专题03 因式分解-中考一轮复习之热点题型练习（全国通用）

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专题03 【因式分解】
知识点
（1） 因式分解的方法：提取公因式、公式法、分组分解法、十字相乘法等。
（2） 完全平方公式：
平方差公式：
（3） 实数范围内分解因式：是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
（4） 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
如：

【命题一】有关因式分解选择题
1．把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（　　）
A．m+1 B．2m C．2 D．m+2
【分析】先提取公因式（m﹣1）后，得出余下的部分．
【解答】解：（m+1）（m﹣1）+（m﹣1），
＝（m﹣1）（m+1+1），
＝（m﹣1）（m+2）．
故选：D．
【点评】先提取公因式，进行因式分解，要注意m﹣1提取公因式后还剩1．
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
C．a2﹣4a﹣5＝a（a﹣4）﹣5 D．a2﹣4a﹣5＝（a﹣2）2﹣9
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A、符合因式分解的定义，故本选项正确；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
C、右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义，区别开整式的乘除运算．
3．下列因式分解正确的是（　　）
A．a2﹣2a﹣8＝a（a﹣2）﹣8 B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
C．2x3﹣4x2+2x＝2x（x2﹣2x） D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）
【分析】将各选项分解因式可得．
【解答】解：A、a2﹣2a﹣8＝（a﹣4）（a+2），故本选项不符合题意；
B、a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），故本选项不符合题意；
C、2x3﹣4x2+2x＝2x（x2﹣2x+1），故本选项不符合题意；
D、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法、十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，注意整体思想的运用是解题的关键．
4．若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】将题目中的式子先展开，然后根据完全平方公式可以分解因式，从而可以得到b+c的值．
【解答】解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，
∴b+c＝2，
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
5．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出所求．
【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴k＝﹣4，b＝3，
则k+b＝﹣4+3＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．
6．若mn＝﹣2，m﹣n＝3，则代数式m2n﹣mn2的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．1 D．6
【分析】直接利用提取公因式法将原式变形进而将已知代入求出答案．
【解答】解：∵mn＝﹣2，m﹣n＝3，
∴m2n﹣mn2＝mn（m﹣n）
＝﹣2×3
＝﹣6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．
7．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2+4x+4＝x（x+4）+4
C．ax2﹣4a＝a（x2﹣4） D．x2+3﹣4x＝（x﹣1）（x﹣3）
【分析】因式分解就是把多项式变形成几个整式积的形式，根据定义即可判断．
【解答】解：A、是多项式的乘法运算，不是因式分解，故选项错误；
B、右边不是积的形式，故选项错误；
C、还需对括号内的多项式继续分解因式，分解不彻底，故选项错误；
D、是因式分解，故选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解的意义，解题的关键在于牢记因式分解的定义，注意因式分解与整式的乘法互为逆变形．
8．下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是（　　）
A．x2﹣y B．x2﹣2x C．x2+y2 D．x2﹣xy+y2
【分析】判断各式有公因式的即可．
【解答】解：能用提公因式法因式分解的是x2﹣2x＝x（x﹣2），
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
9．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（　　）
A．被8整除 B．被m整除
C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除
【分析】将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除．
【解答】解：（4m+5）2﹣9＝（4m+5）2﹣32，
＝（4m+8）（4m+2），
＝8（m+2）（2m+1），
∵m是整数，而（m+2）和（2m+1）都是随着m的变化而变化的数，
∴该多项式肯定能被8整除．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用，难度一般．
10．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，且a2﹣ab﹣2b2＝0，则a：b：c＝（　　）
A．1：2： B．2：1： C．1：2： D．2：1：
【分析】首先根据：a2﹣ab﹣2b2＝0，判断出a、b的关系；然后应用勾股定理，判断出c与b的关系，求出a：b：c的比是多少即可．
【解答】解：∵a2﹣ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）（a+b）＝0，
∴a＝2b，或a＝﹣b（不符合题意），
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2＝4b2+b2＝5b2，∴c＝b，
∴a：b：c＝2b：b：b＝2：1：．
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，以及勾股定理的应用．要熟练掌握．

【命题二】有关因式分解填空题

