2020-2021学年23.4 概率计算举例课时练习

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专项23.3事件的概率——几何概率与游戏的公平性
姓名：___________考号：___________分数：___________

（考试时间：100分钟 满分：120分）

一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【详解】
解：根据题意画出树状图：



∴共有9种等可能的结果，小明获胜的有3种情况，
∴小明获胜的概率
P==，
故选: B.
【点睛】
此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
2．小刚和小丽一起玩一种转盘游戏．转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，固定指针转动转盘，任其自由停止．若指针所指的数字为奇数，小刚获胜；否则小丽获胜．此规则（ ）

A．公平 B．对小丽有利
C．对小刚有利 D．公平性不可预测
【答案】C
【分析】
用奇数的个数除以总个数即可得出答案．
【详解】
解：∵转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，其中奇数有2个，
∴在该游戏中小刚获胜的概率是，小丽获胜的概率是，
∵＞，
∴对小刚有利，
故选：C．
【点睛】
此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
3．甲、乙两人投掷两个普通的正方体骰子，规定掷出“和为”算甲赢，掷出“和为”算乙赢，这个游戏是否公平？（ ）
A．公平 B．对甲有利 C．对乙公平 D．不能判断
【答案】B
【分析】
游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两个骰子上的数字之和为7或8时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【详解】
两骰子上的数字之和是7的有3+4=7；4+3=7，2+5=7；5+2=7，1+6=7；6+1=7共6种情况，和为8的有2+6=8；6+2=8，3+5=8；5+3=8；4+4=8共5种情况，甲赢的概率大，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
4．“十•一”假期，某超市为了吸引顾客，设立了一个转盘游戏进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就获得一次转盘机会，小亮根据摇奖情况制作了一个统计图（如图），请你求出每转动一次转盘获得购物券的平均数是（　　）

A．43.5元 B．26元 C．18元 D．43元
【答案】B
【分析】
根据相应金额和百分比可得到每转动一次转盘所获购物券金额的平均数.
【详解】
解：根据题意得：每转动一次转盘获得购物券的平均数＝100×10%+50×20%+20×30%+0×40%＝26元．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查数据分析中加权平均数的知识点和扇形统计图的知识点.
5．下列说法正确的是（　　）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的
C．“367人中至少有2人生日相同”是必然事件
D．四张分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形的概率是．
【答案】C
【分析】
利用随机事件和必然事件的定义对A、C进行判断；利用比较两事件的概率的大小判断游戏的公平性对B进行判断；利用中心对称的性质和概率公式对D进行判断．
【详解】
A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上，所以A选项错误；
B、通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，所以B选项错误；
C、“367人中至少有2人生日相同”是必然事件，所以C选项正确；
D、四张分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形的概率是，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了随机事件以及概率公式和游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
6．甲、乙两人分别投掷一枚质地均匀的正方体骰子，规定掷出“和为7”算甲赢，掷出“和为8”算乙赢，这个游戏对甲乙双方（ ）
A．对甲有利 B．公平 C．对乙有利 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两个骰子上的数字之和为7或8时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【详解】
两骰子上的数字之和是7的有3+4=7；4+3=7，2+5=7；5+2=7，1+6=7；6+1=7共6种情况，和为8的有2+6=8；6+2=8，3+5=8；5+3=8；4+4=8共5种情况，甲赢的概率大，
故选A．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
7．一个不透明的箱子中放有红色、黄色、黑色三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出红色、黄色小球得0分，摸出黑色小球得1分，得分高者获胜，则这个游戏（ ）
A．公平 B．不公平 C．先摸者赢的可能性大 D．后摸者赢的可能性大
【答案】A
【分析】
三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平．
【详解】
∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，
∴三个人摸到每种球的概率均相等，故这个游戏是公平的.
故选A.
【点睛】
此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析.
8．甲、乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平的标准是（ ）
A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定
C．游戏的规则由甲、乙双方商定 D．甲、乙双方赢的概率相等
【答案】D
【分析】
根据游戏共是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会，游戏是否公平不在于谁定游戏规则，分别判定即可．
【详解】
根据游戏是否公平不在于谁定游戏规则，游戏共是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会，
∴A.游戏的规则由甲方确定，故此选项错误；
B. 游戏的规则由乙方确定，故此选项错误；
C. 游戏的规则由甲乙双方商定，故此选项错误；
D. 游戏双方赢的概率相等，故此选项正确.
故选D.
【点睛】
此题考查游戏公平性，解题关键在于掌握游戏是否公平的意义.
9．小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…，7这7个数中任意选择一个数字，然后两人各掷一次质地均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；若两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．若你是游戏者，为了获胜，你会选择数（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】
利用列表法找到点数之和为几的次数最多，选择那个数获胜的纪律就越大.
【详解】
根据题意列表如下：

