专题15 二次函数中线段与线段和的最值问题-备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

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备战2022年中考复习重难点与压轴题型专项训练
专题15 二次函数中线段与线段和的最值问题
【专题训练】
一、解答题
1．（2020·山东九年级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）
（1）求该二次函数所对应的函数解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；
（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

【答案】
解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），
∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），
∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．
又∵点D（4，3）在二次函数上，
∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，
∴解得：a＝1．
∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．
（2）如图1所示．

因点P在二次函数图象上，设P（p，p2﹣4p+3）．
∵y＝x2﹣4x+3与y轴相交于点C，
∴点C的坐标为（0，3）．
又∵点B的坐标为B（3，0），
∴OB＝OC
∴△COB为等腰直角三角形．
又∵PF//y轴，PE//x轴，
∴△PEF为等腰直角三角形．
∴EF＝PF．
设一次函数的lBC的表达式为y＝kx+b，
又∵B（3，0）和C（0，3）在直线BC上，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∴yF＝﹣p+3．
FP＝﹣p+3﹣（p2﹣4p+3）＝﹣p2+3p．
∴EF＝﹣p2+3p．
∴线段EF的最大值为，EFmax＝＝．
（3）①如图2所示：

若∠CNB＝90°时，点N在抛物线上，作MN//y轴，l//x轴交y轴于点E，
BF⊥l交l于点F．
设点N的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点M的坐标为（m，3），
∵C、D两点的坐标为（0，3）和（4，3），
∴CD∥x轴．
又∵∠CNE＝∠NBF，∠CEN＝∠NFB＝90°，
∴△CNE∽△NBF．
∴＝，
又∵CE＝﹣m2+4m，NE＝m；NF＝3﹣m，BF＝﹣m2+4m﹣3，
∴＝，
化简得：m2﹣5m+5＝0．
解得：m1＝，m2＝．
∴M点坐标为（，3）或（，3）
②如图3所示：

当∠CBN＝90°时，过B作BG⊥CD，
∵∠NBF＝∠CBG，∠NFB＝∠BGC＝90°，
∴△BFN∽△CGB．
∵△BFN为等腰直角三角形，
∴BF＝FN，
∴0﹣（m2﹣4m+3）＝3﹣m．
∴化简得，m2﹣5m+6＝0．
解得，m＝2或m＝3（舍去）
∴M点坐标为，（2，3）．
综上所述，满足题意的M点坐标为可以为（2，3），（，3），（，3）．
【点睛】
本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．
2．（2020·重庆永川区·九年级三模）如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．

（1）求二次函数的解析式和直线的解析式；
（2）点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于的点，使中边上的高为，若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】
（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，
∴当m=时，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，

设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，
当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，
∴QG=×2=4，∴|﹣x2+3x|=4，
当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，
当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，
∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．
考点：待定系数法，二次函数的性质，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系.
3．（2020·贵州遵义市·九年级三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．
①求线段MN的最大值；
②当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．

【答案】
解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得
，解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）1°设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），则
，
解得，，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
设M（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则N（t，t2﹣4t+3），
∴MN＝﹣t2+3t＝﹣，
∴当t＝时，MN的值最大，其最大值为；
2°∵△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上，
∴△PMN为直角三角形，
由1°知，当MN取最大值时，M（，），N（，），
①当∠PMN＝90°时，PM∥x轴，则P点与M点的纵坐标相等，
∴P点的纵坐标为，
当y＝时，y＝x2﹣4x+3＝，
解得，x＝，或x＝（舍去），
∴P（）；
②当∠PNM＝90°时，PN∥x轴，则P点与N点的纵坐标相等，
∴P点的纵坐标为﹣，
当y＝﹣时，y＝x2﹣4x+3＝﹣，
解得，x＝，或x＝（舍去），
∴P（）；
③当∠MPN＝90°时，则MN为△PMN的外接圆的直径，
∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，
∴Q（），半径为，
过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，