11．若m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为　﹣2　．
【分析】由已知条件得到m2﹣n2＝n﹣m，则m+n＝﹣1，然后利用m2＝n+2，n2＝m+2把m3﹣2mn+n3进行降次得到m（n+2）﹣2mn+n（m+2），再去括号合并得到2（m+n），最后把m+n＝﹣1代入即可．
【解答】解：∵m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），
∴m2﹣n2＝n﹣m，
∵m≠n，
∴m+n＝﹣1，
∴原式＝m（n+2）﹣2mn+n（m+2）
＝mn+2m﹣2mn+mn+2n
＝2（m+n）
＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了因式分解的应用：运用因式分解可简化等量关系．
12．分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝　（x﹣2y）（x+y﹣2）　．
【分析】把x2﹣xy﹣2y2三项分为一组，可用十字相乘法继续分解，﹣2x+4y分为一组，可提公因式，再进一步分解即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣xy﹣2y2）+（﹣2x+4y），
＝（x﹣2y）（x+y）﹣2（x﹣2y），
＝（x﹣2y）（x+y﹣2）．
故答案为：（x﹣2y）（x+y﹣2）．
【点评】此题主要考查分组分解法分解因式，综合利用了十字相乘法和提公因式法分解因式．
13．把多项式b3﹣6b2+9b分解因式的结果是　b（b﹣3）2　．
【分析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝b（b2﹣6b+9）＝b（b﹣3）2，
故答案为：b（b﹣3）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是　±4　．
【分析】利用完全平方公式（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab计算即可．
【解答】解：∵x2+mx+4＝（x±2）2，
即x2+mx+4＝x2±4x+4，
∴m＝±4．
故答案为：±4．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．
15．分解因式：3x2﹣3y2＝　3（x+y）（x﹣y）　．
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣y2）＝3（x+y）（x﹣y），
故答案为：3（x+y）（x﹣y）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．因式分解：x﹣x2＝　x（1﹣x）　．
【分析】首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．
【解答】解：x﹣x2＝x（1﹣x）．
故答案为：x（1﹣x）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
17．因式分解：4a2﹣8a+4＝　4（a﹣1）2　．
【分析】原式提取4，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝4（a2﹣2a+1）＝4（a﹣1）2，
故答案为：4（a﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．因式分解：4a3﹣16a＝　4a（a+2）（a﹣2）　．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝4a（a2﹣4）＝4a（a+2）（a﹣2），
故答案为：4a（a+2）（a﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．分解因式：2x2﹣18＝　2（x+3）（x﹣3）　．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．计算：40372﹣8072×2019＝　1　．
【分析】把8072×2019变为4038×4036，再套用平方差公式计算得结果．
【解答】解：原式＝40372﹣2×4036×2019
＝40372﹣4036×4038
＝40372﹣（4037﹣1）（4037+1）
＝40372﹣（40372﹣1）
＝1
故答案为：1
【点评】本题考查了因式分解的提公因式法，把8072×2019变为4038×4036，套用平方差公式是解本题的关键．
21．若x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣7的值是　﹣6　．
【分析】先将x2+x﹣1＝0变形为x2+x＝1，将x3+2x2﹣7的前两项变形，再分步将x2+x＝1代入计算即可．
【解答】解：∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1
∴x3+2x2﹣7＝x（x2+x）+x2﹣7
＝x+x2﹣7
＝1﹣7
＝﹣6
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了因式分解在代数式化简求值中的应用，对所给条件和要求的代数式正确变形，是解题的关键．
22．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式n3+4m+2019＝　2026　．
【分析】由m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，m≠n可得出m，n为一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等实数根，由根与系数的关系可得出m+n＝1，mn＝﹣3，先将n2＝n+3反复代入n3+4m+2019降次可得4n+4m+2022，再将m+n＝1代入中即可求出结论．
【解答】解：∵n2﹣n＝3，
∴n2＝n+3，
∴n3+4m+2019＝n（n+3）+4m+2019＝n2+3n+4m+2019＝4（m+n）+2019
∵m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，m≠n，
∴m，n为一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等实数根，
∴m+n＝1，
∴原式＝4×1+2022＝2026．
故答案为：2026．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解概念，由根与系数的关系可得出m+n＝1，用整体思想将n2＝n+3反复代入对代数式降次是解题的关键．
23．已知xy＝2，x+y＝3，则x2y+xy2＝　6　．
【分析】根据xy＝2，x+y＝3，对所求式子因式分解即可解答本题．
【解答】解：∵xy＝2，x+y＝3，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝2×3
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