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
两人抛掷骰子各一次，共有36种等可能的结果，
点数之和为7的有6种，最多，
故选择7获胜的可能性大.
故选A.
【点睛】
本题考查用列表法或画树状图求概率，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
10．小明用瓶盖设计了一个游戏：任意掷一个瓶盖；如果盖底着地，则甲胜；如果盖口着地，则乙胜．你认为这个游戏（ ）
A．不公平 B．公平 C．对甲有利 D．对乙有利
【答案】A
【解析】
【分析】
两人获胜概率相同，则游戏公平；反之，游戏不公平.
【详解】
因为瓶盖质地不均匀，可能盖底着地，也可能盖口着地，但两种情况出现的可能性不同，故两人获胜概率不同，所以这个游戏不公平.故选A.
【点睛】
本题主要考查概率与公平性，分析甲乙两人获胜概率是否相同是解答本题的关键.
11．小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有数字、、、、、的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：若点数之和等于，则小晶赢；若点数之和等于，则小红赢；若点数之和是其他数，则两人不分胜负，那么（ ）
A．小晶赢的机会大 B．小红赢的机会大
C．小晶、小红赢的机会一样大 D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
先通过列表得到共有36种等可能的结果，其中点数之和等于6的占5种，点数之和等于7的占6种，再根据概率的定义得到P（小晶赢）=；P（小红赢）==，即可得到答案．
【详解】
列表如下：
共有36种等可能的结果，其中点数之和等于6的占5种，点数之和等于7的占6种，∴P（小晶赢）=；P（小红赢）==，即P（小晶赢）＜P（小红赢），所以小红赢的机会大．
故选B．

【点睛】
本题考查了游戏公平性问题：先利用列表或树状图法展示所有等可能的结果数，然后找出两个事件所发生的结果数，根据概率的定义计算出它们的概率，然后通过概率的大小判断游戏是否公平．
12．甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（   ）时有必胜的策略．
A．10 B．9 C．8D． 6
【答案】D
【解析】
【分析】
解答此题的关键是第一个数字写出后，后面可写的数字是偶数个，并且可以分成不是约数关系的几组．
【详解】
对于选项A:当甲写10时,乙可以写3、4、6、7、8、9,如果乙写7,则乙必胜,因为无论甲写3,4,6,8,9这五个数中的6(连带3)或8(连带4),乙可以写4或3，剩下2个数字;当甲写3或4时,乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写,乙必胜;
对于选项B:当甲写9后,乙可以写2、4、5、6、7、8、10,如果乙写6,则乙必胜,因为剩下4、5、7、8、10这5个数中,无论甲写8(连带4)或10(连带5),乙可以写5或4;当甲写4或5时,乙可以写10(连带5)或8(连带4),甲最后不能写,乙必胜;
对于选项C:当甲写8时,乙可以写3、5、6、7、9、10,当乙写6(或10)时,甲就必须写10(或6),因为乙写6(或10)后,连带3(或5)也不能写了,这样才能保证剩下能写的数有偶数个,甲才可以获胜;
对于选项D: 甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4,7)、(5,8)、(9,10)，当然也可(4,5)、(8,10)、(7,9)或(4,9)、(5,7)、(8,10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
综上可知,只有甲先写6,才能必胜,
故选：D.
二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的正六面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢，这个游戏对甲、乙来说是_________的．（填“公平”或“不公平”）
【答案】不公平
【分析】
根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答．
【详解】
解：∵骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为，
骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为，
故游戏规则对甲有利．
故答案为：不公平.
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”判断该游戏_____（填“公平”或“不公平”）．
【答案】不公平
【分析】
游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】
解：所有可能出现的结果如下表所示：