令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，
解得，x＝<（舍），或x＝，
∴K（，），
∴QK＝＞，
∴⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，
∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；
综上，点P的坐标为（）或（，）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的最值的应用，直角三角形的存在性质的探究，圆的性质，第（2）题的①题关键是把MN表示成t二次函数，用二次函数求最值的方法解决问题；第（2）②小题关键是分情况讨论．难度较大．
4．（2020·湖南邵阳市·九年级二模）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点在线段（点不与重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】
解：（1））∵抛物线经过，，
把两点坐标代入上式，，解得：，
故抛物线函数关系表达式为；
（2）∵，点，
∴，
∵正方形中，，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴时，线段长有最大值，最大值为．
即时，线段有最大值．最大值是．
（3）存在．
如图，过点作轴交于点，

∵抛物线的解析式为，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
5．（2020·福建福州市·福州十八中九年级月考）如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．
（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）令x＝0，则y＝﹣3a，可知点C（0，﹣3a），
∵OA＝OC
∴点A（﹣3a，0），
令，即
解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴点A（﹣3，0），B（1，0）
∴﹣3a＝﹣3
∴a＝1
∴抛物线的解析式y＝x2+2x﹣3
（2）过点P作PN⊥y轴交直线EF于点N，
∵直线EF的解析式为y＝﹣x，
∴∠NOA＝45°，
∴∠PNH＝45°
设点P，点N，
∴PH＝＝＝，
当x＝时，PH的值最大为，

（3）当∠BCD＝90°时，如图2左侧图所示，
当点D在BC的右侧时，
过点D作DM⊥y轴于点M，则CD＝OB＝1，OC＝3，
tan∠BCO＝＝tan∠CDM＝，
则，，
∴xD＝CD＝，同理yD＝，
故点D（，）；
同理当点D在BC的左侧时，点D的坐标（，）；
当∠CDB＝90°时，如图2右侧图所示，
当点D在BC的右侧时，
CD＝OB＝1，则点D（1，﹣3），
当点D在BC的左侧时，由点的对称性，同理可得：点D（，）；


综上所述，点D的坐标为（，）或（，）或（1，﹣3）或（，）．
【点睛】
本题主要考查二次函数与圆的综合问题，是中考常见的压轴题型，难度较大，熟练掌握待定系数法求解析式，线段最值的解法，以及分类讨论的思想是解题的关键．
6．（2020·山东烟台市·九年级其他模拟）如图，抛物线y=ax2+x+c的图象与x轴交于A（-3，0），B两点，与y轴交于点C（0，-2），连接AC．点P是x轴上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD=BE时，求AD+AE的最小值；
（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】
（1）将A（-3，0），C（0，-2），代入y=ax2+x+c得，
，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）令，解得x=-3或1，
∴点B的坐标为（1，0），
当AD=BE时，AD+AE=BE+AE，
∴当A、E、B三点共线时，BE+AE最小，最小值为AB的长，
∴当AD=BE时，AD+AE的最小值为AB=1-(-3)=4；
（3）存在．设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，），
①若AQ为平行四边形的对角线，则PA=QC，QC∥x轴，如图①，

∴-3-m=0-n，，
解得n=-2或0（舍去），
∴m=-5，
∴点P的坐标为（-5，0）；
②若AP为对角线，则AC=PQ，如图②所示，

即m-n=3，，
解得n=-1+或-1-，
∴m=2+或2-，
∴点P的坐标为（2+，0）或（2-，0）；
③当AC是平行四边形的对角线时，则AQ=PC，如图③，

即m-（-3）=0-n，，
解得n=-2或0（舍去），
∴m=-1，
∴点P的坐标为（-1，0）．
综上所述，点P的坐标为（-5，0）或（2+，0）或（2-，0）或（-1，0）．
【点睛】
本题是二次函数的综合应用题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，平行四边形的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．第(3)问需分类讨论，以防遗漏．
7．（2020·浙江九年级一模）新定义：经研究发现，在平面直角坐标系上到定点与定直线距离相等的点刚好组成一条抛物线，我们把满足这样条件的抛物线叫做芳华抛物线．
（1）当时，请直接写出满足条件的一个点，并求此芳华抛物线的解析式；
（2）在（1）的前提下，等边三个顶点都在芳华抛物线上，O为坐标原点，求等边的边长；
（3）在平面上有一定点，在芳华抛物线上取点M使最小，直接写出的最小值（结果可用含b的代数式表示）．
【答案】
解：（1）设这个定点坐标为，由题意得：
∵，点，
∴，
整理得：，
∴满足条件的一个点为；
（2）由题意可作如图所示：