24．在实数范围内分解因式4m5﹣16m＝　4m（m2+2）（m+）（m﹣）　．
【分析】首先提取公因式4m，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4m5﹣16m＝4m（m4﹣4）
＝4m（m2+2）（m2﹣2）
＝4m（m2+2）（m+）（m﹣）．
故答案为：4m（m2+2）（m+）（m﹣）．
【点评】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
25．把多形式ax2﹣4ay2分解因式的结果是　a（x+2y）（x﹣2y）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：a（x+2y）（x﹣2y）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
26．若x+y﹣1＝0，则x2+xy+y2﹣2＝　﹣　．
【分析】根据x+y﹣1＝0，可以得到x+y＝1，然后对x2+xy+y2﹣2进行变形即可解答本题．
【解答】解：∵x+y﹣1＝0，
∴x+y＝1，
∴x2+xy+y2﹣2
＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，建立已知式子与未知式子之间的关系．
27．因式分解：a3b﹣ab＝　ab（a+1）（a﹣1）　．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3b﹣ab
＝ab（a2﹣1）
＝ab（a+1）（a﹣1）．
故答案为：ab（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
28．因式分解：4x2﹣100＝　4（x+5）（x﹣5）　．
【分析】提公因式4后，再利用平方差公式分解．
【解答】解：4x2﹣100＝4（x2﹣25）＝4（x+5）（x﹣5），
故答案为：4（x+5）（x﹣5）．
【点评】本题考查了因式分解的综合运用，因式分解时，首先考虑能不能提公因式，再考虑能否利用公式法分解因式，本题比较简单．
29．当x＝56，y＝44时，则代数式的值为　5000　．
【分析】原式提取后，利用完全平方公式化简，将x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x＝56，y＝44，
∴原式＝（x+y）2＝×10000＝5000，
故答案为：5000
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
30．已知a＝+2012，b＝+2013，c＝+2014，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是　6　．
【分析】根据a、b、c的值，分别求出a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，c﹣b＝1进而把代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）分组分解，即可得出答案．
【解答】∵a＝+2012，b＝+2013，c＝+2014，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，c﹣b＝1，
∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），
＝2[a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）]，
＝2（﹣a﹣b+2c），
＝2[（c﹣a）+（c﹣b）]，
＝2×3，
＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据题意正确的分解因式得出（﹣a﹣b+2c）的值是解决问题的关键．
31．设a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝　30　．
【分析】将a﹣b＝2+和b﹣c＝2﹣相加，得到a﹣c＝4，再将2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc转化成关于a﹣b，b﹣c，a﹣c的完全平方的形式，再将a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣和a﹣c＝4整体代入即可．
【解答】解：a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，
两式相加得a﹣c＝4，
原式＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（2+）2+42+（2﹣）2
＝7+4+16+7﹣4
＝30．
故答案为：30．
【点评】此题考查了因式分解的应用，对完全平方公式及整体代入的掌握情况，有一定的综合性，但难度不大．
32．如果a2﹣2a＝0，则2a2020﹣4a2019+2020的值为　2020　．
【分析】先通过因式分解的方法，把原式转化成已知代数式的形式，再整体代入求值．
【解答】解：原式＝2a2018（a2﹣2a）+2020，
∵a2﹣2a＝0，
∴原式＝2a2018×0+2020＝2020，
故答案为：2020．
【点评】本题是求代数式的值的问题，考查了因式分解，求代数式的值，整体代入的思想，关键是灵活应用因式分解，把原式转化为已知代数式的形式．
33．若多项式2x2+ax﹣1能因式分解为（2x+1）（x﹣1），则a＝　﹣1　．
【分析】按照多项式乘法与因式分解的关系求解即可．
【解答】解：（2x+1）（x﹣1）＝2x2﹣2x+x﹣1＝2x2﹣x﹣1，
∵2x2+ax﹣1能因式分解为（2x+1）（x﹣1），
∴2x2+ax﹣1＝2x2﹣x﹣1，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了因式分解与多项式乘法，属于基础知识的考查，难度不大．
34．在实数范围内分解因式：a3b﹣2ab＝　ab（a+）（a﹣）　．
【分析】首先提取公因式ab，再利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：原式＝ab（a2﹣2）＝ab（a+）（a﹣）．
故答案是：ab（a+）（a﹣）．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
35．在实数范围内分解因式：m4﹣2m2＝　m2（m+）（m﹣）　．
【分析】直接提取公因式m2，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：m4﹣2m2
＝m2（m2﹣2）
＝m2（m+）（m﹣）．
故答案为：m2（m+）（m﹣）．
【点评】此题主要考查了实属范围内分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
36．在实数范围内，把多项式3x2﹣9因式分解的结果是　3（x+）（x﹣）　．
【分析】先提3得到原式＝3（x2﹣3），然后利用平方差公式继续分解．
【解答】解：原式＝3（x2﹣3）
＝3（x+）（x﹣）．
故答案为3（x+）（x﹣）．
【点评】实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）.