高中2022届高三质量监测（三）数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.B【解析】
2.C【解析】对应点是
3.A【解析】当a>0时，当且仅当a=1时，“=”成立，所以a>1，有；若，有a>0且a≠1
4.B【解析】把点（-4,4）代入得a=1,所以抛物线方程为，所以准线方程为y=-1.
5.A【解析】
6.D【解析】由得，当k=-1时，，y=-1.
7.D【解析】甲街道极差为23，乙街道极差为26；甲街道平均数86.5，乙街道平均数88；乙街道众数81；甲街道中位数为86.5，乙街道中位数为87.5。
8.D【解析】当直线y=-2x+z过（1,3）时，z有最大值5.
9.C【解析】q=-3(舍)或q=2,所以。
10.A【解析】f（x）为偶函数，且f（2）<0.
11.C【解析】AD,BD,CD互相垂直，所以所以选C.
12.A【解析】f（21）=f（1+2×10）=。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.【解析】
14. 【解析】。
15. 【解析】由通项公式易解。
16.【解析】设，

，
三、解答题
17.（本小题满分12分）
【试题解析】解：（1）由频率分布直方图可知a=0.014.（2分）
（2）平均成绩为（45×0.006+55×0.014+65×0.018+75×0.032+85×0.020+95×0.010）×10
＝72.6．（6分）
（3）根据分层抽样可知，成绩在「80,90）中有4人，分别设为A,B,C,D，
在[90,100]中有2人，分别设为a,b，（8分）从这6个人中随机选出3人的方案一共有
ABC、ABD、ABa、ABb、ACD、ACa、ACb、ADa、ADb、BCD、
BCa、BCb、BDa、BDb、CDa、CDb、Aab、Bab、Cab、Dab,20种,（10分）
其中至多包含[90,100]中1人的有ABC、ABD、ABa、ABb、ACD、ACa、ACb、
ADa、ADb、BCD、BCa、BCb、BDa、BDb、CDa、CDb，共计12种，（1分）
因此，取出的3人中，成绩在[90,100]中至多一人的概率为（12分）
18.（本小题满分12分）
【试题解析】解：（1）在△ABC中，由及正弦定理，

得，（2分）
整理得2sinBcos∠BAC=cos∠BACsin∠BCA+sin∠BACcos∠BCA
即2sinBcos∠BAC=sinB,因为在△ABC中,sinB≠0,（4分）
所以cos∠BAC=，又0<∠BAC<π，所以∠BAC=，(6分）
（2）由（1）知∠BAC=，因为，所以（8分）

又（10分）

所以，解得（12分）

19.（本小题满分12分）
【试题解析】（1）因为F为BC的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=，
所以∠DCB=且DC=2CF=2，易知：△DFC为直角三角形，故∠FDC=，
而∠ADC=，则∠ADF=∠ADC－∠FDC=，故DF⊥AD,(2分）
由平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD=AD,DF平面ABCD,
所以DF⊥平面ADP，（4分）又AE平面ADP，即AE⊥DF.（6分）
（2）由△PAD是以AD为底边的等腰三角形，E为PD的中点，AE=，设DE=m，
由余弦定理有，cos∠EDA=cos∠PDA，，解得m=1，（8分）

△PAD为等边三角形，由平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为（10分）
由△CDF的面积为，所以三棱锥D-CEF的体积为.（12分）
20.（本小题满分12分）
【试题解析】解：（1）由长轴的两个端点分别为A(-2,0），B(2,0），可得a=2，
由离心率为，可得，所以（2分）

又,解得b=1,所以椭圆C的标准方程为.（4分）
（2）设直线的方程为x=my+1，由得
设，则（6分）

所以，直线AM的方程为，所以

所以（8分）

所以

即，所以N、B、Q三点共线。（12分）

21.（本小题满分12分）
【试题解析】（1）当a=1时，，则。（1分）
当时，因为x+1<1,且，所以
所以，单调递减（2分）

当时，因为x+1>1,且，所以
所以，单调递增（3分）

所以当a=1时，f(x）的单调递减区间为（-∞,0），单调递增区间为（0,+∞）.（4分）
（2）恒成立等价于恒成立

令，则的最小值大于等于0。（5分）

②     ①当a=0时，在区间上恒成立，符合题意；（6分）

②当时，

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在区间上单调递增，（8分）
当x趋近于0时，趋近于-∞，当x趋近于+∞时，趋近于+∞,
所以存在唯一,使,此时,即,(10分)
则当时，单调递减；当时，单调递增。

所以。

令，解得。

综上，实数的取值范围为。(10分)

（2）解法二：

,设,

当时，令，

【】

22.（本小题满分10分）
【试题解析】解：（1）曲线的普通方程为；（2分）曲线的直角坐标方程为；（4分）则交点M的直角坐标为（-1,0）.（5分）
（2）曲线的直角坐标方程为，即为圆.（7分）
|AB|的最小值即为圆心（1,0）到曲线（直线）的距离再减去半径1,（9分）
即为.（10分）
23.（本小题满分10分）
（1）（2分）所以的解集为（3分）

（7分）

由图象可知，当有解时，即可，

则的取值范围是。（10分）