∵△AOB是等边三角形，
∴∠BAO=6O°，
由（1）可得抛物线解析式为：，
∴y轴垂直平分AB，
∴∠AOC=30°，
设点A坐标为，
∴AC=a，OC=，
∴，解得：，
∴；
（3）由题意可得如图：
①当抛物线与PF有交点时，如图：

∵点，点，
∴PF∥x轴，
∴PF=2，
∵，
∴要使的值要为最小，只需满足P、M、F三点共线即可，
∴的最小值为2．
②当抛物线与PF无交点时，如图：

过点M作MA垂直直线y=b，

∵点，点，
∴PF∥x轴，
∵由芳华抛物线可得：FM=MA，
∴，
∴要使的值要为最小，只需满足P、M、A三点共线即可，
∴，
∴的最小值为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，关键是根据题意得到二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质进行求解即可．
8．（2020·湖北荆门市·中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式．
【答案】
（1）在中，
令，则，解得，
∴．
令，则，∴．
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为．
，
∴抛物线顶点坐标为
（2）如图，过点D作轴于E，则．
∵，
∴，
设点P的坐标为，
则点D的坐标为，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
而，
∴，
∵，，由二次函数的性质可知：
当时，的最大值为．
，
∴．

（3）设平移后抛物线的解析式，

联立，
∴，
整理，得：，
设，则是方程的两根，
∴．
而A为的中点，∴，
∴，解得：．
∴抛物线的解析式．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
9．（2020·辽宁葫芦岛市·九年级二模）如图，二次函数的图象过点和，与轴交于点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若在该二次函数的对称轴上有一点，使的长度最短，求出的坐标．
（3）动点，同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按的路线运动，点以每秒4个单位长度的速度沿折线按的路线运动，当，两点相遇时，它们都停止运动．设，同时从点出发秒时，的面积为．请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

【答案】
解：（1）∵该函数图象过点，，

∴
解之，得，．
∴所求二次函数的关系式为
（2）∵

∴对称轴是
点关于的对称点是，所以与对称轴的交点即为点，
使的长度最短
设直线的解析式为，将，代入，解得
当时，，所以
（3）根据题意得，两点相遇的时间为
（秒）
现分情况讨论如下：
ⅰ）当时，；
ⅱ）当时，设点的坐标为


∴，∴
∴
ⅲ）当时，设点的标为，类似ⅱ可得
设点的坐标为
∴，
∴
∴


【点睛】
本题考查二次函数综合，其中涉及待定系数法解二次函数解析式、待定系数法解一次函数解析式、根据二次函数对称性解两点间最短距离、分类讨论、三角形面积公式等知识，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
10．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

【答案】
解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0），
∴
解得a＝－1，b＝5，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6．
∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（，）．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，
∴C（0，6），∴OC＝6．
∵A（6，0），
∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD＋PE＝2PE，
∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．
设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d，
把A（6，0），C（0，6）代入得
解得k＝－1，d＝6，
∴直线AC的解析式为y＝－x＋6．
设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6），
∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．
∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12，
∴P（3，12）．
（3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF．
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴．
由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6，
当x＝时，y＝，
∴F（，），
∴点N的纵坐标为．
∵点N在抛物线上，
∴－x2＋5x＋6＝，解得，x1＝或x2＝，
∴点N的坐标为（，）或（，）．

【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．
11．（2020·四川省成都列五中学九年级三模）如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当 时，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+ E'B的最小值．

【答案】
解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），
则有，解得，
∴抛物线，
令y＝0，得到＝0，
解得：x＝4或﹣1，
∴A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x+3．
（2）如图1中，设P（m，），则E（m，0），

∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，
∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，，
∴，
∵NE∥OB，
∴，
∴AN＝（4﹣m），
∵抛物线解析式为y＝，
∴PN＝﹣（m+3）＝m2+3m，
∴，
解得m＝2或4（舍弃），
∴m＝2，
∴P（2，）．
（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．

∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，
∴OE′2＝OM′•OB，
∴，
∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴＝，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值＝AM′＝＝．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是AE′+BE′的最小值，属于中考压轴题．
12．（2020·重庆八中）如图，抛物线y＝x2+2x﹣6交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD．
（1）求△ACD的面积；
（2）如图，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PG⊥AD于点G，求EF+FG的最大值，以及此时P点的坐标；
（3）如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN为直角边的等腰Rt△BMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】
解：（1）令x＝0，得，
∴C（0，﹣6），
令y＝0，得，
解得，，
∴A（，0），点B（，0），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
则，
∴，
∴直线AC的解析式为：，
∵，
∴D（，），
过D作DM⊥x轴于点M，交AC于点N，如图，

令，，则N（，），
∴，
∴；
（2）如图，过点D作x轴的平行线交FP的延长线于点H，

由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：，
∴tan∠FDH＝2，则sin∠FDH＝，
∵∠HDF+∠HFD＝90°，∠FPG+∠PFG＝90°，
∴∠FDH＝∠FPG，
在Rt△PGF中，PF＝＝ ＝FG，
则EF+FG＝EF+PF＝EP，
设点P（x，），则点E（x，），
则EF+FG＝EF+PF＝EP＝，
∵﹣＜0，故EP有最大值，此时x＝﹣＝﹣3，最大值为；
当x＝时，，
故点P（，）；
（3）存在，理由：
设点M的坐标为（m，n），则，点N（0，s），
①当∠MNB为直角时，如图，

过点N作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点H，交过点M与y轴的平行线于点G，
∵∠MNG+∠BNH＝90°，∠MNG+∠GMN＝90°，
∴∠GMN＝∠BNH，
∵∠NGM＝∠BHN＝90°，MN＝BN，
∴△NGM≌△BHN（AAS），
∴GN＝BH，MG＝NH，
即且，
联立并解得：（舍去正值），
故，则点M（，）；
②当∠NBM为直角时，如图，

过点B作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点G，交过点M与x轴的平行线于点H，
同理可证：△MHB≌△BGN（AAS），
则BH＝NG，即，
当时，，解得：（舍去正值），
故，则点M（，）；
综上，点M的横坐标为或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合题，涉及三角形面积的求解，用胡不归原理求最值，等腰直角三角形的存在性问题，解题的关键是需要掌握这些特定题型的特定解法，熟练运用数形结合的思想去解决问题．
13．（2020·四川乐山市·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；
②连结，求的最小值．

【答案】
解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，
∵是抛物线的对称轴，
∴，
又∵，
∴，
即，
代入抛物线的解析式，得，解得 ，
∴二次函数的解析式为 或；
（2）①设直线的解析式为 ，
∴ 解得
即直线的解析式为 ，
设E坐标为，则F点坐标为，
∴，
∴的面积
∴，
∴当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，，

∴，
过点作于，则在中，
，
∴，
再过点作于点，则，
∴线段的长就是的最小值，
∵，
又∵，
∴，即，
∴的最小值为．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C点坐标，解（2）关键是由点E、F坐标表示线段EF长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将的最小值转化为点B到AC的距离．
14．（2020·黔西南州勤智学校九年级三模）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】
解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得
，解得，
抛物线的解析式是y=x2+x+3；
（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，
∴对l上任意一点有MD=MC，
联立方程组 ，
解得（不符合题意，舍），，
∴B（﹣4，1），
当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，
过点B作BE⊥x轴于点E，
，
在Rt△BEC中，由勾股定理，得
BC=，
|MB﹣MD|取最大值为；
（3）存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
在Rt△BEC中，∵BE=CE=1，
∴∠BCE=45°，
在Rt△ACO中，
∵AO=CO=3，
∴∠ACO=45°，
∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，
过点P作PG⊥y轴于G点，∠PGA=90°，
设P点坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）
①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，
∴△PGA∽△BCA，
∴，即，
∴，
解得x1=1，x2=0（舍去），
∴P点的纵坐标为×12+×1+3=6，
∴P（1，6），
②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，
∴△PGA∽△ACB，
∴，
即=3，
∴，
解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）
∴此时无符合条件的点P，
综上所述，存在点P（1，6）．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用两边只差小于第三边得出M，B，C共线；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏．