专题11 规律探究问题-中考一轮复习之热点题型练习（全国通用）

这是一份专题11 规律探究问题-中考一轮复习之热点题型练习（全国通用），文件包含专题11规律探究问题解析版docx、专题11规律探究问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。

专题11 【规律探究问题】
知识点
（1）等差类规律求和：，项数=
（2）等比类规律求和：


【命题一】数字变化类规律探究
1．观察下列等式的规律：
第1个等式：﹣＝；第2个等式：﹣＝；第3个等式：﹣＝；
第4个等式：﹣＝；第5个等式：﹣＝；……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）直接写出第6个等式：　　；
（2）请写出你猜想的第n个等式（用含n的代数式表示），并证明．
2．观察下列等式：
1÷（1×）+1＝22…①
1÷（×）+1＝32…②
1÷（×）+1＝42…③
1÷（×）+1＝52…④
（1）写出第⑥个等式：　1÷（）+1＝72　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　1÷（）+1＝（n+1）2　（用含n的等式表示），并证明．
3．观察下列等式
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
（1）请写出第n个等式：　＝1﹣　（n为正整数）；
（2）请利用所学知识证明（1）中等式的正确性．
4．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式：　　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明．
5．阅读下面的材料，并解答下列问题：
已知：，，，…
（1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个式子是　　；
（2）计算：
（3）利用这个规律解方程：
6．观察下列等式，探究其中的规律：①+﹣1＝，②+﹣＝，③+﹣＝，④+﹣＝，…．
（1）按以上规律写出第⑧个等式：　+﹣＝　；
（2）猜想并写出第n个等式：　+﹣＝　；
（3）请证明猜想的正确性．
7．如图1，观察数表，如何计算数表中所有数的和？
方法1：如图1，先求每行数的和：
第1行1+2+3+…+n＝（1+2+3+…+n）
第2行2+4+6+…+2n＝2（1+2+3+…+n）
第n行n+2n+3n+…+n2＝n（1+2+3+…+n）
故表中所有数的和：（1+2+3+…+n）+2（1+2+3+…+n）+…+n（1+2+3+…+n）＝　　；
方法2：如图2，依次以第1行每个数为起点，按顺时针方向计算各数的和：
第1组：1＝13
第2组：2+4+2＝23
第3组：3+6+9+6+3＝33
…
第n组：n+2n+…+n2+…+2n+n＝　n3　．
用这n组数计算的结果，表示数表中所有数的和为：　13+23+33+…+n3　．
综合上面两种方法所得的结果可得等式：　（1+2+3+…+n）2＝13+23+33+…+n3　．
利用上面得到的规律计算：13+23+33+…+203．

8．观察下列等式：
第1个等式：＝3，第2个等式＝6，第3个等式：＝9，第4个等式：＝12，按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　　．
（2）写出你猜想的第n个等式：　，　．（用含n的等式表示），并证明．
9．观察下列等式：
第1个等式：a1＝1++＝＝1+
第2个等式：a2＝1++＝＝1+
第3个等式：a3＝1++＝＝1+
…
请解答下列问题：
（1）按以上的规律列出第4个等式：a4＝　1++　＝　（）2　＝　（1+）2　；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an＝　1++　＝　2　＝　[1+]2　（n为正整数）；
（3）求+++…+的值．
10．已知下列等式
①（3+1）2﹣（3﹣1）2＝4×3×1；
②（5+3）2﹣（5﹣3）2＝4×5×3；
③（7+5）2﹣（7﹣5）2＝4×7×5；
④（9+7）2﹣（9﹣7）2＝4×9×7．
……
（1）请仔细观察，写出第5个式子；
（2）写出第n个式子，并运用所学知识说明第n个等式成立．
11．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；……
按上述规律，回答以下问题：
（1）第4个等式：　　＝　﹣　；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an＝　　＝　﹣　；
（3）式子a1+a2+a3+…+a20＝　　．
12．观察下列等式：①＝﹣；②＝﹣；③＝﹣，…按照此规律，解决下列问题：
（1）完成第④个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．
13．研究下列算式，你会发现什么规律？
1×3+1＝4＝22
2×4+1＝9＝32
3×5+1＝16＝42
4×6+1＝25＝52
…
（1）请你找出规律井计算7×9+1＝　64　＝（　8　）2
（2）用含有n的式子表示上面的规律：　n（n+2）+1＝（n+1）2　．
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：＝　　．
14．从3开始，连续的3的倍数相加，它们和的情况如下表：
加数的个数n
S
1
3＝1×3
2
3+6＝9＝3×3
3
3+6+9＝18＝6×3
4
3+6+9+12＝30＝10×3
5
3+6+9+12+15＝45＝15×3
（1）若n＝8时，则S的值为　108　．
（2）根据表中的规律猜想：用含n的式子表示S的公式为S＝3+6+9+12+……+3n＝　　；
（3）根据上题的规律求303+306+309+312+……+600的值（要有过程）
15．（1）根据下列算式的规律填空：
﹣＝，
﹣＝，
﹣＝，
﹣＝　　，
第n个算式为　﹣＝　；
（2）利用上述规律计算：++…＝　　．
16．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22016+22017，等式两边同时乘2得：
2S＝2++22+23+24+25…+22017+22018
将下式减去上式得：2S﹣S＝22018﹣1
S＝22018﹣1
即1+2+22+23+24+…+22017＝22018﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
17．阅读材料：求值：1+2+22+23+…+22018+22019
解：设S＝1+2+22+23+…+22018+22019，①
将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+…+22019+22020，②
②﹣①得：S＝22020﹣1，即1+2+22+23+…+22018+22019＝22020﹣1
解答下列问题：
（1）2+22+23+…+29+210＝　211﹣1　；
（2）求1+3+32+33+…+3n﹣1+3n（n为正整数）的值．
18．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017
首先设S＝1+2+22+23+24+…+22017①则2S＝2+22+23+24+25+…+22018②
②﹣①得S＝22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017＝22018﹣1
以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”
请你根据上面的材料，解决下列问题
（1）求1+3+32+33+34+…+32019的值
（2）若a为正整数且a≠1，求1+a+a2+a3+a4+..+a2019



【命题二】图形变化类规律探究
19．下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为10，第3个图形的周长为18，…，按此规律排列，回答下列问题：
（1）第5个图形的周长为　40　；
（2）第n个图形的周长为　n2+3n　；
（3）若第n个图形的周长为180，则n＝　12　．

20．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的规律拼图，请根据图中的信息完成下列的问题．

（1）在第5个图中用了　16　块黑色正方形；
（2）第n个图形要用　（3n+1）　块黑色正方形；
（3）如果有足够多的白色正方形，能不能恰好用完90块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．
21．观察下列菱形的摆放规律，解答下列问题．
（1）如图：
按此规律，图4有个　7　个菱形，若第n个图形有35个菱形，则n＝　18　；
（2）如图：
按此规律，图5有　25　个菱形，若第n个图形有　n2　个菱形（用含n的式子表示）；
（3）如图：
按此规律，图6有　43　个菱形，第n个图形中有　n2+n+1　个菱形（用含n的式子表示）．
22．我们在“堆石子”游戏中发现：像图（1）中的1，4，9，16…这些数据能够表示成正方形，可将其称为正方形数；类似地，像图（2）中的1，3，6，10，…这些数据能够表示成三角形，可将其称为三角形数．
（1）第5个正方形数是　25　；第n个正方形数是　n2　；
（2）第6个三角形数是　21　；第n个三角形数是　　；
（3）若将一堆小石子按一定规律摆成如图（3）图形，请求出第30个图形中“●”的个数．
23．一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图所示的方式进行拼接．
（1）若把4张这样的餐桌拼接起来，四周可坐　10　人；
（2）若把n张这样的餐桌拼接起来，四周可坐　（4n+2）　人；
（3）若把9张这样的餐桌拼接起来，四周可坐　38　人；
（4）若用餐的人数有50人，则这样的餐桌需要多少张？

24．用火柴棒按下列方式搭建三角形：

（1）当三角形个数为1时，需3根火柴棒；当三角形个数为2时，需5根火柴棒；则当三角形个数为100时，需火柴棒　201　根；当三角形个数为n时，需火柴棒　（2n+1）　根（用含n的代数式表示）；
（2）当火柴棒的根数为2019时，求三角形的个数？
（3）组成三角形的火柴棒能否为1000根，如果能，求三角形的个数；如果不能，请说明理由．
25．用黑白棋子摆出下列一组图形，根据规律可知．

（1）在第n个图中，白棋共有　n（n+1）　枚，黑棋共有　（3n+6）　枚；
（2）在第几个图形中，白棋共有300枚；
（3）白棋的个数能否与黑棋的个数相等？若能，求出是第几个图形，若不能，说明理由．
26．如图所示，用棋子摆成的“上”字：

第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：
（1）第四、第五个“上”字分别需用　18　和　22　枚棋子．
（2）第n个“上”字需用　4n+2　枚棋子．
（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？
27．如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）4节链条长　7.6　cm；
（2）n节链条长　1.7n+0.8　cm；
（3）如果一辆22型自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？

28．找规律并解答问题．
（1）按如图方式摆放黑色围棋子，填一填，每个图共需几枚棋子．

图的顺序
1
2
3
4
…
需要的棋子数/枚
　4　
　7　
　10　
　13　
…
（2）根据你发现的规律，算一算第13个图，共需要　40　枚棋子．
29．如图是按规律排列的一组图形的前三个，观察图形，并在空白处填空．

（1）第五个图形中，一共有　31　个点；
（2）请用n的代数式表示出第n个图形中点的数量　6n+1　；
（3）第100个图形中一共有　601　个点．
30．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④后面的横线上写出相应的等式：

①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④　1+3+5+7＝42　；⑤1+3+5+7+9＝52；…
（2）请写出第n个等式；
（3）利用（2）中的等式，计算21+23+25+…+99．
31．如图，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：

（1）将下面的表格补充完整：
正多边形的边数
3
4
5
6
…
n
∠α的度数
　60°　
　45°　
　36°　
　30°　
…
　　
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝20°？若存在，写出n的值；若不存在，请说明理由．
（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝21°？若存在，写出n的值；若不存在，请说明理由．















32．观察下列n×n的点阵与等式的关系，并填空：
（2×2）→22﹣12＝1+2×1 （3×3）→32﹣22＝1+2×2
（4×4）→42﹣32＝1+2×3 （5×5）→52﹣42＝1+2×4
（n行×n列）（n×n）→　n2﹣（n﹣1）2＝1+2（n﹣1）　
（1）根据你发现的规律，在（n×n）图的后面的横线上填上所对应的等式，并证明等式成立
（2）根据等式性质，将上图所对应的前四个已知等式的左侧和右侧式子分别相加，等式依然成立，即：
（22﹣12）+（32﹣22）+（42﹣32）+（52﹣42）＝（1+2×1）+（1+2×2）+（1+2×3）+（1+2×4）．经化简，变形后得到：52﹣12＝4+2×（1+2+3+4），即1+2+3+4＝这种方法叫等式叠加法，如果将上图（2×2）到（n×n）所对应的（n﹣1）个等式进行叠加，经化简，变形后，可以得到1+2+3+…+（n﹣1）＝　）＝　．
33．蜜蜂是自然界神奇的“建筑师“，它能用最少的材料造成最牢固的建筑物“蜂窝“，观察下列的“蜂窝图“．

（1）若““中每条边看成1个建筑单位，则第1个图形中共有19个建筑单位，第2个图案中共有　30　个建筑单位：第3个图案中共有　41　个建筑单位；第n个图案中共有　8+11n　个建筑单位．（用含有n的代数式表示）
（2）若现在有74个建筑单位材料，能建成符合上述规律的“蜂窝“吗？若能求出它符合第几图形，若不能请说明理由．
34．如图，是由边长相等的小正方形组成的几何图形，Sn（n≥1）表示第n个图形中小正方形的个数．

（1）观察下列图形与等式得关系，并填空：


（2）根据（1）中的两个结论填空：
S12＝　78　，Sn＝　　（用含有n的代数式表示）
35．【问题背景】在△ABC内部，有点P1，可构成3个不重叠的小三角形（如图1）
【探究发现】当△ABC内的点的个数增加时（见图1﹣3），探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况

（1）填表：
三角形内点的个数n
1
2
3
4
…
不重叠三角形个数S
　3　
　5　
　7　
　9　
…
（2）当△ABC内部有n个点（P1，P2，…，Pn）时，三角形内不重叠的小三角形的个数S＝2019时，求n的值．
36．找规律：
（1）观察下列图形与等式的关系，并填空

1+3＝22

1+3+5＝32

1+3+5+7＝　42　．

1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝　n2　
（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑棋子的个数．

37．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干图案：

设每个图案中黑砖的块数为n．
（1）如图1，当黑砖n＝1时，白砖有6块；如图2，当黑砖n＝2时，白砖有　10　块．那么，当n＝4时，白砖有　18　块；
（2）当n＝10时，白砖有　42　块；
（3）第n个图案中，白砖共　（4n+2）　块．
38．（1）观察下列点阵图，写出与第4个点阵相对应的等式；

1＝1，1+2＝＝3，1+2+3＝＝6，　1+2+3+4＝　
（2）结合（1）观察下列点阵图，写出与第5个点阵相对应的等式．

1＝12，1+3＝22，3+6＝32，6+10＝42，　10+15＝52　
（3）写出（2）中与第n个点阵相对应的等式：　+＝n2　．
39．如图所示中图1是由点组成的n行n列的实心方阵，图2是由每条边上n个点围成的空心方阵．

问题（1）：图1中方阵的总点数是　n2　；
问题（2）：图2中方阵的总点数，由于有不同的数点方法，所以可以有多种式子的表达，请你至少写出三种表示方法（不必化简）：　n2﹣（n﹣2）2或4（n﹣1）或4n﹣4　；
问题（3）：当n＝10时，分别代入问题（2）的每个表达式，求出图2中的总点数．
40．如图，图1中小黑点的个数记为a1＝4，图2中小黑点的个数记为a2＝8，图3中小黑点的个数记为a3＝13，…

根据以上图中的规律完成下列问题：
（1）图4中小黑点的个数记为a4，则a4＝　19　；
（2）图n中小黑点的个数记为an，则an＝　n2+n+1　（用含n的式子表示）；
（3）第几个图形中的小黑点的个数为43个？