专题16 最值问题-中考一轮复习之热点题型练习（全国通用）

专题16 【最值问题】

知识点

将军饮马最值问题

在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

【命题一】将军饮马最值问题

1．如图，点P是边长为4的菱形ABCD形对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　）

A．8 B．4 C．2 D．

2．如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB边上一点，若BF＝4，当BE+EF取得最小值时，则∠EBC的度数为（　　）

A．15° B．25° C．30° D．45°

3．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点（BM＞CM），点P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，E为BD上任意点，F为AE中点，则FO+FB的最小值为（　　）

A．2 B．2+ C．5 D．3

5．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）和（2，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的纵坐标是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PC+PE最小，则这个最小值的平方为（　　）

A． B． C．12 D．

7．如图，四边形OABC是菱形，点M，N都在OA的延长线上，且OM＝2，MN＝6，∠OAB＝120°，则BM+BN的最小值为（　　）

A． B．6 C．2 D．2

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，且△ABC面积是24，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12

9．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝3，AB边上求作点P，则PC+PD的最小值为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

10．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

11．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝60°，E是AB的中点，F是对角线AC上的一个动点，则FE+FB的最小值是（　　）

A．1 B． C．2 D．

12．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．E，F分别是AD，CD上的动点，EF＝2．Q是EF的中点，P为BC上的动点，连接AP，PQ．则AP+PQ的最小值等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝14，点P是边BC上一动点，当PD+PE的值最小时，AE＝15，则BE为（　　）

A．30 B．29 C．28 D．27

14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是线段BC，DC上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为（　　）

A．90° B．80° C．70° D．60°

15．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最小值是（　　）

A．1 B． C． D．

16．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E是AB和BC上的动点，连接CD，DE，则CD+DE的最小值为（　　）

A．8 B． C． D．

知识点

胡不归最值问题

（1）简单解释：线段系数不一样的将军饮马最值问题

（2）解题思路：通过三角函数和相似等知识将线段的系数化为‘1’，转化两条系数为1的线段，利用将军饮马最值思路解题即可。

【命题二】胡不归最值问题

1．已知：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AC、BC均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB，如图，则PC+PB的最小值是　2　．

2．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于　3　．

3．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝6cm，P为AC上任一点，则PD+PA的最小值是　3　cm．

4．如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小值为　　．

【命题三】点直线垂线段最短

1．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（　　）

A．4 B．4.8 C．5 D．5.5

2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）

A．1 B．6 C．3 D．12

3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（　　）

A． B． C．2 D．1

4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，∠EDB＝90°，则BE的最小值是（　　）

A． B． C． D．

5．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为　4　．

6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（　　）

A．2 B． C．2 D．4

【命题四】动点轨迹问题

1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　）

A．1 B．1.6 C．﹣2 D．2

2．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（　　）

A．5 B．1 C．2 D．3

3．如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2，连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为（　　）

A． B． C．3﹣ D．3+

4．如图，在正方形ABCD中，M，N是边AB上的动点，且AM＝BN，连接MD交对角线AC于点E，连接BE交CN于点F，若AB＝3，则AF长度的最小值为　　．

5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG的最小值为　2﹣2　．

6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为　﹣1　．

7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为（　　）

A．32 B．36 C．40 D．48

8．已知直线y＝﹣x+7a+1与直线y＝2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（　　）

A． B． C． D．

9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝7，点E在边BC上，并且CE＝2，点F为边AC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（　　）

A．0.5 B．1 C．2 D．2.5

10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．E，F分别是AD，CD上的动点，EF＝2．Q是EF的中点，P为BC上的动点，连接AP，PQ．则AP+PQ的最小值等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（　　）

A．0.5 B．﹣1 C．2﹣ D．

12．如图所示，等边△ABC的边长为4，点D是BC边上一动点，且CE＝BD，连接AD，BE，AD与BE相交于点P，连接PC．则线段PC的最小值等于　　．

【命题五】瓜豆原理命题双动点轨迹

1．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，以C为圆心，1cm长为半径画⊙C，点P在⊙C上移动，连接BP，并将BP绕点B逆时针旋转90°至BP′，连接CP′．在点P移动的过程中，CP′长度的最小值是（　　）

A． B． C． D．

2．如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为（　　）

A．3 B．2﹣ C．﹣ D．3﹣

3．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是（　　）

A．1.4 B． C． D．2.6

4．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为　5﹣2　．

5．如图，△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC，点E为线段AD上的动点，连接CE，以CE为边作等边△CEF，连接DF，则线段DF的最小值为（　　）

A． B．4 C．2 D．无法确定

6．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（　　）

A．2 B． C． D．

7．一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，AC＝CE＝，取AB中点O，连接OF．∠FCE在∠ACB内部任意转动（包括边界），则CE在运动过程中扫过的面积为　　，在旋转过程中，线段OF的最小值为　﹣1　．

8．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D在运动过程中ME的最小值为　2　．

9．如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为（　　）

A．1 B． C．2 D．2

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为BC边上一点，作如图所示的△AED使得AE＝AD，且∠EAD＝45°，连接EC，则EC的最小值为　2﹣　．

【命题六】几何图形中函数最值问题

1．如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的锐角为45°，当AC+BD＝12时，四边形ABCD的面积最大值是　9　．

2．如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作Rt△AEP与Rt△PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AE+PF＝8，EP+FB＝6，则线段EF的取值范围是　≤EF＜8　．

3．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是　5　．

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，点D在边AC上的一动点，过点D作DE∥AB交边BC于点E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为　　．

5．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，顺次连接P、M、Q、N，则四边形PMQN的面积的最大值　　．

6．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为　3　s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是　18　cm2．

7．如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且＝，则m+n的最大值为　　．

8．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，F是边BC上的动点，且DF⊥AB，EF⊥AC．则四边形ADFE的面积最大值是　12　．

9．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（12，0），动直线OB与AB相交于点B，且BD⊥x轴于D，BD＝3，则△OAB的周长的最小值是　12+6　．

10．如图，直线段AB的长为l，C为AB上的一个动点，分别以AC和BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCD′，那么DD′的长的最小值为　l　．

11．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．

（1）若BE＝，则正方形CEFG的面积为 　5　；

（2）连接DF、DG，则△DFG面积的最小值为 　　．