正
反
正
（正，正）
（正，反）
反
（反，正）
（ 反，反）

因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：正正，正反，反正，反反，
所以出现两个正面的概率为，一正一反的概率为＝，
因为二者概率不等，所以游戏不公平．
故答案为：不公平．
【点睛】
本题考查用列表法或树状图表示概率，从而判断游戏是否公平，掌握列表法或树状图是解题关键.
15．某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则 应该是__________．
【答案】2
【分析】
先分别求出甲、乙获胜的概率，然后根据游戏双方公平，即概率相等列出方程解答即可．
【详解】
解：由题意得：甲获胜的概率为；甲获胜的概率为;
则：
解得x=2
故答案为2．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，分别确定甲、乙获胜的概率是解答本题的关键．
16．“十·一”期间，某服装店为了吸引更多的顾客购买服装，在．店门口设计了一个转转盘促销活动：当顾客转动转盘，根据指针指示返还相应的现金，若指针指在分界线时，需要重新转动，直到指向数字为止，购买几件服装就转动几次转盘．李女士购买了两件服装，她得到返还的现金数不低于元的概率是__________．

【答案】
【分析】
列举出所有情况，让她获得现金数不低于50元的情况数除以总情况数即为所求的概率
【详解】
解：由题意得，李女士能转动2次转盘，2次可能得到的情况为：(10，10)，(10，20)，(10，30)，(10，40)，(20，10)，(20，20)，(20，30)，(20，40)，(30，10)，(30，20)，(30，30)，(30，40)，(40，10)，(40，20)，(40，30)，(40，40)共计16种，
她获得现金数不低于50元的情况数：1+2+3+4=10
∴李女士获得现金数不低于50元的概率是：10÷16=
故答案为：
【点睛】
本题考查的是列举法求两步事件的概率，注意随机转两次转盘，属于放回事件．
17．甲、乙两人玩游戏，把一个均匀的小正方体的每个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，任意掷出小正方体后，若朝上的数字比3大，则甲胜；若朝上的数字比3小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？________．
【答案】不公平
【解析】
【分析】
分别求出甲、乙获胜的概率比较即可得出答案.
【详解】
∵掷得朝上的数字比3大可能性有：4，5，6，
∴掷得朝上的数字比3大的概率为：，
∵朝上的数字比3小的可能性有：1，2，
∴掷得朝上的数字比3小的概率为：=，
∴这个游戏对甲、乙双方不公平．
【点睛】
此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
18．判断一个游戏是否公平，关键看参加双方获胜的可能性是否相等．若___，则公平；若______，则不公平．
【答案】可能性相等； 可能性不相等.
【解析】
【分析】
判断游戏公平性需要先计算每个事件的可能性,然后比较可能性的大小, 可能性相等就公平,否则就不公平.
【详解】
判断某种游戏是否公平.主要看游戏双方获胜的可能性是否相等.若可能性相等.则游戏公平.否则不公平;
因此，本题正确答案是: 可能性相等、可能性不相等.
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的2支红笔和1支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔（不放回），若两人所取笔的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜．
（1）若小明第一个取笔，求他能取到红笔的概率；
（2）请用概率知识判断这个游戏是否公平？若不公平，你认为对谁有利．
【答案】（1）；（2）不公平，对小军有利．
【分析】
（1）根据概率公式直接计算即可；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，求出小明获胜的概率，从而判断游戏是否公平．
【详解】
解：（1）∵共有2支红笔和1支黑笔，
∴他能取到红笔的概率为；
（2）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，所取笔的颜色相同的结果数为2，
所以小明胜的概率=，
∵，
所以本游戏规则不公平，对小军有利．
【点睛】
本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
20．如图，小妍同学做了一个可以自由转动的均匀转盘，转盘均分为三等份，分别标有1，2，3三个数字，她邀请小嘉同学一起玩游戏，规则如下：转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字所在的扇形得到对应的数字（若指针恰好指在分隔线上，则重转一次，直到指针指向某一个数字为止）．

（1）求小妍转动一次转盘转到数字2的概率；
（2）小妍同学先转动一次，然后小嘉同学同样转动转盘，再将两人转动的数字相加，如果两个数字的和是奇数则小妍同学胜，否则小嘉同学胜．请利用画树状图或者列表格的方法判断这个游戏对两人公平么？
【答案】（1）小妍转动一次转盘转到数字2的概率为；（2）这个游戏对两人不公平．
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，分别求出小妍同学胜和小嘉同学胜的概率，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵自由转动的均匀转盘，转盘均分为三等份，分别标有1，2，3三个数字，
∴小妍转动一次转盘转到数字2的概率为；
（2）根据题意画树状图如下：

共有9种等可能的情况数，两个数字和是奇数的有4种，
则小妍同学胜的概率是；
∴小嘉同学胜的概率是，
∵，
∴这个游戏对两人不公平．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法、游戏公平性的判断、概率公式等知识；判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．小兰和小英周末都想去看电影，但只有一张电影票，二人决定做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下：在一只不透明的口袋中有除所标数字外完全相同的4张卡片，卡片上分别写有数字，现从口袋中随机取出两张卡片，如果取出的两张卡片上的数字之积为负数，那么小兰获胜，小兰就去看电影，否则，小英去看电影．
（1）用画树状图或列表的方法求出小兰去看电影的概率．
（2）小英说：“这种规则不公平．”你认为小英的说法正确吗？请说明理由．
【答案】（1）；（2）正确，理由见解析
【分析】
（1）先用列表法表示出所有可能的结果，再利用概率计算公式计算即可；
（2）分别计算出两人获胜的概率，进行比较后，即可得出结论．
【详解】
解：（1）列表如下：


5

3

—

8

5

—

15

8

—

3

15

—
由表可知，共有12种不同的等可能情况，其中乘积为负数的有8种情况，
∴（小兰去看电影）．
（2）小英的说法正确．
理由：∵（小兰去看电影），（小英去看电影），
∵，
∴这种规则不公平．
【点睛】
本题考查了概率的应用，掌握运用树状图或列表法表示出所有等可能的结果是解题的关键．
22．有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4四个数字，另一个信封内的四张卡片分别写有5，6，7，8四个数字．甲乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜； 否则乙获胜．
（1）请你通过列举法求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？如果不公平，那么得到的两数之积大于多少时才能公平？
【答案】（1）；（2）不公平，得到的积大于15能保证公平
【分析】
（1）通过列表法求解即可；
（2）分别求出与的值，根据、是否相等判断公平性，然后根据表格确定出公平时满足的条件即可．
【详解】
解：（1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表：

由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，
其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，
∴甲获胜的概率为=；
（2）∵甲获胜的概率=，乙获胜的概率=，≠，
∴这个游戏对双方不公平；
∵从表格中可知，积大于15的共计有8种情况，
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率，=，
∴将规则改为“如果得到的积大于15，则甲获胜； 否则乙获胜”能保证公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平；用到的知识点：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至3层的任意一层出电梯．

（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”，该游戏是否公平？并说明理由．
【答案】（1）；（2）不公平，理由见解析．
【分析】
（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；
（2）根据概率公式先求出小亮获胜的概率和小芳获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【详解】
解：（1）根据题意画树状图如下：

共有9种等可能的情况数，其中甲、乙二人在同一层楼出电梯的有3种，
则甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率是= ．
（2）由(1)可知，共有9种等可能的情况数，其中甲、乙二人在同一层楼出电梯的有3种，两人在相邻楼层出电梯的有4种，共7种，
∴小亮获胜的概率为，
∴小芳获胜的概率为，
∵＞，
∴该游戏不公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．这是一个两人转盘游戏，准备加图三个可以自由转动的转盘，甲、乙两人中甲分别转动三个转盘，乙记录指针停下时所指的数字，当三个转盘的数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．

（1）画树状图计算甲赢的概率；
（2）请判断这个游戏是否公平，如果不公平，请修改规则，使之公平．
【答案】（1）见解析，；（2）这个游戏不公平，可改为只用第一个转盘；转到1为甲胜，转到2为乙胜．还有其他修改方法，只需是甲、乙取胜概率相等即可．
【分析】
（1）列出树状图即可知共有8种情况，其中6种情况为甲赢，根据概率公式即可求出甲赢的概率．
（2）只有甲与乙赢的概率相等游戏才公平，所以改为转动三个转盘中的任何一个都可以，转到其中一个数为甲胜，另一个数为乙胜即可．
【详解】
（1）根据题意画树状图如下：

根据图可得：共8种等可能情况﹐其中有6种情况是甲赢，
所以（甲赢）．
（2）这个游戏不公平，可改为只用第一个转盘；转到1为甲胜，转到2为乙胜．还有其他修改方法﹐只需是甲、乙取胜概率相等即可．
【点睛】
本题考查列树状图求概率以及判断游戏的公平性．计算出各种情况的概率，然后进行比较是判断公平与否的关键．